相关关系与回归分析

1、 在学校，老师经常对学生这样说：在学校，老师经常对学生这样说：“如果如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。有什么大问题。”按照这种说法，似乎学生按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系。这种说法有没有依据呢？关系。这种说法有没有依据呢？思考思考 1商品销售收入与广告支出经费之间的关系。商品销售收入与广告支出经费之间的关系。 我们还可以举出现实生活中存在的许多相关我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题。例如：关系的问题。例如：2粮食产量与施肥量之间的关系。粮食产量与施肥

2、量之间的关系。3人体内脂肪含量与年龄之间的关系。人体内脂肪含量与年龄之间的关系。 自变量取值一定时自变量取值一定时,因变量的取因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系叫做相关关系.变量间相关关系的概念变量间相关关系的概念:相同点相同点:两者均是指两个变量间的关系两者均是指两个变量间的关系.不同点不同点:函数关系是一种函数关系是一种确定确定的关系的关系;相关关系是一种相关关系是一种非确定非确定的关系的关系.事实上事实上,函数关系是两个非随机变量的关函数关系是两个非随机变量的关系系,而相关关系是随机变量与随机变量间的关系而相关关系是随机变量与

3、随机变量间的关系.函数关系是一种因果关系函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关而相关关系不一定是因果关系系,也可能是伴随关系也可能是伴随关系.相关关系与函数关系的异同点相关关系与函数关系的异同点:请同学们回忆一下请同学们回忆一下, ,我们以前是否学过变量间的关系呢我们以前是否学过变量间的关系呢? ?两个变量间的函数关系两个变量间的函数关系.1.下列关系中下列关系中,是带有随机性相关关系的是是带有随机性相关关系的是 .正方形的边长与面积的关系正方形的边长与面积的关系;水稻产量与施肥量之间的关水稻产量与施肥量之间的关系系;人的身高与年龄之间的关系人的身高与年龄之间的关系;降雪量与交通事故

4、发生之降雪量与交通事故发生之间的关系间的关系.2. 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）（）A角度和它的余弦值角度和它的余弦值B. 正方形边长和面积正方形边长和面积C正边形的边数和它的内角和正边形的边数和它的内角和 D. 人的年龄和身高人的年龄和身高D即学即用即学即用.年龄年龄脂肪脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年龄年龄脂肪脂肪5833.56035.26134.6 如上的一组数据，你能分析人体的脂肪如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄之间有怎

5、样的关系吗？含量与年龄之间有怎样的关系吗？探究探究散点图：散点图： 将各数据在平面坐标系中的对应点画出来，得到表示将各数据在平面坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做散点图。如下图：如下图：O202530 354045 505560 65年龄年龄脂肪含量脂肪含量510152025303540 从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成成正相关正相关。但有的两个变量的相关，如

6、下图所示：但有的两个变量的相关，如下图所示： 如高原含氧量与海拔高如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。海拔高度越高，含氧量越少。 作出散点图发现，它们散作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽域内。又如汽车的载重和汽车每消耗车每消耗1升汽油所行使的升汽油所行使的平均路程，称它们成平均路程，称它们成负相关负相关.O例例1：5个学生的数学和物理成绩如下表：个学生的数学和物理成绩如下表：ABCDE数学数学8075706560物理物理7066686462画出散点图，并判断它们是否有相关关

7、系。画出散点图，并判断它们是否有相关关系。数学成绩数学成绩解：解：由散点图可见，两者之间具有正相关关系。由散点图可见，两者之间具有正相关关系。例例2：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：数与当天气温的对比表：摄氏温度摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36热饮杯数热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图；画出散点图；(2)从散点图中发现

8、气温与热饮销售杯数之间关系的一从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；般规律；解解: (1)散点图散点图(2)气温与热饮杯数成负相关气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，卖出去即气温越高，卖出去的热饮杯数越少。的热饮杯数越少。温度温度热饮杯数热饮杯数如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫这条直线叫做做回归直线回归直线，该直线的方程叫，该直线的方程叫回归方程回归方程。那么，我们该那么，我们该怎样来求出怎样来求出这个回归方这个回归方程？程？

9、202530 35 4045 50 55 60 65年龄脂肪含量0510152025303540这样的方法叫做最小二乘法这样的方法叫做最小二乘法.问题归结为问题归结为:a,b取什么值时取什么值时Q最小最小,即总体和最小即总体和最小. 人们经过长期的实践与研究，已经找到了人们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式计算回归方程的斜率与截距的一般公式:xbyaxnxyxnxxxyyxxbniiniiiniiniiiy,)()(1221121以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。其中，b是回归方程的斜率，a是截距ybxa 人体的脂肪含量与年龄的相关关系人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程是：的线性回归方程是：（1）预测）预测:一个人一个人37岁时，他的体内脂肪岁时，他的体内脂肪含量可能是多少？含量可能是多少？（2）比较前面表格中给出的数值，你有）比较前面表格中给出的数值，你有