一元二次方程专题能力培优含复习资料

1、1 / 12第2章一元二次方程2.1元二次方程专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知（m 3）x2而2x 1是关于x的一元二次方程，贝U m的取值范围是（）A.m乒3 B.m 3 C.m -2 D. m -2且m53 2.已知关于 x的方程（m 1）xm 1（m 2）x 1 0,问:（1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；（2）m取何值时，它是一元一次方程？专题二利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.关于x的一元二次方程（m-1） x2+5x+m2-1=0的常数项为0,求m的值.2. .4.若一兀一次万程（2a 4）x（3a 6）x a 8 0没有一次项，贝U a的值

2、为专题三利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a （a乒0）,则a-b值为（）A. 1B.0C.1D.26.若一元二次方程ax2+bx+c= 0中，a- b+c=0,则此方程必有一个根为. .22a217.-已知实数a是一兀二次方程x -2013x+1= 0的解，求代数式a22012a -的值.2013知识要点：1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的 方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 （a乒0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数

3、；c是常数项.3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程 的根.温馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.2.一元二次方程的根是两个而不再是一个方法技巧：1. axk+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论2 / 122.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领3 / 120，解得伦-2且护302.解：（1）当m 1 2,时，它是一元二次方程.解得：m=1.m 1 0当m=1时，原方程可化为2x2-x-1=0 ;（2）当 2 ，或者当m+1+（m-2）乒 0 且n2+1=1时，它是一

4、元一次方程m 1 0解得：m=-1, m=0.故当m=-1或0时，为一元一次方程.3.解：由题意，得：m 1 0,解得：m1.4. a=-2解析：由题意得39 6，解得a=2.2a 4 0.5. A解析：,关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a （a乒0） , - a2 ab+a=0.二a （a b+1）=0. . a乒0, 1-b+a=0.a-b=-1 .6. x= 1解析：比较两个式子ax1+c =0Jillu h会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x2对应了第二个式子中的1,第一个式子中的x对应了第二个式子中的-1.故x 1.解得x= -1.7.

5、解：.实数a是一元二次方程x2 2013x+1= 0的解，二a2-2013a+1=0. a2+1=2013a, a22013a= 1.c? -2.2一元二次方程的解法专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值1.若方程25x2- (k-1 ) x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；贝Uk的值为()A. -9或11 B . -7或8 C . -8或9 C . -8或92.如果代数式x2+6x+m是一个完全平方式，贝Um= .会.答案:1. D解析:0.20134 / 123.用配方法证明：无论x为何实数，代数式2x2+4x 5的值恒小于零.专题二利用判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取

6、值范围4.已知a, b, c分别是三角形的三边，则方程(a+b) x2+2cx+ (a+b) =0的根的情况是()A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，贝U k的取值范围是()6.定义：如果一元二次方程ax2+ bx+ c= 0 (a乒0满足a + b+ c= 0,那么我们称这个方程为 凤凰”方程.已知ax2+ bx+ c= 0 (aO是 凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是()A . a = c B . a = bC. b = c D . a= b= c专题三解绝对值方程和高次方程2

7、2,2227.右方程(x +y -5 ) =64，则x +y =.8.阅读题例，解答下题：例：解方程x2|x 1| 1=0.解：(1)当x 1 0,即xAl时，x2 (x 1) 1=0,x2 x=0.解得：XI=0(不合题设，舍去)，x2=1.(2)当x 1 V 0,即xV 1时，x2+ (x 1) 1=0, x2+x 2=0.解得x1=1(不合题设，舍去)，x2=2.综上所述，原方程的解是x=1或x= 2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2| 4=0.5 / 12专题四 一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系9.探究下表中的奥秘，并完成填空：一兀一次方程两个根一次二顼式因

8、式分解F-2X+=0Xj=1 Xi=l4*1= (x-1) (z-t)x2*3x2-(A-1)(A-2)XT=i3JQTCx-)3x-l)1x)(x-2)_J_4妒-13上3 =4 3-J 0,则有a 0,或者b 00，请判断王0.力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式5x 12x 30的解集，如果不正确, 请说明理6 / 12(2)阅读材料：已知m2m 1 0, n2n 1 0,且mn 1.求四的值.n解： 由n2n1 0可知n 0. 11 - n12n-110 .21n n0.又m2m10,且mn1,即m1.n-m,1 . c是方程x x 1n0的两根- m(3)11 .mn1=1.根据

9、阅读材料所提供的的方法及(1)的方法完成下题的解答.已知2m23m21 0, n23n 20 ,且mn1.求m2W 的值.n知识要点：1.解一元二次方程的基本思想一一降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方 法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式=b-4ac与一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0)的根的关系：当0时，一元二次方程有两个不相等的实数解；当=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； 0, k0时，a(x+h)2+kk;当a0, k0时，a (x+h)2+k0. . v 0.该方程没有实数根.5. A解析：当kx2+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实

10、数根，此时k=0;当kx2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则2* .解得324 k 2 09. 9k且k乒0.综上所述k .886. A解析：.一元二次方程ax2+ bx+ c =0（a乒0）有两个相等的实数根，二=b2-4ac =0,又a+ b+ c = 0,即b= - a- c,代入b2 4ac =0得（一a-c）2 4ac= 0,化简得（ac）2=0,所以a= c.、一.、 .一99.一9 97.13解析：由题怠碍x +y -5=土8.解碍x +y =13或者x+y= 3（舍去）.8.解：当x+20,即x- 2时，x2+2 (x+2) -4=0, x2+2x=0.

