Prim算法和Kruskal算法的Matlab实现

1、计算机仿真期末大作业Prim算法和Kruskal算法的Matlab实现05605 禹 050697 （30）连线问题应用举例：欲铺设连接n个城市的高速公路，若i城与j城之间的高速公路造价为 Gj ,试设计 一个线路图，使总的造价最低。连线问题的数学模型就是图论中在连通的赋权图上求权最小的支撑树。试用Matlab分别实现求最小支撑数的 Prim算法和Krusal算法（避圈法）。一.基本要求：（1）画出程序流程图；（2）对关键算法、变量和步骤进行解释说明；（3）用如下两图对所写算法的正确性进行验证。即输入图的信息，输出对应图 的最小支撑树及其权值。（4）分析两种算法的实现复杂度。二.扩展要求：（1

2、）提供对算法效率（复杂度）进行评估的方法，并通过举例验证，与分析得到的算 法复杂度结果相对照；（2）从降低存消耗、减少计算时间的角度，对算法进行优化。三实验步骤I.用Prim算法求最小生成树i 算法分析及需求分析，程序设计prim算法的基本思想是：设 G= （V , E）是一个无向连通网，令T= （ U , TE ）是G的最小生成树。T的初始状态为U=v0 （v0 ） TE=，然后重复执行下述操作： 在所有u U ,v V-U的边中找一条代价最小的边（u, v）并入集合TE，同时v并入U，直至U=V 为止。显然，Prim算法的基本思想是以局部最优化谋求全局的最优化，而且，还涉及到起始 结点的问

3、题。本程序完成的功能是：从图中的任意结点出发，都能够找出最小生成树实现方案分析：个点(即T的顶点集U中有k个顶点)则所有满足u U, v V-U的边最多有k： =： 条, 从如此大的边集中选取最短边是不太经济的。利用MST性质，可以用下述方法构造候选最小边集：对应 V-U中的每个顶点，保留从该顶点到U中的各顶点的最短边，取候选边最短边集为V-U中的n-k个顶点所关联的n-k条最短边的集合。为表示候选最短边集，需设置两个一维数组lowcostn和adjvexn，其中lowcost用来保存集合 V-U中的各顶点与集合 U中 顶点的最短边的权值，lowcostv=0表示顶点v已经加入最小生成树中；a

4、djvex用来保存依附于该边在集合U中的顶点。例如下式表明顶点小和顶点5之间的权值为wlowcosti=w;adjvexi=k;程序流程图Ulfc入点，如采聯：於姑珥严乐 酊存国刊 则輸LL捲逞七亘掙示冏户重祈fij A.井珥左序中棗用到期貯E进亓脈址正規洱上一轴i.萨李令骂岸对fowwL和詔前攻芒讦甘血假理F皓上，士输一：,鬥尸定 结古对IfiwaH和ad肿“吐尸啊赋直 llidwcdit=paph_adj a rerrt(5tHrtjaoint/|c%lowi:o 曲i白f fS为节尊助"Ft _讯刑的社ffijydjvex -startuinl .* on即(lPlen 治Uj

5、viac 4師軒芫耒的值都芍钏绐".丸关键代码说明：1 将用于验证算确性的两幅图用邻接矩阵的形式保存，分别保存为文件Graph1.m,Graph2.m (注：矩阵的对角线元素设置为零。)并在主程序finallyprim 中直接进行调用。2 在输入起点时应该给程序的阅读者就该图的顶点数作出提示，不然的话使用者很可能会输入越界下标。采取的方法如下len=length(graph_adjacent);% 求图中有多少个顶点k=spri ntf('please in put the point where you want to start ,do remember it must

6、bebetwee n 1 and %d ',le n);start_point=input(k);%输入最小生成树产生起点采取了 sprintf格式化字符串的方法，就避免了编程的人每次根据输入图的顶点数手动对提示作修改。效果如下：在对第一幅图进行算法验证时在workspace会如下输出：please in put the point where you want to start ,do remember it must be betwee n 1 and 7在对第二幅图进行算法验证时在workspace会有如下输出：please in put the point where you

7、want to start ,do remember it must be betwee n 1 and 83. 在输出结果时为了使结果在workspace中输出的清晰，使人一目了然，也使用了sprintf格式化字符串的方法，代码如下s=0;for ii=1:le n-1k=sprintf('最小生成树第 %d 条边：(%d,%d ), 权值为 d',ii,tree(ii,1),tree(ii,2),graph_adjace nt(tree(ii,1),tree(ii,2);disp(k);disp(''); s=s+graph_adjace nt(tree(i

