2020高考数学素养提升练六文含解析

1、素养提升练（六）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2. , x 21. （2019 正定中学二模）已知集合 A= x|y=ln （ x -3x-4） , B= x|;>0,全 x 1集 U= R,则（?rA） n B=（）A. 1,2B, -1,2） U （3,4C. 1,3）D. -1,1） U 2,4答案 D解析 集合 A满足 x23x 4>0, （x4）（ x+1）>0,则 A= x| x&

2、gt;4 或 x<- 1 , ?rA = x| -1<x<4,集合 B满足 x>2 或 x<1,则（？4） n B= -1,1） U 2,4,故选 D. .a 3i2. （2019 马鞍山二中一模）已知i-=b+2i（ a, bC R）,其中i为虚数单位，则复数 z=abi在复平面内对应的点在 （）A.第一象限 B .第二象限C.第三象限 D .第四象限答案 B解析 由已知得a-3i = （b+ 2i） i = 2 + bi ,由复数相等的充要条件可得a= - 2.所以z=abi=2+ 3i ,所以复数z = -2+3i在复平面内对应点（2,3）在 b= - 3第

3、二象限，故选B.3. （2019 江淮十校联考）为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄 人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）K.Kxi.KHl'o'lo'a'o8nlM b 4 2一1所占比味镇储农对口籍 上叫 上性A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别有关C.倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D.倾向选

4、择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数答案 C解析由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.8 X 120= 96人，女性人数为0.6 X80= 48人，男性人数与女性人数不相同，所以C错误,故选C.4. （2019 东北三校联考）已知cos a7t61 i .c兀.=3，则 sin 2 a=(7A. 一9 B.79 C.答案 B解析 cos兀+百7t-=cos 2a 十 - = cos 2 a22cos.兀 7_a +"6" = g.故选 B.5. （2

5、019 太原五中模拟）已知正项等比数列an的前n项和为3,且7S2=4Ss则公比q的值为（A. 1答案解析q=1,则 7G= 14a1,4&= 16a1,am。，7SW4&,不符合题意；若 qw1,a1 1 - q2a1 1 q42 3 -3由 （2019 全国卷n ）若X1 = F，X2="-是函数f（x ） = sin 3 x（ 3 >0）两个相邻的极值 44点，则3 =（）A. 2 B. 3 C . 1 D. 122答案 A解析由题意及函数y = sin ax的图象与性质可知，1一32兀cT= 4 . , T=兀,一 =兀,一3=2.故选 A.2443 （

6、2019 日照一中三模）已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长 棱的长度为（）&=4&，得7x /q =4X ,q又 q>0, 'q=号故选 C.正规国4恻视图A. 4 B . 5C. 13 D. 26答案 D解析三视图还原的几何体是一个侧面垂直于底面的三棱锥，记为三棱锥A- BCD如图,过点A作AE! BD于点E,过点C作C"BD于点F,连接CE AF由三视图可得， AE= 4, BD= 4, BE= 3, ED= 1, BF= 2, FD= 2, CF= 3.所以 CE= C+F=9+1 = 10, AC= CE + A=10+16=2

7、6, Ag= bE + A=9+16=25, aD= A+ dE=16+1 = 17, BC= DC= fD + CP= 2?+32= 13,所以最长的棱为 AC其长度为26.故选D.8. （2019 常州高中模拟）已知直线l : 2x+y-8=0上的两点 A, B,且|AB=4,点P 为圆D: x2+y2 + 2x-3 = 0上任意一点，则 PAB的面积的最大值为（）A. 5m+ 2 B , 25 + 3C. 4m+ 2 D . 4/ + 4答案 D解析 圆D： x2+y2 + 2x3=0变形为（x+1） 2+y2 = 4,可知圆心 D（ - 1,0） , D到直线2/5+2,可知（$ PA

