二次根式经典复习资料

1、第七讲 二次根式的运算式子, a (a > 0叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础.原式=(1 n)2 n1(n 1)2(n 1)21(n 1)2n 11n n 1(C)(1)a：?cb .c (a b) .c (c > 0)(2) .a '一b ab (a 0,b 0);(a o，b 0)；(4)(、a)2,a2(a 0).同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根 式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念.二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的

2、方法与 技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等.例题求解i 22【例1】已知y .X 2 、x 2 2，则x2 y2=.(重庆市竞赛题)Il 5x 4 W 5x思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手. 注：二次根式有如下重要性质：(1) a 0，说明了 a与a、a2n 一样都是非负数；(2) (-a)2 a (a 0)，解二次根式问题的途径 一一通过平方，去掉根号有理化；(3) (.a)2 a，揭示了与绝对值的内在一致性.著名数学教育家玻利亚曾说，回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告,充分运用概念解题.0X220,y2 X2

3、y260x22提示：5X( 4x224 5x【例2】 化简1 121 2，所得的结果为()(武汉市选拔赛试题)丫 n2 (n 1)2A. 1 丄丄 B. 1 丄C. 1 1 D. 1 - nn1nn1nn1nn1思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式.提示:【例3】计算:(1)(3)(.63)(.3. 2)149 47 47 49(4)3、15 ,10 2 6 3 3 .2 18思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口.( 1 )原式J6 V 3

4、3 J3 3213厂 厂 厂 厂(.6 3)(32) (.6、3)(、3 .2) ( 32) (.63) "2) ( 6 ' 3)=、.6 210141521原式府.20 57). 3 5. 7)V(石 7) 3G 5 7)(,2 3)0 5 .7) (2 . 3)C 5 刁(.2. 3)( . 3. 2)(5 26)2 6 5(3)考虑一般情形1(2n 1),2 n1) (2n 1厂(2 n_1)1.2n 1、2n 1(. 2n 1 2n 1)(J2n 1 J2n 1)2n V 2n 1(2n 1 2n 1)(.2n 1. 2n 1)2 2n 1.2n 1原式2( I? G

5、 F川(3.15(18 2 6) (3 3 二)T5 3 1.5(3 31.2)2.3(3、3 、2)(3、32)75 2虫 1(3 30(5 2 3 1)332.5 2 3 1【例4】(1)化简:.4 2 3 . 4 2 3 ；(北京市竞赛题)5 / 912 32 3当x、y均为正 当x、y均为负计算.10 83 2 2（希望杯”邀请赛试题） 计算,a 2 a 1,a 2.a 1 .（湖北省孝感市 英才杯”竞赛题）3.计算 G 3 1)20012(. 3 1)20002(. 3 1)19992001 =.(天津市选拔赛试题)思路点拨（1）把4+2 . 3万与4 2A分别化成一个平方数化简,原

6、式 G 3 1)1999C 3 1)2 2( 3 1) 1 3 2001 C 3 1)1999C 3 1 1)2 3 2001 2001原式 1 2,3 (,3)21 2,3 (.3)2 . (1 (1亍 1 ,3 ,3 1 2.3 此外，由于 4+2.3与42.3是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；原式,(.4 2 3；4 2 3)24 2 3 2 4 22、34 2 34.若ab0则等式J善=成立的条件是 b5 b3（淄博市中考题）br，即'b3abb3故b3b3，因此b 0，ab 0，- a 05. 如果式子.（x 1）2x 2化简的结果为2

7、x 3，则x的取值范围是（B ）A . x< 1 B . x>2 C. 1< x< 2 D . x >0（徐州市中考题）6. 如果式子（1 aV 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（C ）V 1 aA.1 aB. a 1C. a 1D.1 a8 2.42 (2、3)28 2 16 1212 2 3(2)原式 10 8 . 12 2.2 ( 2)2.10 8 (12)2,10 8(12).4（42_（37.（4.2）242（3）通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综 合问题.原式J2 2 a1 ( a_1)212 2

8、a_1 ( _1), (1a_1)2, (1a1)22当1，即12 a 1 当 a 1>1，即 a 12、a 14- b 23 c 3 c2 个含三个未知量的等式， 呢?考虑从配方的角度试一试.原式可化为：2 .十 1 （ b 2）2 2 2【例5】已知a b5，求a b c的值.（山东省竞赛题）思路点拨(a 1)2即（.厂学历训练1 .如果y已知条件是1)2 ( b0，得c、2x 3三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值7.已知x2 xyy0(x0, y“ 112A.-1B.C.32328 .已知a1L那么a12 . 3a10)，则3xxy y的值为(d ) 5x 3! xy 4y