8、i,1),tree(ii,2);enddisp('最小生成树的总代价为：')disp(s);4. 下面对算法的核心部分进行说明：在len-1次循环中，每次循环要完成以下三项工作1. 找到最小边，(需要求lowcost数组的最小非零值，因为0表示该边已经被加入到了最小生成树中)由于是求非零的最小值，就不能在直接用min函数了。我采取的方法是这样的：k=lowcost>0;%k为一逻辑数组，它和lowcost同维，对于每一个位% 置 i 如果 lowcost(i)>0 贝U k(i)=1%否则k(i)=0;稍候将用这个数组进行辅助寻址cost_min=min(lowco

9、st(k);% 找出 lowcost 中除 0 外的最小值index=find(lowcost=cost_min);% 找出此最小值在 lowcost 中的下标，即找到相应的节点index=index(1);%因为最小值的下标可能不止一个，这里取第一|个下标进行处理lowcost(index)=0;%表明该节点已经加入了最小生成树中采用这种方法不仅充分利用了matlab的built_in函数，还避免了自己编写代码(循环+判断lowcostv是否为0)来实现寻找不为零的最小值的 麻烦，提高了代码执行的效率。2. 对lowcost和adjvex进行更新，即：设刚加入最小生成树的顶点为index，比

10、较对于 U-V中的每个顶点 v:比较lowcost(v)和(v, index)边的权值大 小，如果(v，index)边的权值小，则令lowcost(v)的值为该边的权值，并 将adjvex(v)的值等于indexfor j=1:le nif lowcost(j)>graph_adjace nt(j,i ndex); lowcost(j)=graph_adjace nt(j,i ndex);|adjvex(j)=in dex;|endend3. 将该边保存tree(i,:)=adjvex(i ndex),i ndex;ii.结果如下求第一图的最小生成树：pleause input the

11、point where you 训ant t©j do renteniber it must be between 1 and 7 2累小生威胡第1祭边="J，枫值为3最小生成树第2条边*最小生成旃第拣边=(3,6)权値曲1最小生威材第4祭边匕(E" 权値为2 最小生威树第嗓边；(引，权t!为3 最小坐威楙第6条迩(1,4)*权值为4 最丿卜生成树的总代价为；最小主威材第1朵边:CEf6) i权值曲3蛊牛生戍樹第2築边:【£3J ,靱值划乞门圾值加最小主戍啊算q诱ii；（6,7）-杈值为E最小圭成柑第5蚤追:（1,2）,叔值为$量卜主咸删覘Mu（b4）,

12、杈值曲q最小圭威樹的扁代价为：15求第二图的最小生成树：please input tke pflint wfiere you want + q si:art / do r&uiew.'ber if jt.i_is+ be betwaan 1 and S 4垠4生威树笫1金边：枚値为眾小燮咸牺第2爭边.【3,引極值曲2摄小兰威榊第3案边：心），权值負丘蚩冲生成枫黑4承边| （禺C栋值为代量小莹威桶第E編迪，f 枚值为B重才生咸树第6条边；C6, D杈11为14摄沙尘砂州第f集边：C1.2),职值用9最4注成树的总代析舟6Dplease LiWirt rhe pcint nrher

13、e you varrt to rtsrt j do renenber it T.uft be between L and 8 B 搂水生成树弟1条边M幅,心袄值为丘毎小生悶阿芾？务谕：（4,3）朽佰帥H星小土删菜J条边乂:亠5） 栈值为2摄小生朋箱4条边.(3$) *模值为19卡小生威材梓匕制加【需门*朽僭亦臥T住删粗条也:£：），枚值対M最小生删帶滦也门，门 > 袄值掬9悵4v：T战恭1时嘉仕愉为:60II .用Krusal算法（避圈法）求最小生成树i 算法分析及需求分析，程序设计Kruskal算法的基本思想是： 设无向连通网为 G=（ V，E）,令G的最小生成树为 T=（

14、U，TE），其初始状态为 U=V, TE=,这样T中各顶点各自构成一个连通分量。然后按照边的权值由小到大的顺序，依次考察边集E 中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于 T 的两个不同的连通分量，则将此边加入到TE 中去，同时把两个连通分量连接成一个连通分量；若被考察边的两个结点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当 T 中的连通分量个数为 1 时，此连通分量便为 G 的一棵最小生成树。显然， Kruskal 算法实现起来要比 prim 算法复杂些。选择合适的存储结构存储图，采用 合适的排序算法对程序执行效率的提高非常重要， 采用简单而明了的方法判断边的两个端点 是否在一个连