8、.max一| 2 - 8| 厂 ，一 , 一，,，AB的距离也旨=275,贝恫上P点到直线的距离的最大值为1 一一=-« （2m + 2）><4= 44 + 4,故选 D. ，一、,.，a-3 x+L xv 1 ,满足？ x1,9. (2019 吉林实验中学三模 )已知函数f (x )=42log ax a, x>lX2 R且都有fx一 f x2 V 0,则实数Xi X2a的取值范围为（）A. 0,B.D.答案解析由题意知f （x ）是减函数，故0vav1,3.1"4+ 2) - a,.一 13 .解得qwav，故选C.8410. （2019 盐城二模）已

9、知在四面体 ABCM, AB= AD= BC= C氏BD= 2,平面ABD_平面BDC则四面体 ABCD勺外接球的表面积为（）20 %22 %A.- B . 6兀 C. D . 8兀答案 A解析 AB= AD= BC= CD= BD= 2,所以 ABDBDC匀为正三角形.过正三角形 BDC的中心 O作OdU平面BDCO为四面体 ABCD勺外接球的球心）.设M为BD的中点，外接球的半径为 R连接AM CM OA过O作OG_ AM点G,易知G为 ABD勺中心，则 OO= OG= MO= MG-MA=乎><2=m,MG= OG=；><m=坐，GA= 芋.在直角三角形333AG

10、O,GA + GO= OA,即222 52=R, R = 1，四面体 ABCD的外接球的表面积320不一.故选A.311. （2019 全国卷I ）双曲线22c、一b-1（a>0,b>0）的一条渐近线的倾斜角为130° ,则C的离心率为（）A. 2sin40B . 2cos40° C.1_1sin50 ° D. cos50°答案 Db解析由题息可得一a=tan1301+b2=U1 + tan2130。 a1cos50° .故选 D., sin 2130011 + cos2130° =|cos130° I1 , 1

11、12. (2019 安庆一中模拟)已知函数f (x) =03+2bx2+cx的导函数f (x)是偶函数,若方程1f ( x) ln x= 0 在区间一,ee上有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是A.C.121-2e1 2D. 1-e，答案解析.f (x)= 6x3 + 2bx2+cx,，f ' (x) =gx2+bx+c.;f ' (x)是偶函数，b=0,_,1B. T一行.f(x) =gx2+ c.；x2+cln x=0方程f' ( x) In x= 0在区间1: e上有两个不相等的实数根， e一一 1在区间e，e上有两个不相等的头数根,即ln x ：x2=c在

12、区间2ee上有两个不相等的实1e e上有两个不同的，,、1(x) = _ x=x1-x2x，当 x1 时，6' (x)>0,e增，当xC(1 , e时,旷(x)<0, 6(x)在(1 , e上单调递减，x C 1 e 时，6 (x) max e=g(i)=2.又 g e=- 2数根，可化为 6 (x) = ln x x (x>0)的图象与y= c的图象在区间 一二，6 (e) = 1 12, ()- > () (e) , 1 T-2< c< .2e2 e2e2故选A.第n卷(选择题，共90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.13.

13、 (2019 济南一中模拟)已知向量 a =(3,4) , b=( 1, k),且 a,b,则 a+ 4b 与 a的夹角为解析 由 ab 可知 a - b= 0,即一3+ 4k= 0, k= 4,故 b= - 1, 4 , a+ 4b = (3,4) 3, , 、a+4b - a 22八、，兀+ 4 1, 4 = ( 1,7) , cos a = a +4b| a| =2，所以所成的角为 4 y>o,14. (2019 洛阳一高二模)已知实数x, y满足不等式组 y<x,且目标函x+ y- me0,数z=3x 2y的最大值为180,则实数 m的值为.答案 60/ /尸解析 当mco

14、时，不符合题意；当m>0时，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影 部分所示，15. （2019 浙江高考）在 ABC中,ZBDC= 45° ,贝U BD=, cos/猿/7y2答案仔得1，一”，4解析如图，易知sin ZC=-,53/ABC= 90 , AB= 4, BC= 3,点 D在线段 AC上.若ABD=.t'rxM/5由正弦定理可得在 BDOK/ %巧一切=<).一.、.,3 z 3 .目标函数z=3x 2y可变形为y='x 2，作出直线y=,x并平移，结合图象可知，当平移后的直线经过点 A(m,0)时，z=3x- 2y取得最大值为180,所以3m

