No张丽分数阶统混沌系统

1、作者:日期:漳州师范学院毕业论文分数阶统一混沌系统的同步The Syn chro ni zati on of Fracti onal orderUn ified System姓 名:张 丽学号：070401326系 别：数学与信息科学系专业:数学与应用数学年 级：07级指导教师：蔡建平教授2011年05月22日摘要本文运用耦合同步控制法，研究分数阶统一混沌系统的同步问题。首先 , 分别在 分数阶统一系统的每个方程上加耦合控制变量使得驱动系统和响应系统达到同步； 然 后，在每个方程同时加耦合控制变量使得驱动系统响应系统达到同步。并运用 Laplace 变换理论证明 , 最后用 Matlab 软件

2、进行数值仿真进一步验证本文所用的方法 的有效性。关键词： 分数阶;统一混沌系统 ; 同步控制；耦合控制AbstractThis paper applies coupled synchronization control method to research the synchronization of fractional order unified chaotic system. First of all, the coupled control variables are added to each equation of fractional unified system makes t

3、he drive system and response system to achieve synchronization. Then ， the control variables are added to each equation at the same time makes the drive system and response system to achieve synchronization 。 Furthermore, detailed proofs are given by using the Laplace transformation theory 。 Finally

4、, numerical simulations based on Matlab verify the effectiveness of the present methods. 本文为互联网收集，请勿用作商业用途本文为 互联网收集，请勿用作商业用途Key words ： fractional order ； unified system; synchronization control ； coupling control目录中英文摘要 (I)1引言 (1)2 分数阶微分定义 (1)3分数阶统一混沌系统的同步 (2)统一分数阶第二个方程加耦合控制 (3)数值仿真 (6)3。2。1统一分数阶第一

5、个方程加耦合控制 (7)3。2.2数值仿真 (9)统一分数阶第三个方程加耦合控制 (11)3.3。2数值仿真 (13)3.4。1统一分数阶三个方程都加耦合控制 (14)3.4。2数值仿真 (17)4结论 (19)参考文献 (20)致谢 (21)1 引言 分数阶微积分是研究分数阶次的微积分算子特性及其应用的数学理论，其 拓展了传统微积分的概念， 它几乎和整数阶微积分理论具有同样长的发展历史。 但直到 1983 年, 文献1首次指出了自然界及许多科学技术领域中存在大量的分 维数的事实 , 及在整数阶微积分与分数阶微积分理论描述的动力学系统之间存 在着自相似现象。此后，作为分形几何和分维数的动力学基

6、础，分数阶微积分 才重新获得了新的发展并成为当前国际上的一个研究热点。但将其应用到物理 学和工程学的研究热潮还是在最近几十年才兴起的 , 许多物理系统展现出分数 阶动力学行为,特别是在Chua电路2： Lorenz系统、Chen系统、Lu系统5 中，当其阶数为分数时 , 系统还是混沌的。自从1990年Pecora和Caccoll 6】发现了两个混沌系统可以实现同步以来， 就掀起了混沌同步问题研究的热潮。在通信领域， ArmanKiani-B 等用简单的混 沌系统掩盖方法证明了分数阶混沌信号能加强通信的安全性。将分数阶混沌应 用于保密通信 7,8 、信号处理等领域，由于系统模型自身的复杂性，会比

7、整数阶 混沌系统具有更强的保密性和抗破译能力。因此研究分数阶混沌系统具有广泛 的应用前景。本文主要是研究分数阶统一系统 9的同步问题，文中运用了耦合同步方案 在分数阶不同的方程上加耦合控制器，并且利用拉普拉斯变换理论给出了具体 的证明 , 同时也用 Matlab 软件数值仿真来进一步验证了本文方法的有效性和可 行性。2、分数阶微分定义 在研究分数阶微积分的过程中，对于微分和积分的概念有很多。在本文中 , 将采用的是Caputo微分的定义来研究分数阶混沌动力学行为10-11 0 Caputo微分 定义为：D y(x) Jm y m(x), 0,(1) 这里m为第一个不小于 的整数，y m为y的m