15、通分支上更是尤为重要。一般来说， 涉及 Kruskal 算法多采取边集数组做为图的存储结构， 但考虑到 matlab 不像 C 语言那样可以方便地动态的生成数组和释放存， 仍采取了邻接矩阵的形式保存图， 用于测 试的两幅图，分别保存为 Graph11.M,Graph22.M. (注：邻接矩阵的对角线元素设定为100)这样既方便对边进行操作，又方便对边的顶点进行操作。使用邻接矩阵容易引起的问题是：由于邻接矩阵是对称矩阵，比如graph_adjacent(1,2)和graph_adjacent(2,1)代表的是同一条边， 所以当有一条边被选入最小生成树后， 要对它的两个结点分别进行更新。 整个程序

16、是 以顶点为基本单位处理的。 由于一条边对应两个结点， 取标号较小的顶点做为主要处理对象， 并用它来寻址该边所对应的另一个结点。 这样规格化的好处在于： 程序流程的每一步都会在 自己的预测中，出现了错误易于查找。下面介绍一下一个 matlab 的 built_in 排序函数 sort 这个函数的功能非常强， 也正因为采 用了这个函数才使我的程序简洁高效。Y， I=sort ( A )；其中 A 为矩阵。则 Y 为将 A 中各列按从小到大排序后的结果， I 为 Y 中的元素在原矩阵 A 中所在的行 号。举例如下当两个连通分量相连后则将它们的tag值设为一致程序流程图:关键代码说明:1 如何判断两

17、个点是否在同一个连通分支 将图中每个顶点的tag值设为自身标号for j=1:le n |tag(j)=j;%关联标志初始化，将每个顶点的关联标志设为其本身en d; 当确定两个顶点不在同一个连通分支时，将它们对应的边加入最优边集superedge中，并修改其中一个顶点的及其所在连通分支的各个点的tag值，使其和另一连通分支具有相同的tag值。if(tag(anotherpoint)=tag(index)%当两个点不属于一个连通集时，这两个点之间 的边为最小生成树的边superedge(i,:)=index,anotherpoint;%将其加入最小生成树的边集中 i=i+1;%下标加1%下面的

18、语句的作用是将两个连通分支变成一个连通分支，即tag值一样for j=1:len% 以 index 的 tag 值为标准 if(tag(j)=tag(anotherpoint)&(j=anotherpoint)%遍搜 tag 数组，先将和anotherpoint tag值一样的点的tag值变为index的tag值tag(j)=tag(i ndex);endendtag(anotherpoint)=tag(index);% 将 anotherpoint 的 tag 值变为 index 的 tag 值endend注意：上面的红色代码部分，要先将连同分支的其他点的tag值变为tag( ind

19、ex)，最后在改变 tag( anotherpoint )的tag值，如果先将 tag(anotherpoint)的值改变了， 编号在anotherpoint之后的点的tag值就无确更新了2.寻找最小边Y,I=sort(temp);%将temp的每列按从小到大排序，数组Y保存temp排序后的结果，I中保存相应结果对应的在temp中的下标cost_min=min(Y(1,:);%找出权值最小的边in dex=fi nd(Y(1,:)=cost_mi n);%找出权值最小的边对应的顶点in dex=in dex（1）;% 条边对应两个节点，且不同的边的权值可能一样，这里为了方便处理人为规定了顺序，

20、取标号最小的顶点进行处理.anotherpoint=l（1,index）;%找到该边对应的另一个顶点%将该边对应的权值修改为最大，防止该边在下次循环中再次被选为最优 边temp（i ndex,a no therpo in t）=100;temp（a no therpo in t,i ndex）=100;3显示模块采用的代码参见prim算法。ii.结果如下a.第一图的最小生成树最小生战树第1乗边：(3,6),权值为1最小生战树第2築边：1,3,8U为 2最小生战树第了棗边！椒值为2最小生成树第走条边：1,"权値为d最小生成树第5需边；权值为3摄小生成树第$信边；虽小生成衲的总代析先15

21、；b.第二图的最小生成树录小生成树第1条边：（3,5），权值为2磺小生成树弟2衆边！（6）f枚值丸B最小生成树弟d条边：2,6权值为石最小生成树弟q条边i（4,3）权備为日最小生成树第5条边1（1,2）权值为9最彷生成树弟£条边：（1,6）-权值知4最小生咸树第r务边（X6）,枚值为13最小生咸树的总代价为fiO9四.扩展功能的完成(1)提供对算法效率(复杂度)进行评估的方法，并通过举例验证，与分析得到的算法复 杂度结果相对照；理论分析设图中的顶点数为n,则Prim算法要执行n-1次外循环找齐最小边，每次外循环又要执行n次循环对lowcost和adjvex数组进行更新，所以Prim算