15、- 0= 180,解得m=BCBDsin / C sin / BDCBC- sin / CB>； sin BDC3 x 三 j- 5_ 12 ;2逅=5 '由 / ABC= / ABDF / CBD= 90° ,可得 cos / ABD= cos(90 / CB= sin / CBD=sin兀一(/ C+ / BD=sin( ZC+ / BDC=sin Z C- cos / BDO cos / C sin / BDC=4X旦3*艮电 52521016 . (2019 潍坊一中三模)直线l : x=my+ 2经过抛物线 C: y2= 2px( p>0)的焦点F, 与

16、抛物线相交于 A, B两点，过原点的直线经过弦 AB的中点D,并且与抛物线交于点 E(异于 原点)，则隘的取值范围是 .答案(2, +oo)解析 因为l：x=m什2恒过定点(2,0)，即抛物线C: y2= 2px( p>0)的焦点为F (2,0), y2= 8x,所以抛物线C的方程为y2=8x,联立整理，得y2-8my- 16=0, >0恒成x = m什 2,立，所以y1+y2=8m, x1 +地=my1 + y2)+ 4= 8n2+4,所以弦 AB的中点 D的坐标为(4 n2 +2,4匹直线OD勺方禾§为y = &,即丫=就乎由题意可知，狂°,与抛物线

17、C： y24 2宿+ 1.=8x联乂可得 yE=,而m2| OE | yE|2m+ 1|OD lyD m=2 + -2 >2.m三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分.17 .(本小题满分12分)(2019 浙江名校高考联盟二模 )已知数列&+1的前n项和S 满足 S= 2an, n N*.(1)求证：数列an+ 1为等比数列，并求 an关于n的表达式；(2)若 bn = log 2( an+ 1),求数列( an+ 1) bn的前 n 项和 T

18、n.解 (1)证明：由题可知 S=(a+ 1) + (a2+ 1)+(a3+ 1) + + (an+ 1) = 2an,即 a1+a2 + a3+ an+n=2an.当 n = 1 时，a1 + 1 = 2a1,得 a = 1,当 n>2 时，a+& + a3+ an1+n 1= 2an1,一，得 an + 1 = 2an 2an- 1 ,即 an = 2an- 1 +1 ,所以 an+ 1 = 2( an1+ 1)所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列，所以 an+1=2X2 n 1=2"，故 2门=2”一1.(2)由(1)知 bn=log2(an+1) =

19、log22n=n,则(an+ 1)bn= nX2n,T= 1 X 2 1 + 2X 2 2+ 3X 2 3+ (n1) X2 L1+ nx2 n2Tn= 1 X 2 2 + 2X 2 3 + 3X 2 4+ (n 1) x2 0 +nx2 n+1一 一_ 一 _ 2 X2n 1两式相减得一Tn = 21+ 22+ 23+ 2n-nX2n + 1 =-nX2n+1= 2n + 1-22 1nx2n+1 = (1 -n) X2n+1-2所以 Tn=2+(n1) X2 n+1.18 .(本小题满分12分)(2019 长沙一模)为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该

20、校共有学生 960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如表:超过1小时不超过1小时男生208女生12m求m n；(2)能否有95%勺把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？(3)以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查 6名学生，试估1t这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.附:RK>k。)0.0500.0100.001k。3.8416.63510.828.2n ad- bc 2K=7bcTdarcb，其中 n=a+b+c+d解(1)根据分层抽样法，抽样

