走进数学建模世界

1、走进数学建模世界华南师范大学数学科学学院06级本科生 (510631) 黄泽君编者按：由中国教育部国际交流司与师范司，以及东芝公司共同举办的第二届“东芝杯·中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛”2009年11月15日在上海落下帷幕。经过紧张的数学模拟授课、教案评比、即席演讲三项总决赛，最终华南师范大学的黄泽君夺得冠军，南京师范大学的向坤获亚军，陕西师范大学的金涛获季军。三名获奖选手每人除了获奖励高级笔记本电脑一台之外，并获得免费赴日进行短期访学。本刊刊登获得第一名的教案,以飨读者。【教材】人教版数学必修 3.2函数模型及其应用【课时安排】第4课时【教学对象】高一学生 【

2、授课教师】华南师范大学数学科学学院 黄泽君【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但标准中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而“3.2函数模型及其应用”一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。【教学目标】² 知识与技能（1）初步理解数学模型、数学建模两个概念

3、；（2）掌握框图2数学建模的过程。² 过程与方法（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；（2）提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力。² 情感态度价值观（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；（2）感受数学的实用价值，增强应用意识；（3）体会数学以不变应万变的魅力。【教学重点】框图2数学建模的过程。【教学难点、关键】 方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。【教学方法】引导探究、讨论交流。【教学手段】计算机、PPT、几何画板。【教学过程设计】一、教学流程设计设计意图：与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少理想化（模型假设）这一重要的环节

4、。本环节意在恢复数学建模的真实面目。实际问题化为理想化问题设计意图：展示将理想化问题转化为数学问题的数学化过程。理想化问题化为数学问题设计意图：展示“解模”过程。求解数学模型解释数学结果数学建模过程的概括设计意图：结合这一实际问题的解决过程，概括出数学建模的基本过程，以实现由具体到抽象的升华。牛刀小试画龙点睛设计意图：1.让学生经历数学建模中的优化过程；2.培养学生的探究意识。最优解的探究设计意图：1.使学生获得科学的数学建模理论：数学建模与数学模型的概念、数学建模的具体过程；2.体会数学以不变应万变的魅力。什么是数学建模设计意图：1.根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理设计该练习，以强化刚刚

5、获得的数学建模理论；2.培养学生的问题解决能力。牛刀小试设计意图:1.小结意在强化数学建模理论，形成知识组块；2.设计四个问题，目的是培养学生的数学探究能力、动手实践能力和数学创新意识。小结与思考二、教学过程设计教学环节教 学 内 容教师活动学生活动设 计 意 图（一）实际问题化为理想化问题预计 时间2分钟现有宽为的长方形板材，请将它设计制成一直的开口的长条形水槽，使水槽能通过的流水量最大。 1. 初步理想化在单位时间内，该水槽能通过的流水量取决于水流速度和它的横截面积。我们将问题理想化，假定水流速度是一定的。那么，要在单位时间内获得最大的流水量，就应该将水槽设计成横截面积最大。于是，问题化归

6、为：现有宽为的长方形板材，请将它设计制成一开口的长条形水槽，使水槽的横截面积最大。”2.进一步理想化如果将水槽的横截面设计成矩形，那么这一实际问题可以转化为理想化问题：如下图所示，要建造一个横截面为矩形ABCD 的水槽,并且AB ,BC ,CD 的长度之和等于.问应当怎样设计水槽的深度和宽度,使水槽的横截面积最大? 教师引导学生阅读理解问题，并将其理想化学生听讲思考与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少理想化这一重要的环节。本环节意在恢复数学建模的真实面目。（二）将理想化问题转化为数学问题预计时间3分钟.1.寻找变量以及变量之间的关系在此问题中，水槽的深度是一个变量，宽度是另一个变量，横截

7、面积也是一个变量。设，.矩形的面积为.那么，这三个变量之间的关系是. 变量由两个变量和确定.如果我们能使面积表达式只由一个变量确定，那么我们研究的问题就可以简化，这就需要寻找两个变量和之间的关系。显然,.2.建立数学模型将实际问题转化为一个纯数学问题：当取何值时，函数（）有最大值？教师引导讲解学生听讲思考展示将理想化问题转化为数学问题的数学化过程。（三）求解数学模型解释数学结果预计时间2分钟（四）数学建模过程预计时间2分钟.因为，所以，当时，有最大值.此时，. 当水槽的横截面设计成矩形时，只要将深度、宽度分别设计为和时，可得到最大的横截面积，从而可获得最大的流水量。 可将上述数学建模的过程概括

8、为下面的框图1：实际问题理想化问题求解数学模型解释数学结果纯数学问题寻找变量关系建立数学模型教师引导分析讲解教师引导讲解学生听讲思考求解模型学生听讲思考展示解模过程结合这一实际问题的解决过程，概括出数学建模的基本过程，以实现由具体到抽象的升华。（五）最优解的探究预计时间7分钟我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深度、宽度分别设计为和时，可得到最大的横截面积，如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方案进行设计，结果又如何呢？ 教师将学生分成五个小组，并巡视指导学生解决问题.由于缺少导数工具，教师应引导学生运用观察、试算、估算、来探究方案二的答案.学生动手探究各自的设计方案1.让学生经历数学建模

