控制系统的状态空间模型练习题及答案

1、第1章“控制系统的状态空间模型练习题及答案1.1有电路如图P1.1所示，设输入为Ui,输出为U2，试自选状态变量并列写出其 状态空间表达式。解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量, 求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函 数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。设Ci两端电压为Uc1 ,C2两端的电压为Uc2,那么dUc2Uc1C2 R2Uc2 -U1dt蚂.堕 p 也dt R1dt状态空间表达式为:选择状态变量为x1= uc1,X2= Uc2，由式和得:d&1dtR RC111-Uc1 -Uc2 -U1R2C1

2、R2C1dUc2dt1-UdR2C2J?上R2C2R2C2U1图P1.11.2建立图P12所示系统的状态空间表达式。输入量，即u = f , M1,M2的位移量y，y2为输出量, 选择状态变量X= y，X2=y2, X3 =史1，X4 = y2。dtdt根据牛顿定律对M有：M1X-KxB1d(XX1)Xi =RRCiX1 X2二qR1R2C1R2C1R2C111X1 -R2C2gX2R2C；U1R + R2C111-11XJ一RAGR2C1-xjR2C1屈-11!X2_1IR2C2R2C21R2C2_一X2U1y - 1-1 0解这是B2HM21f(t)个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达

3、式会更为方便。令f (t)为Bi图P1.2M1对M2有:dtdX22dt经整理得:=X4状态方程为:KX1M1B1-X3 -M1B1X4M1输出方程为:写成矩阵形式为:X4B1M2BiX3一(M2方X41 uM2y2 =X2-XJ1X2X3*4一x/lM1y1_1一y2P且M1旦M2一Xi0X2X3BiX21.3系统的结构如图导其状态空间表达式。其中,量。0_X4M1B1B2_(e2)M2M2X3P1.3所示。以图中所标记的X1、&、y分别为系统的输入、输出，X3作为状态变量，推1、2、3均为标 d图P1.3系统结构图解图P1.3给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中

4、每个 积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系 统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系 统的状态空间表达式。着眼于求和点、，那么有1：Xi=二遇X22：X2 =2X2X33:X3= : 3X3u输出y为y = Xi+du,得Xiai10 Xi0X2 =0 a2i X2 +0 u顶3|_00aj LXULiJXiy=i 0 0】X2+du/3j1.4试求图Pi.4中所示的电网络中，以电感Li、L2上的支电流xi、X2作为状态变量的状态空间表达式。这里u是恒流源的电流值，输出y是R上的支路电压。XiX25图P1.4 RL电网络解

5、采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程XiX2R3 - R2X2- L2X2u = Xi - ILiXi为X2R3/ R1整理得状态空间表达式为R RLiR3L2RJX1区(i)y + y+ 4y+5y=3u；2y +3y = u u ；y +2y +3y+5y=5u +7u。y =X2 , y =X3 ,那么有：1.5系统的微分方程试列写出它们的状态空间表达式。(i)解选择状态变量y = *6Xi =X2*2 =X3X3 = -5Xi- 4*2- *3. 3u y =xiXiy = 1 0 0 X233 J(2)解采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程 卜取拉氏变

6、换得：2s3Y(s) 3sY(s) = s2U (s) -U (s)12iY(s) _ s2-i 2s2两2s33ss33s2由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为(3)解采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程 下取拉氏变换得：s3Y(s) 2s2Y(s) 3sY(s) 5Y(s) =5s3U (s) 7U (s)状态空间表达式为:X1X2-X3y =1212(2)在零初试条件(3)在零初试条件7Y(s)5s3732U (s)s32s23s 5在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m是否小于n,假设m = n需作如下处理Y

7、(s)5s37匚-10s2-15s-18- -二- -71 I -二- -U(s) s 2s 3s 5 s 2s 3s 5再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为X101X2= 0*：5一xjy=【100/5Jn1.6以下传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变 量图。2Y(s)-6s2-10s-5g(s)13.2- =1g U (s) s 6s 11s 6令g (s)=U (s)二_ -2-3-6s -10s -5s1 6sJ11s二6s1-1_2_31 6s 11s 6s即:一。10 uJj0-3,、s3s 1(1) g ss36s211s 6,、