21、比例为n 20+8= .960560 'n= 48;.m48-20-8- 12=8.(2)根据题意完善2X2列联表，如下:超过1小时不超过1小时合计男生20828女生12820合计32164848X 20X812X832 X 16X20X280.6857 V 3.841 ,计算K2=所以没有95%勺把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关.32 2(3)参加社区服务时间超过 1小时的频率为 48 3用频率估计概率，从该校学生中随机调查6名学生，估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数为6X 2= 4(人).319 .(本小题满分12分)(2019 山东荷

22、泽模拟)如图，在四棱锥 P ABCDK BCD PARTB是等边三角形，平面 PADL平面ABCD且AD= 2AB= 4, CD= 2 :'3.(1)求证：平面 PADL平面PCD(2)E是AP上一点，当 BE/平面PCD寸，求三棱锥 C PDE勺体积.解 (1)证明：因为 AD= 4, AB= 2, BD= 273,所以 AD)=A+BC2,所以 ABL BD / ADB= 30 .又因为 BCD等边三角形，所以/ BDC= 60° ,所以/ ADC= 90° ,所以DCL AD因为平面PADL平面ABCD平面PAD平面ABCD= AD所以CDL平面PAD因为CD

23、?平面PCD所以平面 PCDL平面PAD(2)过点B作BG/ CD交AD于点G,连接GE 因为BG/ CD BG平面PCD CD?平面PCD 所以BG/平面PCD当BE/平面PCD寸，因为 B(T BE= B, 所以平面BEG/平面PCD因为EG平面BEG所以EG/平面PCDPE DG又平面PACT平面PDC PD所以EG/ PD所以颉 . P D在直角三角形 BG碑，BD= 2淄，Z BDG= 30° ,所以 DG= 243cos30 = 3,一 PE DG 3所以PDAT不在平面PACrt,过点E作EFU PDT点H因为CDL平面PAD EH?平面PAD所以CDL EH因为PE

24、CD= D,所以EHL平面PCD所以EH是点E到平面PCM距离.过点A作AML PDT点M则AM=乎*4=2水.EH PE 33 3由 AM/ EH 彳#AMPA14,所以 E卡与一1一 一因为 Spcd= 2X4X2q3=4j3,1, - 3 3所以 V-pde= VE-pdc=. X 4 43 X= 6.32x y-a 由于y' =x,所以切线 DA的斜率为X1,故r = X1. X1 t整理得 2tx - 2y1+1 = 0.设 B(X2, y2),同理可得 2tx 2 2y?+1 = 0.故直线AB的方程为2tx2y+1 = 0.1所以直线AB过定点0,万.120.(本小题满分

25、12分)(2019 全国卷出)已知曲线 C： y = 2，D为直线y=一万上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A, B(1)证明：直线 AB过定点；45, 一 一，(2)若以E 0, 2为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段 AB的中点，求该圆的方程.1.i2解(1)证明：设 Dt, 一 , A(x1, y1),则 X1 = 2y.1(2)由(1)得直线AB的万程为y=tx+1,.1y=tx +2，由 2可得 x2-2tx-1 = 0.xy=2于是 x1 + x2= 2t, yd y2= t (x1 + x2)+1 = 2t2+ 1.设M为线段AB的中点，则Mt , t2 + ；.由于

26、EMlAB,而 EM= (t, t22), AB归向量(1 , t)平行，所以 t + (t22)t=0.解得 t =0 或 t = ± 1.当 t =0 时，|Em=2,所求圆的方程为x2+ y |2 = 4;当t=±l时，|面=啦，所求圆的方程为x2+ y 2 2 = 2.21 .(本小题满分12分)(2019 开封一模)设函数f (x ) = (x 1)exgx2.(1)当k=e时，求f (x )的极值；(2)当k>0时，讨论函数f (x )的零点个数.解 (1) fz ( x) = xexkx = x(exk),当 k=e 时，f' (x) = x(e

27、xe),当x<0或x>1时，f ' (x) >0,所以f (x )在(8, 0)和(1 , +8)上单调递增，当0<x< 1时，f ' (x)<0,所以f (x )在(0,1)上单调递减，ef (x )的极大值为f ( 0) = 1,极小值为f ( 1)= (2)当 0v kv 1 时，令 f' (x) >0,解得 xv In k 或 x>0,f (x )在(00, In k)和(0, +°°)上单调递增，在(in k, 0)上单调递减，当k=1时，f' (x)>0, f (x )在(一8