9、D. ?42a 2 2a 1的值等于（）a2 aA .(12 3) B .1 C. 23221(二)2 2卜.十 922 2)2丄(二 3)2212。故 a b c 23 2x 2，那么 4x2.已知xy 3，那么xy. x的值为II x Y y12因此有 a1 1 0，得 a 2 ; b_2 2 0，得 b 6 ;20。.（成都市中考题）(1) 1999 2000 2001 2002 1 ;(2)(3)、11 5、- 7 4 67 77- 66 42.1997(1997. 1999)( 19972001 )（希望杯”邀请赛试题）11 2 3013 2 4215 2 56172 72 ；. 1

10、999.2001(.19991997)(.19992001)( 2001,1997)( 20011999)10.已知9 .13与9 .13的小数部分分别是a和b,求ab 3a+4b+8的值;设x丄丄,n为自然数，如果2x2 197xy 2y21993成立，求n.n 1. n11.如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由 A处运往正西方向的B处，经16小时 的航行到达，至V达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由；（

11、2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完（供选用数据：.2 1.4，.3 1.7）（贵阳市中考题）12 .3 一 2么货物？（杯全国初中数学联赛题）13 .若有理数X、y、Z满足x , y 1 z 22(x y z)，贝U (x yz)3 =（北京市竞赛题）14.设一27 10.2 a b，其中a为正整数,b在0,之间，则穿15.正数 m、n 满足 m 4 . mn 2 m 4.n 4n3，则（北京市竞赛题）16.化简 2 .3 2.2.17 12 2 等于()A . 54 .2 B . 4 2 一 1C.5D . 1（全国初中数学联赛题）若a, B是互不相等的无理数，则厂厂是无理数.

12、其中正确命题的个数是（）A .0 B . 1C. 2 D . 3 （全国初中数学联赛试题）提示：（2 1）（2 1） （2 1） （.2 1） 1 2 3是有理数；答案 A22 22.2 220.计算:17.若 1 x 1 x，则(x 1)2 等于(（2004年武汉市选拔赛试题）x C. 1 D.18.若 a b,a、b、ab都是有理数，那么a和.b （）（希望杯”邀请赛试题）A .都是有理数 B .一个是有理数，另一个是无理数C.都是无理数 D .有理数还是无理数不能确定19.下列三个命题： 若a, B是互不相等的无理数，则 ap aB是无理数; 若a p是互不相等的无理数，则 是无理数；2

13、3,2g是有理数;2.532 - 306、. 24 3 ；112. 11 一 23 2 2 3(1)(3)(4)2(6 2 3 2 515)；100 99 99 100 '厂厂(5)" 2_“ 2.3 2 2帖1提示：("原式 2.65 2.63 26 22. 6(.53(5 2 15 3)2(53)(5. 3)2” 2( 5、3)- 2)0是有理数。216冷；（2原式3)( 5、32)53 、2（3）先看通项(n 1) n n n 11 n).n)( n 1 n)19110 10J "J 川 199100)(4)原式.12 4 3 4 5 2 T54 3

14、 5 2 3 2 5 2 15故原式（11)(235)221：(.52)( 51)(52)( 51)-1)2.(. 51)( 51), (. 51)(. 51)7512 (2D（5 ）原式1)2(1 3) (.2 1) 141 ab ab_192 199921(2)计算,1 199922V200022000(：1)2 .( 3)2 c.2 1)祖冲之杯”邀请赛试题）提示：（1）因为2hb 1所以原式左边=2 1a2aa b2 (ab 1)2 2ba212 2 -ab 1Mab 1（a 1侖）2右边（2）设a 1999，则原式1(1 a2)(a 1)2 a2a 1a 1(a 1)2 a2(a 1

15、)2 a2a 1(a 1)2 a2(a2 2a 2)n-(a 1)2a4 2a2 (2 a 2) n(a 1 a2)21a 1a 1 a2a 1199922(1)f(x)3232-x 2x 1-'x3 2 ，求 f(1) f(3)1 寸x 2x 1|f(999)的值;（2）设x、y都是正整数，且使.x 116 .X 100 y，求y的最大值.（上海市竞赛题）1提示：（1）注意到 2a ab b(a2 ab b2)(a b) ab3，原 f 可化为:f (x) 3(X1)2V(x1)(x 1)V(x1)2(幻 X1)2 3x1耳 X1&X1)2丁ix1 1(37 3厂)x 1 (

16、x 1)2故 f(1) f(3) | f (999)=1( 3 23 0)(3 43 2)卅 (3 10003 998)-1 (3 10003 0) 少0 52x116m22(2)设2216n2m2(n m)( n m) 2 108 4 54， y m n 108x100n223. 试将实数.12(1 5)(1 7)改写成三个正整数的算术根之和.(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)提示：题目的意思是：11 2(1 , 5)(1 , 7) (a b c)2，因此配方使11 2(15)(1 7)=112(1 . 7 5.35)1 75 2 .72 52 .35(1 , 7. 5)2故 11