22、法的时间复杂度为0),与网中的边数无关，因此适用于求稠密网的最小生成树。因为Kruskal算法是依次对图中的边进行操作，因此Kruskal算法的时间复杂度为O(e ),其中e为无向连通网中边的个数。相对Prim算法而言，Kruskal算法适用于求稀疏网络的最小生成树。程序验证1.随机生成300300的对称稠密矩阵，用于观测Kruskal和Prim算法的运行时间。(分别在finallyprim和finallykruskal脚本文件中的主循环开始和结束为止加tic,toc)对称矩阵采用如下方法生成。a=ceil*(ra nd(300);b=triu(a);c=b'a=a+c;for ii=

23、1:300a(ii,ii)=0;%(for prim)or a(ii,ii)=1000%(for kruskal)end运行结果如下：a. primplease iriptit： the pDin,t vhcic ygu varit: I srt art f dp rEmcnbEX itbs bet.vesn arid. 300 EElapsed tims is 1720QJ second?量J生唄榊旳总代价北：300b. kruskal冃町尺嗣 i ".nFngom氓小生翊対忌代桥？S300由此可见对于稠密图prim算法优于kruskal算法稀疏对称矩阵采用如下方法生成a=ones

24、(300)*1000;% 如果 a(i,j)=1000 表明 i,j 两点不连通a(:,2)=ceil(50*ra nd(1,300);a(2,:)=a(:,2)'a(1,3)=1;a(3,1)=1;a(4,8)=2;a(8,4)=1;for ii=1:300a(ii,ii)=0;%( for prim)end这是一个多播网，2号结点是广播源，1, 3结点和2相连外，还彼此相连，同理4,8结点。运行结果如下：a. Primjilease input the point vhere you want to start 9 do remejibei: it must bs tetveen

25、1 and 00 5 Elapsed toe ts 0. 1830DO曷I住删的总代仰加7337b. kruskalElapsed time .吕 S 609000 seconds最小生战树的总代价烁73373.结果对比(时间单位seco nds)稀疏图稠密图Prim0.1880.172Kruskal3.60922.719从表格的行的方向对比说明：prim算法更适于处理稠密图；kruskal算法更适于处理稀疏图。从表格的列的方向对比说明：似乎是prim算法在两种场合都优于kruskal算法，但这个结论是不正确的，因为我的kruskal算法还没有达到最优化。(2)从降低存消耗、减少计算时间的角度

26、，对算法进行优化。1.prim算法对于prim算法，我认为在我的思路围已经达到了最优。尤其得意的是寻找非零最小值的代码实现，认为很具有matlab风格。k=lowcost>0;%k为一逻辑数组，它和lowcost同维，对于每一个位置i iflowcost(i)>0 贝U k(i)=1%否则k(i)=0;稍候将用这个数组进行辅助寻址cost_min=min(lowcost(k);% 找出 lowcost 中除 0 外的最小值index=find(lowcost=cost_min);% 找出此最小值在 lowcost 中的下标， 即找到相应的节点index=index(1);%因为最小

27、值的下标可能不止一个，这里取第一个下标进行处理lowcost(index)=0;%表明该节点已经加入了最小生成树中2. Kruskal 算法对Kruskal算法，我有两点优化infarfinil ni；：'=nst mr'.;毬凸誤卜E二屯厂亲葩讪冃;1(7翊齢站斷斶舞啊萨嚴蹩柯方蝕珮趣了師嗣旳耐浙趨:眄(irxleT, at： thripocnt )-0 ；:en; (therp:ihux) = Q;if檢仙砒畑讪蚁indi血当龄Jimi干-催割嘛强酬垃圖辿弭楼輛融 网电诚e札:J=Linfat, Mtherjourt詡咗議袖地耕i=iT 下*有梟討前疋"砸：一灯堂

28、2 T订讨ftl已:伽：:血肚马值那;也if i (t sg (J =13( (aurth&ipocnt & Ij"mherpiit) & 鞠谀1?制那恥牌诚 tlfffl-洋的船t tgH襲忘血ait 澆endeudtaf anot)tip:int. =tlirdei) 汽匕:i：i辽：1：一孑：工irtEE?：t 灌隹老思申陀盘；：尊白羊與血屮11A) 版诲g !»：.-與in汕廊言' 、上關團號舟 畛副，刘聆«1«42 4谁飪肆冷 厲兼応监:或哇匚 二器丁懐:豹泸弹剖艾腹屈捷就b修改后的代码如下:15- ic- 1T-L8-鸟-212*S-?4- 0S- :r” 爲_J，9-丄二=E=ltlt叫 I；TriI7 ni(eTEe(.=tt<. lj=Uj '-、-_.iDdsFfudfYfl.: Ucutjin)inis込血烟翊中节為曲:圈迹腼常予交野了極德讪験71聊饰号劭般请斷IK snrflKJjcintiHl