二元一次不等式(组)与平面区域教学设计

1、二元一次不等式 （组 ）与平面区域教学设计二元一次不等式（组）与平面区域教学设计建瓯一中 陈朔陶一、教材分析本节课是新教材必修 5 第三章 3.3.1 节的内容，教学大纲对这部分内容的要求是了解二元 一次不等式表示平面区域，并会简单的应用。这是新大纲中增加的新内容，不仅为传统 的高中数学注入新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系， 同时也学习了数形结合的思想方法。 为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。 这节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的

2、作用。、教学目标分析1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准 确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力；3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流， 增强数学的情感体验，提高创新意识。三 教学的重点、难点1、教学重点：二元一次不等式 （组 ）表示平面区域；2、教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；四、教法与学法指导及教学手段1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等；2、学法指导： 这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境

3、，引导学生进行 尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构， 在交流合作中学习。、教学手段：采用坐标纸让学生动手操作，利用多媒体技术优化课堂教学。五、教学过程设计教学 环节教学内容师生互动说明一、创导设入 情新 境课1.建立二元一次不等式模型【 多媒体展示 】北京 08 年奥运会的主体育场“鸟巢” ，它的外形结构是由许多 巨大的钢架够成的，在当时为了按期完工，每天至少需要 50 根高质量的钢柱，已知只有两个厂有能力生产这样的钢柱，一 号钢厂和二号钢厂每间车间的日生产量分别是 10 根和 8 根， 但是两个厂每天总共能投入生产的车间至少 6 间，那么两个钢 厂各提供多少车间才能

4、满足每天的需求呢？【 学生解答 】解：设一号钢厂提供 x 间车间，二号钢厂提供 y 间车间 xy6则 10x 8y 50x,y N师： 大家知道“鸟 巢”吗？请看多媒体 的展示，这个问题中 存在一些不等关系， 我们应该用什么不 等式模型来刻画它 呢？生： 解答创设 情景， 构造 问题 悬念， 激发 兴趣， 明确 学习 目标， 引出 概念二， 引入 概念2. 二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 （1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高 次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等 式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式

5、（组） 的解集：满足二元一次不等式 （组） 的x和 y的取值构成有序实数对（ x,y ），所有这样的有序实数 对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。师： 刚才列出的不 等式有什么特点？ 生： 两个未知数， 未知数的次数是 1. 师:我们把这个不等 式称为什么 ? 生:二元一次不等式 师 : 这里有两个二元 一次不等式 ,所以这 个式子称为二元一 次不等式组 . 师： 二元一次不等 式的解集具备什么 条件？可以用什么 来表示？ 生：用序实数对 （x,y）明确 概念, 为探 究实 验做 准备3. 探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 【 共同探究 】师 : x y 6 0从特

6、殊到一般：表示什么图形 ?生 :先研究具体的二元一次不等式 x y 6直线师 : 请同学们在坐标纸上作出这条直线 .如图：在平面直角坐标系内， x y 6 0 表示一条直线（学这条直线把直角坐生在坐标纸上作图） 上的点 , 直线右上方。平面内所有的点被直线分成三类：直线标系上的点分成了几类 ?如何描述, 直线左下方y生 : 三类 , 在直线上 ,65直线的右上方 ,直线4的左下方3师 : 直线上的点坐标三、21一定满足猜构x y 6 0。请举几想建01234 5 6 xx y 6 0个例子。探新生: （1,5），（2，4），索知坐标满足 xy60 ：（1,5 ），（2，4），（3,3 ），（3

7、,3）， 师：坐标满足坐标满足 xy60 ：( 1,6 ),(2,5),(3,4),x y 6 0 的点坐标满足 xy60 ： (1,4),(2,3),(3,2),有哪些呢？生：（1,6）,（2,5）,（3,4）,【 学生尝试 】师：坐标满足把刚才列出的点描在坐标系内，观察。 【 展示成果 】x y 6 0的点坐标满足 xy6 0 的点在直线的右上方（1,4）,（2,3）,（3,2） 师： 他们落在坐标平面内的哪些区域坐标满足 xy6 0 的点在直线的左下方呢？请你们把这些【 提问 1】点描在你们所作出直线右上方的点坐标是否满足 x y 6 0的坐标系内。 学生展示成果师 ：你们发现了点直线左

8、下方的点坐标是否满足 x y 6 0与直线的位置关系【探究实验】式怎样的？利用几何画板生：(1,6),(2,5),(3,4)在直线的右上方；（1,4）,（2,3）,（3,2）在直线的左下方 师： 直线右上方的通过 数学 实验， 为感 性认 识上 升为 理性 认识 打好 基础。元一次不等式 (组 )与平面区域教学设计点坐标是否满足 x y 6 0？ 用几何画板做实验 生： 直线的右上方 的点坐标满足 x y 6 0。猜构 想建 探新 索知师 ： x y 6 0 表示直线右上方的 平面区域。x y 6 0表示 直线左下方的平面 区域。x y 6 0表示 直线是两区域的边 界。师 ：二元一次不等 式