28、, +8)上单调递增，当 0vkwi 时，当 xC(8, 0)时，f (x ) < f (x )max= f ( in k) = (In k 1) kIn 2 k= - -(In k 1)2 + 1 <0,此时f (x )无零点，当 xC0, +8)时，f ( 0)=1V0, f ( 2) = e2-2k>e2-2>0,又f (x )在0 , +8)上单调递增，所以 f (x )在0 , +8)上有唯一的零点， 故函数f(X )在定义域(一,+8)上有唯一的零点.当k> 1时，令f ' ( x) >0,解得xv 0或x> ln k,f (x )

29、在(00, 0)和(ln k, +°°)上单调递增，在(0 , ln k)上单调递减，当 xC(8, in k)时，f (x )<f (x )max= f ( 0) = 1v0,此时 f (x )无零点,当 x C in k, 十°°)时，f ( in k) < f ( 0)=1v0,22k+1 k k+1k+i k+1f (k +1) = ke 2= k e % ，t 1.2t .令 g(t)=e t , t = k+ 1>2,则 g (t) = e t ,令 h(t)=g' (t) , h' (t) = e,一1,.

30、 t >2, h' (t)>0, g' (t)在(2, +8)上单调递增，g' (t) >g' (2) = e22>0,g(t)在(2,十8)上单调递增，得 g(t)>g(2) =e2-2>0,即 f (k +1)>0,所以 f (x )在in k, +)上有唯一的零故函数f (x )在定义域(一00,+8)上有唯一的零点.综合知，当k>0时函数f (x )在定义域(8, +8)上有且只有一个零点.(二)选考题：10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分.22 .(本小题满分10

31、分)选彳4-4:坐标系与参数方程(2019 山西太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为x= V3cos a ,(a为参数)，以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，y= 1 + /3sin af兀L直线i的极坐标方程为p sin 0 + =243.(1)求曲线C的普通方程和直线i的直角坐标方程;(2)射线OP的极坐标方程为兀e =y( p>0),若射线OP与曲线C的交点为A,与直线i的交点为B,求线段AB的长.解(1)x = V3cos a ,由y = 1 + qSsin a ,可得y- 1 =cos a , 13sin a ,2所以x十 (y1) = 3c

32、os a + 3sin a =3,所以曲线C的普通方程为x2+(y1)2=3.由 psin 0+，=2口 可得 p 享ine+ose =2弧所以当 psin ep cos e 24=0,所以直线l的直角坐标方程为 x+q3y 4、Q=0.(2)解法一：曲线 C的方程可化为x2+y2-2y-2=0,所以曲线C的极坐标方程为p22psin 0 -2=0., 一兀兀由题息设A p 1, , B p 2,将8 =百代入 p之一 2 P sin 9 2=0,可得 p之一 p 2=0,所以p=2或p=1(舍去)，即p 1= 2,将 8 = 6代入 p sin 9 +- = 2*3,可得 p = 4,即 p

33、 2= 4,所以 | AB = | p i p 2| = 2.一 兀解法二：因为射线 OP的极坐标方程为 9 =万( P >0)，&八：3所以射线OP的直角坐标万程为 y = -T-x(x>0),3x2+ y-12=3,由J3解得 a(J3, 1),y = x x>0,3x + /3y-4>/3= 0,由 乖解得R2，3, 2),y=看x x>o , 3所以 | AB =2m_m 2+ 212 = 2.23 .(本小题满分10分)选彳45:不等式选讲(2019 山东荷泽模拟)已知函数f (x ) =|x-2| + |2x-1|.(1)求不等式f (x )<3的解集；(2)若不等式f (x ) wax的解集为空集，求实数 a的取值范围.3x+3, x<-,解 (1)解法一：由题意f (x