17、2(1. 5)(1.7)_ (17 、石)21,7524. 求比G6 .5)6大的最小整数.(西安交通大学少年班入学试题)提示：设 X , 6. 5，y ,65，则 x y 2 6，xy 1那么x2 y2 (x y)2 2xy (2 6)2 2 22，x3y3(xy)(x2xy y2)2 6(221) 42 .6，x6y6(x3y3)22x3y3(42 6)22 10582即 C 6. 5)6 C 6 . 5)6 10582，由于 06 .5 1，故 0 ( <65)6 10 10582 C 6 .5)6 1， 同减 10582，得 10582(E、/5)610581，同乘 1 得105

18、82 (.6 .5)6 10581，即 10581 (.65)6 10582故比(.6、5)6大的最小整数为10582。二次根式的计算与化简(提高篇)1、已知m是.2的小数部分，求.m2 -12 2的值。V m117 / 94&已知：a 3 2 , b 3 2，求代数式.a2 3ab b2的值丁 3- 2-i 329、已知 0x3，化简.x2. x2 6x 92、化简(1) . (1 x)2.x2 8x 16(2) 1 , 32x3 2x、x x 502勺 2 x15 / 91(3) ,4a 4b (a b)3. a3 a2b(a 0)3、当 x 23 时，求(7 4、3)x2 (2

19、,3)x3 的值。10、已知a23，化简求值1 2a a2a 12a 2a 12a a11、已知 x 2. 3, y 2. 3,求：x2 xy y2 的值。4、先化简，再求值：2aJ3ab3 ?27a3b3 2abJab，其中 a 1 ,b 35、计算:1、2 A1 132.4;31.20052004.2005 12已知x . 2 1，求x 1 的值.x 1 2 . 2 ,4 ；壮(7、x 5X2)(3a 3 27a3)，:a 1a2 2a 14a2 16a2 4a 44a2a r，再求值。12、计算及化简:7、已知：a , b2.32 2一1，求a的值23 2a 2b a 2fab b a

20、bb_b 、ab111(2)2、丿J1822 ;.8.2，32002 2001 2000(3)512 514,5 12002 ；(4),5.3,2 ,5.一 32 ;I l1 1(5)si n600 0、2 1p1 2。12.312113、已知：a a1.10，求a2 A的值a2 L2 LL答案：（1）4. 3 ；（ 2）<3 4 2 ；（3）2002;（4）2 6 ；（5） 13 3f1【例2】化简：b . ab ： ab ba . b a b分析：将 a'b和 b 分别分母有理化后再进行计算，也可将除以.ab变 为乘以1十.a “ b ；.、. a “ bf ab与括号里各式

21、进行计算，从而原式可化为：f原式一xa1一 ba=>/b1 =0.a 、ba . ba.：b【例3】已知a1b 1求ab1 aib的值；a，bL，求. b31.3114、已知去3y2x 92-0,求x 1的值x 3y 1分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且a、b的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故ab必然简洁且不含根式，a b的值也可以求出来。2006年中考复习之二次根式的运算知识考点：二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。 也是学习其它数学知识的基础，应熟练掌 握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式，并能熟练进行二次根式的混

22、合运算。精典例题：【例1】计算：解：由已知得：ab -31.3 11一 3 ， ab -22 2、ab-ab原式一 - ab a b 3ba探索与创新：【问题一】比较、3/、 2与21的大小；-4. 3与、32的大小；5. 4与4、3的大小;猜想.n 1. n与.n.n 1的大小关系，并证明你的结论。-2 1 1 2 2 2 322宀；分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。、3 、2 1.73 1.414= 0.318，. 2 1 1.411 = 0. 414a a 2b ab a 2b aJJtJtJ< f同理：.3 V,32 ,.5、4 V4.3根据以上各式二次根式的大小有理由猜

23、测：n 1 n V n n 1_ . ab问：（1） 上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号；（2） 错误的原因是；（3） 本题的正确结论是。分析：此题是阅读形式的题，要找出错误的原因，错误容易产生在由根式变为绝对值，绝对值再化 简出来这两步，所以在这两步特别要注意观察阅读。解：（1）；（2）化简a 2b a 2b时，忽视了 a 2b V 0的条件；（3）跟踪训练：一、选择题：1、下列各式正确的是（）A、. a2b a ab n , n 1 n n 1一 n 1 =Jn.n 12 2厂 ：. n In 1n . n 1B、a4b4 a2b3 ( a >0， b V0)C、2. 3的绝对值是,3, 2又亦 v'"n【问题二】阅读此题的解答过程，化简:33a 1 3a 1D、v'a 1 la 1 Ja 1 a 1 12、下列各式中与.4a 2 （ a -）是同类二次根式的是（2AJ（4a 2）3 厂1 cA、B、 3（4a 2）C、 . a 233“3、下列等式或说法中正确的个数是（）a2 b2 a b ；)D、 2. 2a 1解：原式=a b(a2 4ab 4b2) a 2bab(a 2b)2a