9、 Ax+By+C>0 在平 面直角坐标系中表 示直线 A x+B y+C 0 上方的区域吗？ 生 1:是； 生 2:不是。 师 ：说不是的那位 同学请你举个例子。 生 ：比如直线 x-y-6 0 直线上方的点 (0,0) ， (1,0) 使 x-y-6<0 直线下方 的 点 (6,-1) 使 得 x-y-6>0 师 ：由此说明二元 一次不等式 A x+B y+C>0 在平面 直角坐标系中表示 直线 A x+B y+C 0 某一侧所有点组成 的平面区域。【总结】x y 6 0 表示直线右上方的平面区域。x y 6 0 表示直线左下方的平面区域。x y 6 0 表示直线是两

10、区域的边界。【 提问 2】二元一次不等式 A x+B y+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 A x+B y+C 0 上方的区域吗？【 举例验证 】(0,0) 0-0-6<0 (1,0) 1-0-6<0 (6,-1) 6+1-6>0【一般结论】 一般地，二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直 角坐标系中表示直线 A x+B y+C 0 某一侧所有点组成的平面 区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线；不等 式 Ax+By+C0 所表示的平面区域， 包括边界直线， 应把边界 直线画成实线。【结论】 直线同侧点同号 .四 练习 反馈解：先画直线 x 4y

11、 4（画成虚线） .取原点（ 0 ， 0），代入 x +4y-4,0+4× 0-4=-4 <0,原点在 x 4y 4 表示的平面区域内，例 1 画出不等式 x 4y 4 表示的平面区域。不等式 x 4y 4 表示的区域如图：师：直线 Ax+By+C=0 同一侧 的所有点 （x，y） 把 它的坐标代入 Ax+By+C 所得到的 实数符号相同， 所以 在直线某一侧取一 个特 殊点（x0,y0）代 入，从 Ax 0 +By 0+C 的正负可以判断出 Ax+By+C>0 表示哪 一侧的区域。 生： 画二元一次不 等式表示的平面区域常采用“ 直线定界，特殊点定域 ”的 方法。特殊地

12、，当 C 0 时，常把原点 作为此特殊点。通过 练习， 加强 学生 的认 知结 构， 得到 规律， 概括 为口 诀，便 于操 作。五， 探索 新知4.练习反馈强调：直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 （x， y） 把它的坐标 代入 Ax+By+C 所得到的实数符号相同，所以在直线某一侧取 一个特殊点 （x0,y0） 代入，从 Ax 0+By0+C 的正负可以判断出 Ax+By+C>0 表示哪一侧的区域。归纳 ：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“ 直线定界， 特殊点定域 ”的方法。特殊地，当 C 0 时，常把原点作为此 特殊点。变式 1、画出不等式 4x 3y 12 表示的平面区

13、域。变式 2、画出不等式 x 1 所表示的平面区域。 概括： “直线定界，取点定域 ”，特别地，当 C 0 时，常把原 点作为特殊点。5.探索新知【例题示范】 （利用口诀 “直线定界，取点定域 ”） 画出不等式 2x+y 6<0 表示的平面区域。（强调画图规范和注意点） 变式一：指出不等式 -2x+y 6<0 表示的平面区域； 变式二：指出不等式 2xy 6 0 表示的平面区域； 变式三：指出不等式 -2x y6 0 表示的平面区域。规律：一般地，二元一次不等式 Ax+By+C>0（A 不等于 0）当 A >0 时， Ax+By+C>0 表示平面区域在直线 A x

14、+B y+C=0 的右方， A x+B y+C<0 表示平面在直线 Ax+By+C=0 的左方。师： 从上面判断过 程中能得到什么新 规律，使区域的判断 更方便呢？ 生： 从不等号方向 和A 的正负考虑 生： 一般地，二元 一次不等式 A x+B y+C>0（A 不等 于 0 ）当 A >0 时， A x+B y+C>0 表示平 面区域在直线 A x+B y+C=0 的 右 方 ， A x+B y+C<0 表示平面在直线给学 生提 供活 动的 时（思 维时 间）空 （思 维空 间），概括： “系数化正、左小右大”，系数指 x前系数 A， “左（右）” 指平面区域的左（右）方， “小（大） ”指不等式的小于（大于） 号。五， 探索 新知【例题示范】xy50画出不等式组 x y 0 表示的平面区域。 x3变式一：用二元一次不等式组表示下列平面区域；变式二：能画出不等式 y2 x2 0 表示的平面区域吗？2引申：能画出不等式 y x2 0 表示的平面区域吗？A x+B y+C=0 的 左 方。通过 问题 变式， 重组 学生 的认 知结 构，从 而得 到规 律，概 括为 口诀， 便于 操作。六、 小作 结业 提布 炼置一，（思考、讨论得出小结，教师作适当的补充）1、这节课学习的主要内容是什么？2、如何理解口诀 “直线定界，取点定域 ”和