11、解得XI=0, x2=2;当x+2v0,即xv-2时，x2 2 (x+2) 4=0, . x2 2x 8=0.解得XI=4(不合题设，舍去)，x2= 2(不合题设，舍去).综上所述，原方程的解是x=0或x= 2.9.解析解析; ;王力的推测是正确的王力的推测是正确的 11.8解析：XIX2=3,x22+4x23=0,. .2XI(X22+5X2 3)+a=2转化为2XI(X22+4X2 3+x2)+a=2.Wxx+a=2. . 2 x( 3)+a= 2.解得a= 8.12.解：(1)根据题意，得= ( 2a)2-4X a (a 6) =24a0. . a0.又a 6乒0,a乒6.由根与系数关系

12、得：XI+x2=-2 ,XIX2=a.a 6 a 6由-XI+XIX2=4 + x2得XI+x2+ 4=XIX2.2a+ 4 =，解得a=24.发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=a（x - x）（x - x2） .2 .ax+bx+c= 0的两个根为XI.x2,则f5K-l0f5x-l0I2K-3 3）共中匚T哄导 的对角线有 条.（2）一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？（3）是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理.10.如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成.13 / 12知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问

13、题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活 中的其他问题.温馨提示：1.若设每次的平均增长（或降低）率为x,增长（或降低）前的数量为a,则第一次增长（或降低） 后的数量为a（1土x）,第二次增长（或降低）后的数量为a（1土x）2.2.面积（体积）问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积（体积）公式列出一元二次方程.3列方程解决实际问题时， 方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性.方法技巧：1.变化率问题中常用a（1土x）n=b,其中a是起始量，b是终止量，n是变出次数，x是变化率.变化率问题用直

14、接开平方法求解简单.2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系答案：1.解：设高为x米，则宽为空Eg米.由题意，得x哄/3.33正方形边长1357-n（奇数）红色小正方形个数-正方形边长2468n（偶数）红色小正方形个数n=lirf（1）观察图形， 请填与下列表格:（2）在边长为n （nAl）的正方形中，设红色小正方形的个数为Pi,白色小正方形的个数为P2,问是否存在偶数n,使P2=5Pi?若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.14 / 12解得为1.5,x23（舍去，高度为2.8m的一面墙上）.当x=1.5时，宽9.5.52x3答：高为1.5米，宽为2米.

15、2.解：设横、竖彩条的宽度分别为,、,、,1（20 6x） （30 4x） = （1 -39.5 0.5 323.2xcmv 3xcm,由题意，得X20X30.整理，得6x2 65x+ 50 = 0.15 / 12则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为(30-x ) m,由题意得：(50-x)(30-x) =1421.解得x1=1, x2=79答：小路的宽为1m.4.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为30%a (1+x)2=60%a.xc 0.41, x2 -2.41答：每年的增长率约为41%5.解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染1 + x+ (1 + x

16、) x= 81.整理得(1 + x)2= 81.XI= 8, x2= 10(舍去).( 1 + x)3= (1 + 8)3= 729 700 .答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台. _ ._-_ _2_- . 2 _6.解：(1)设平均每次下调p% ,则有7000(1 p%)25670./. (1 p%)20.81.- 1 p%0 , - 1 p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下调10%;(2)先下调5%,再下调15%，这样最后单价为7000元X (1-5%) X (1 15%) =5652.5元.销售经理的方案对购房者更优惠一些

17、.7.解：因为60棵树苗售价为120元X 60= 7200元8800元，所以该校购买树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗，由题意，得x 120 0.5 x 608800.10部以内(含10部)时，依题可得28 27+0.1 (x 1)x+0.5x=12.20(不合题意，舍去)，x26.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.10部以上时，依题可得28 27+0.1 (x 1)x+x=12.5,乂224,均不合题意，应舍去.12万元.9.解：(1) n 3; (2)设这个凸多边形是n边形，由题意，得n(n 3)14.2解得昨7,山4(不合题意，舍去).答:这个凸多边形是七边形.不存在.解，得x= - ,x2= 10(不合题意，舍去)6. 2x = - , 3x =.32答：每个横、竖彩条的宽度分别为5cm.23.解：(1)a(b 1)(或ab a ); a(b 1)(或ab a);(3)将笔直的小路平移到草坪的左边,(舍去).a,合理利用量的增长率是x,由题意，得(不合题意舍去).-x 0.41.x台电脑，依题意，得解得为220, x280.当x1当x2220时，120 0.5 220 6040 100,x1220不合题意，舍去;80时，120 0.5 80 60 80.110 100,X280.x答：该校共购买了80棵树苗.8.解：(1)27 0.3=26.7