8、s22s 3(2)g(s) = -2-s32s23s 1解首先将传函化为严格真有理式即:Y (s) =U (s)E(s) =U (s)-2一X38E (s) =U (s) -6sJE(s) -11s生(s) -6sE(s)Y (s) = -6sJE(s) -10sE(s) -5sE(s)由上式可得状态变量图如下：(2)解由得:E(s)= U( s)- 2s E(s)百s E(专广s E( sY( s)= s1E( $ 2s E( $)才s E( $状态变量图如下:Xi01幻=001*3I.-6 11X10X2 + 0 u-6低L1Jy= 1-6 -11一X-6 x2+uY(s) =U (s)s

9、2s 3s1 2sJ3s sE(s) =U(s)_ 1_1 2sJ3s s由状态变量图或公式直接求得能控标准型状态空间表达式910X2(s) =V2(s)那么由系统方框图P2.10可得状态表达式如下:XJ一010.飞1一0黑=001 X2+ 0 u乂j一-1-3 -2*J jXiy = 13 2 1】X2-X3解设*(s) =y(s)(8)y1.7列写图P2.10所示系统的状态空间表达式。图P1.7i0 x1(s) - U1(s) x2(s) 1 saiidX2(s) = U2(s) - xi(s) 1s b对式(7 )-(10)进行拉氏反变换得Xi(t) = - axi(t) - cx2(t

10、) cui(t)*2(t) = -dx(t) -bx2(t) du?。) yi(t) =x(t)y2(t) =x2(t)那么系统状态空间表达式为丸-a-cxic 0ui!-d七!乂2J。dyj0i山！。2_|1.8试将以下状态方程化为对角标准形。解求特征值 I舄 T 、-7一A=7君+6)+5 =(舄+5)(君+i) = 05+6解得求特征向量a、对于气=T ：(i0)眺H0Lxj一0-6低L7瑚212有解得有解得b、对于7吃=-5:WF1加翌2I A V2=55：i =01V2202= 1 1M2一！-5P = lvV2 1 =1 1-551 14411L 44V2A=PAP-1一001-5

11、51 1-1444_1_1：1J_144.4日= =P P B B = =13一1 11。4* =X +u10 -5_1-一4J九-103舄-2 =舄+10+2舄+3 = 0127九+6 -1,2- -2,气-3求特征向量a、对于 = -1有：对于(2)解求特征值:那么得对角标准型-1-312-1-17J0 -2 j件j=0 5辰L0J七1 一1-V13_|-1-1J14c、对于-212-1-270一-24妃_0一21-4?1dJ J-3-3_12-1-370 1V11一0V12 |=0I3_妇_0-2V11 I1 IV12一吊3 _-3.3J151.9试将以下状态方程化为约当标准形。解求特征

12、值:22=九一1九一3产=0九32 = 3=3-10012-270-20 x x + + -15-20一。0-3一2716-2u u球*2411那么得对角标准型-“121 1221P P = =-1-4-3,P P=-3-2-1113一531_22一-1 0010-20一0一3一221一2312-271B B = = P PB B = = -3-2-115=-15-2053171 1一2716 _22-2人4 1人I I A=1九-111=1,51 _A A = = P P APAP16求特征向量17a、对于丸=1有-1-1-1构造P P一0那么得约当标准型(iIA)Vi i=0V110V12

13、-2也13Rj1=2-V13 -12V21-1-2V22-10_Lv23_-111一01 _A = P AP =B =P4B =V21V2211-11-101-00一2 _51-3413一-518一1 !0 0一-3 4I=T -r * i =0；3 1 x+x+ 8-1 u ur6。3：5 2 j1.10系统的状态空间表达式为5 -12X =xu3一1_5y = 1 2 lx 4u求其对应的传递函数。解A=5一B=flC= 1 2】，d=4一3-1 5g(s) = C(si - A)业B ds 5sI IA =一一31 s 1 T (s 5)(s 1) 3 |L 3s 51 _g(s) = C(si i A A) B B ds 1=-1 2 .(s 2)( s 4) IL 3_ 4s236s 91一2s 6s 81.11设离散系统的差分方程为(si i - - A