2020高考数学热点与数列有关的概率统计压轴大题

1、数列与离散型随机变量相结合问题典例1【2019年全国卷U为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进 行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲药得1分； 若都治愈或都未治愈则两种药均得 0分.甲、乙两种

2、药的治愈率分别记为 a和B, 一轮试验中甲药的得分记为 X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4分，p(i 0,1,L ,8)表示用药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Po 0, P8 1,p api 1 bp cpi 1 (i 1,2,L,7),其中 a P(X 1),b P(X 0),c P(X 1).假设 0.5,0.8 .(i)证明：Pi1 Pi (i 0,1,2,L ,7)为等比数列；(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.解：(1)由题意可知X所有可能的取值为：1,0,1P X 11；PX0 11；PX1 1则X的分布列如

3、下：X101P1111(2) Q 0.5,0.8a 0.5 0.8 0.4, b 0.5 0.8 0.5 0.2 0.5, c 0.5 0.2 0.1 Q p ap 1 bp cp 1 i 1,2, ,7即 p 0.4pi i 0.5p 0.1p i i 1,2, ,7p 1Pi4 pip 1 i 1,2, ,7整理可得：5p 4r 1 r 1 i 1,2, ,7Pi 1 Pii 0,1,2, ,7是以R M为首项，4为公比的等比数列(ii)由(i)知:p 1 PiP1P0 4P1 4i0，P1P0P1 476P8P7R 4 , p7P6Pl 4 ,作和可得：p8pbPi 40 4147P11

4、 4P10123p4P4P0P1 44 441 4444 1311 4 1P4-1 44 1 257P4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药1治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为 P4 0.0039,此时得出错误结257论的概率非常小，说明这种实验方案合理.例2某游戏棋盘上标有第。、1、2、L、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n站的概率为匕.(1)当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和 X的

5、分布列 与数学期望；1(2)证明：R 1 R R Pn 1 1 n 98 ；(3)若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记 选手获胜.请分析这个游戏是否公平.解：(1)由题意可知，随机变量 X的可能取值有3、4、5、6,P X 5C；(2)依题意，当198时,棋子要到第n 1站，有两种情况:由第n站跳1站得到,其概率为可以由第n 1站跳2站得到,其概率为2Pn1-X34561331P8888的分布列如下表所示:所以，随机变量X4 ,1所以，E X 3 18853196 ;88 2一,1所以，Pn1-Pn同时减去R得Pn 1Pn1 Pn21一Pn 121-PnPn 1

6、12n 98 ；1c 1c-P98 二旦7 ,22(3)依照(2)的分析，棋子落到第99站的概率为P991由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有Poo 3 P98所以P.00P99,即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.例3、11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地 -安徽凤阳举 办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮) ，在相 同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有 1人命 中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得 0分,12设甲每次投球命中的概率为2 ,乙每次投球命中

7、的概率为3 ,且各次投球互不影 响.(1)经过1轮投球，记甲的得分为X ,求X的分布列;(2)若经过n轮投球，用R表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的 得分的概率.规定P0 0 ,经过计算机计算可估计得Pi api i bpi cp i(b 1),请根据中P,P ,P的值分别写出a, c关于b的表达式，并由此求出数列pn的通项公解：(1)记一轮投球，甲命中为事件 A,乙命中为事件B, A,B相互独立，由12题意P(A)P(B) 3,甲的得分X的取值为1,0,1 ,12 112(1 2) (1 3)P(X 1) P(AB) P(A)P(B) (1 -)-, 2 3 3P(X 0) P(

8、AB) P(AB) P(A)P(B) P(A)P(B)121P(X 1) P(AB) P(A)P(B) - (1 -)-236，- X的分布列为:X-101P-31216一,.1111/11、7()2 6 6 2 636(2)由(1) P1 -, 66 P(X 0) P(X 1) P(X 1)(P(X 0) P(X 1)同理，经过2轮投球，甲的得分Y取值2, 1,0,1,2 ：记 P(X 1) x , P(X 0) y , P(X 1) z,则P(Y 2) x2, P(Y1) xy yx , P(Y 0) xz zxy2 , P(Y 1) yz zy,由此得甲的得分Y的分布列为:Y-21012

9、P11131193366361111111311433 362(636)6(36636)216aPi 1 bPi cPi 1 (b 1), P0 0,6(1 b) a 71 b c 7711a b P1aP2bR3666P2aP3bP2cr '43717a-b - c一21636636代入 Pi aPi 1 bPi cp 1(b 1)得：PiPi 1Pi6(PiPi 1），PnPn 1J、n(6) -, ,Pn(PnPn1 )(Pn1Pn2) L(p1 Po) (6)n (6)n 1 L111、 (1 ) .6 56n典例4某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第

10、三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量.当Z 8时，产品为优等品；当6 Z 8时，产品为一等品；当;数列Pn Pn1是等比数列，公比为q二，首项为R Po 1 , 66 Z 6时，产品为二等 品.第三方检测机构在该产品中随机抽取 500件，绘制了这500件产品的质量指 标Z的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质 量情况，并用频率估计概率.质量指标z（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取 1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方 检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家

11、、企业及第三方检测机构就检 测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3 件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品 的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X元，求X的分布列与数学期望；（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都1是2,方格图上标有第0格、第1格、第2格、第50格.机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从k到k 1）,若掷出反面，机器人向前移动两格（从 k至ijk

12、 2）,直到机 器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机 器人停在 胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第n格的概率为* 、 * 一一P10n 50,n N ，试证明Pn Pm 1 n 49,n N是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品.121 87 421解：（1）根据条形图可知，优等品的频率为 -，用频率估计概率，5002 '1 则任取一件产品为优等品的概率为 P 1.2，一 ，一一，八一一一一 1（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为-,由题意 X 1600 1000 80 250 4 47000,或1500 1000 8025

13、0 4 39000_ 447000C4C：51639000C0c4C241116X4700039000P5161116故X的分布列为: 5所以数学期望EX 47000 39000161141500 .16(3)机器人在第0格为必然事件，B1,第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率P ；.机器人移到第n2 n 49格的情况只有两种:先到第n 2格，又出现反面,其概率先到第n 1格，又出现正面,其概率2Pn1.所以Pn1c1c二 Pn1二Pn2,22故Fn1Pn1- P.2公比为n 49时，数列Pn为首项RF01 2的等比数列.01P。", P2PP3P2，PnPn1以上各式累加

14、，得Pn 1所以Pn 1n 0,1, ,495050所以获胜概率失败概率P502P48349491250124948120,所以获胜概率更大,故此方案能吸引顾客购买该款产品例5抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化,更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片,为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去2梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为2,且游客之间 3的选择意愿相互独立.(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X ,求X的分布列与数学期望;(2)若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为4,求数列 4 的(3)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为Bn ,探讨Bn与