一道不等式题的解法探讨

1、一道不等式题的解法探讨在上高二不等式一章时，给同学们出了这样一道题：“ x,y R+,1x+4y=1，求x+y 的最小值。”，有同学这样解： Qx,yR+,1x+4y=11=1x+4y24xyxy16 又 Qx+y2xy216=8x+y的最小值为8上述解法看似正确，但同学们在应用均值不等式时忘记了必备的条件 . “一正、 二定、三取等”， 特别是忘记了“取等号”成立的条件。显然，上述解法等号不能同时成立，此同学的解法显然错误。但此题解法很多， 现与大家一起探讨。解法（一）“ 1”的应用Qx,yR+且1x+1y=1,x+y=(x+y)(1x+4y)=5+yx+4xy5+2yx4xy=9当且仅当

2、yx+4xy 时，即 4x2=y2 即 2x=y 时等号成立。又 1x+4y=1 x=3,y=6 时等号成立 x+y 的最小值为 9解法（二）换元法Qx,yR+且 1x+4y 设 1x=cos 4y=sin2 (0, 2)x=1cos2=sec2=1+tan2y=4sin2 =4csc2=4+4cot2x+y=(1+tan2 )+(4+4cot2 )=5+tan2 +4cot2 5+2tan24cot2 =9当且仅当 tan2 =4cot2 时，等号成立同（一），当 x=3,y=6 时， x+y 有最小值 9 解法（三）反换元设 x+y=t, 令 x=tcos2 y=tsin2 (0, 2)

3、Q1x+4y=11tcos2 +4tsin2 =1t=1cos2 +4tsin2 =5+tan2+4cot2 9（以下同（二）解法（四）判别式法令 x+y=t, 则 y=t-x(t 0)Q1x+4y=1 1x+4t -x=1x2+(3 -t)x+t=0 又 QxR+ 0 =(3 -t)2- 4t 0 解得 t 9或 t 1（舍）x+y 有最小值 9解法（五）消无法Qx,yR+,且 1x+4y=1y=4xx -1(x>1)x+y=x+4xx -1=x+4x-1+4(x-1)+4x- 1+52(x -1)4x-1+5=9 当且仅当 x-1=4x-1 即 x=3,y=6 时等号成立 x+y 有

4、最小值 9解法（六）构造积为定值Q1x+4y=1 4x+y=xy xy -4x-y=0 (x -1)(y-4)=4(x>1,y>4)x+y=(x -1)+(y-4)+5 2(x -1)(y-4)+5=9当且仅当 x=3,y=6 时等号成立 x+y 有最小值9解法（七）导数法Q1x+4y=1 y=4xx -1=4x-1+4(x>1)令 x+y=t ，则 y=t-x 当直线 y=-x+t 与曲线 y=4x-1+4 相切时，截距最小Qy=(4x-1+4)=-4(x-1)2由 -4(x-1)2得 x=3将 x=3 代入 1x+4y=1 得 y=6切点坐标为（3， 6）（ x+y)min=3+6=9解法（八）定比分点坐标公式的活用Qx,yR?e,且 1x+4y=1 00)由定比分点坐标公式得： 1x=1+ x=1+1x 又 1x+4y=1y=1 - 1+y=4(1+ ) x+y=(1+1)+4(1+ )=