9、中的优化过程；2.培养学生的探究意识。最优解的探究总结预计时间7分钟下面，我们将全班分成5个小组，分别探究五个方案的设计。最后派代表报告本小组的探究结果.方案一：当，且时，方案二：（ 演示数学实验）时， 方案三（四个底角为67.5的等腰三角形）：方案四（五个底角为的等腰三角形）：方案五：通过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时的情况可以得出，方案五是这个实际问题的最优解，即：将水槽的横截面设计为半径为的半圆形时，从而可获得最大的流水量。教师总结点评最后教师演示数学实验发现答案,并指出运用导数工具可以证明我们的答案是正确的.学生代表讲解各自方案的答案通过观察、试算、估算与数学实验，培养学生的合情

10、推理能力和数学发现能力.（六）什么是数学建模预计时间6分钟以上我们进行了六种设计方案的探究后，才找到了该问题的最优解。这就表明，数学建模需要对所得到的结果进行检验评价，以确认结果是否合理，是否是较好的结果。如果结果不满意，就需要重新回到“理想化问题”这一环节。于是，我们就可以概括出一个较为完善的数学建模过程的框图。框图2：实际问题理想化问题求解数学模型问题获得解决结果是否合理是重新理想化结果不理想纯数学问题建立数学模型寻找变量及关系教师讲解概括学生听讲思考1.使学生获得科学的数学建模理论：数学建模与数学模型的概念、数学建模的具体过程；2.体会数学以不变应万变的魅力；3.弥补标准中数学的建模理论

11、的不足。根据这个框图，我们就可以来回答什么是数学建模？数学建模(Mathematical Modelling)：就是运用数学化的手段从实际问题中提炼、抽象出一个数学模型，求出模型的解，检验模型的合理性，从而使这一实际问题得以解决的过程。数学模型就是用数学语言符号来描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。例如，各种函数、方程、不等式、不等式组等等都是比较常见的数学模型。世界上最简单的数学模型是表示数的字母.数学模型“”有两方面的含义：1.作为结果，她表示的是一个确定的数值，可以参与运算；2.作为过程，她表示的是一个变量：可大可小；可正可负；可以是有理数也可以使无理数。由于数学模型具有高度

12、的抽象性、概括性和结构的确定性，所以数学模型能以不变应万变。不管是中文还是英文，一个字所能表达的意义十分有限，但我们的数学模型“”却可以表示无穷无尽的对象流动的世界。又比如说勾股定理，这一模型可以用来处理数以亿计的实际问题。从小到斜边长为一微米的直角三角形到大至斜边长为十万八千里的直角三角形，只要是直角三角形，它们居然都满足同样的结构模型：斜边的平方等于两条直角边的平方之和.我不知道，这个世界上还有什么学科象数学这样如此简洁，如此概括，如此统一。 我只知道：“数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾驭流动的世界！”（七）牛刀小试预计时间14分钟如下图，某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，

13、边长和方向如图所示，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积. 数学实验教师解释说明问题.最后演示数学实验.学生动手解决问题1.根据练习律和强化原理，强化刚刚获得的数学建模理论；2.培养学生的问题解决能力。（八）小结与课后思考预计时间2分钟1.小结这节课，我们通过解决一个实际问题，带大家走进了数学建模世界。数学建模就是；数学模型就是；数学建模的具体过程.我们还感受到了“数学的魅力在于，她能以稳定的模式驾驭流动的世界！”2.课后思考（1）将各方案中的图形沿虚线向上翻折，并观察思考：周长为2的凸多边形，什么时候面积最大？（2）家庭物理小实验先将一条长度固定的

14、柔软丝线的两头连接起来，再将此封闭的曲线轻轻放在一个蒙有肥皂膜的正方形（边长约5cm）铁丝框上的肥皂膜上（注意，别弄破肥皂膜！），最后用小钉将曲线内的肥皂膜刺破。你观察到什么现象，说明了什么问题？（3）请你帮助吉东皇后解决问题吉东是泰雅皇帝的女儿，历经周折，逃到非洲，且成为迦太基的创始人和第一位神奇的皇后。刚到非洲时，吉东要在靠海岸线的地方购买“一张兽皮”的土地：她把兽皮剪成细条，结成长绳，剩下的问题是：怎么围，才会得到最多的土地呢？（4）用数学家的眼光看世界音乐家关注声响，文学家关注人性，而数学家则本能关注对象的数量关系、空间形式和结构。用数学家的眼光看世界，就是从数学的角度观察，感受，认识

15、，描述客观对象，进而提出创造性的问题。儿童玩耍时吹出的肥皂泡，总是一个个在空中起舞的彩球；水银落在桌面上，总是呈球形滚动；清晨荷萍树叶上的露水，总是聚成一个个晶莹剔透的水珠；冬日里为避寒而盘成一团的看家狗。面对这些现象，物理学家想到了表面张力的作用。以数学家的眼光，你看到了什么？你有什么大胆的猜想？教师讲解点化教师呈现问题问题1:是让学生探究发现周长一定的凸多边形中，正多边形的面积最大.学生内化数学建模理论学生思考准备解决问题问题2:让学生通过动手实践发现周长一定的图形中，圆的面积最大.1.小结意在强化数学建模理论，形成知识组块；2.设计四个课后思考问题，目的是培养学生的数学探究能力、动手实践能力和数学创新意识。问题3：是等周问题在解决实际问题中的应用.问题4：是将平面内的等周问题拓展到了空间.【板书设计】（此略）附： 本教学设计的创新之处1. 数学建模是高中数学新课程的新增内容，但却没有教材，没有具体内容。标准中建议由教师灵活掌握，但教师们感到不好把握。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，弥补了教材与标准的这一不足，并充实完善了标准中的数学建模理论。2. 与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少理想化（模型假设）这一重要的环节。本设计恰好解决了这一问题，恢复了数学建模的真实面目。3. 本节课将数学