8、阶导数，J是阶RiemannLiouville积分算子,即:其中 ？是Gamm函数,D通常称为J z z1X1J Z Z0 X tZ t dt,0，(2)阶Caputo微分算子dx1dtdyidtdz1dt其中(3)dtq(25dqy1(28dtqdqz1qX1 y1q10) V135 )x1Z1X1Z1(291)y 13分数阶统一混沌系统的同步统一混沌系统为(2510 ) y1 x1(2835 )X1 X1Z1(291)y 18X1 y1Z10,1 o当 0,0.8时，统一混沌系统（3）属于广义的Lorenz系统;当 0.8,1时，统一混沌系统（3）属于广义的Chen系统；当 0.8时，统一

9、混沌系统（3）属于广义的Lu系统。统一混沌系统是一个由单参数控制的连续混沌系统，具有统一性和全局性混沌特性.系统只用一个参数就可以控制整个系统.当 由零逐渐增加到1时系统也由广义的Lorenz系统逐渐过渡到广义的Chen系统,具有统一性。 其相应的分数阶统一混沌系统为：d这里丽Dq，q小，当q 1时，系统（4）为整数阶的统一混沌系统当q0.9时，对于不同的值的统一混沌吸引子如图1所示:untitlea=0.6504030201004020'-40-20-20yuntitle-a=0.8-405040302010-20050图1分数阶统一混沌系统的吸引子依次为 0.6 ；0.8 ；3。1

10、。1统一分数阶第一个方程加耦合控制以统一系统（4）为驱动系统，根据耦合同步法将耦合系数k加在第一个方程里：dqx2 dtq(2510) y2X2k1( X2X1 )dqy2 dtq(2835 )x2X2Z2(291)y 2(5)dqz2X2 y28dtq3 Z2其中0 q1,k1为耦合强度。Wx2X!令误差变量为：U2y2*U3z2J将（5）式减去（4）式可以得到误差系统为:令：UisL u.t,i1,2,3,且L -:sqUi s sq1* 0dtq11sqU1ssq 1u10(k12510)U1s (2510)U2 ssqU2sq 1SU20(2835)U1 s(291)U2 s L x2

11、u3sqU3sq 1sU30L yL x2u28 U3 s33整理得:对（6）L NWq,i 1,2,3 ,则式做 Laplace 变换。dqu1"dFdqu2"dFdqu3"dF(25(2810)u2 (k1 25Zi )Ui X2U3x2u2U310)Ui(291)U2Ui10)U2 s sqq -1cu1 0U2(252510 sq k1(28 35 )U1 s L x2u3U3L y1u1L x2u2sqLsq 291sq 1u3 0q 1 cz1u1s u2 0(8 )3由Laplace变换的终值定理得：limu 1(t) lim sU1( s)ts 0

12、s(25lims 02510 s'10)U2 s squ1 0,q k1s(2510)U2 slims 02510 k12510lim sU2 s2510 k1 s 02510limu 2 s2510 k1 tlimu 2( t) lim sU2( s)ts 0o2 u su乙Lss1 u 5 3 8 2u乙LsmoH ss1 u 5 3 8 2moH slimu 3(t) lim sU 3( s)ts 03 U S氏X2U LSU1yLS)3moH s当u2(s)有界且2510 k, 0时,则lim ui(t)0 ,25102510且 limu 1(t)limu 2 s 0 , (0

13、 ),所以t2510 k1 t2510 k1limu 2(t) 0再根据混沌吸引域的有限性：存在某一个正数M，使得max x1 , y1 , z-iM所以得到：L z1u1 MU 1 sL y1u1MU 1 s由pmu2(t) 0，于是X2有界不失一般性设 仪2 M，贝UL x2u2MU2 s当1 290时可以得到lim u3(t)0所以,在假设U2(s)有界,且2510 k1 0 , 1 290的情况下可以得到:limu i(t)0(i 1,2,3 )表明驱动系统和响应系统(5)在适当的选择和k1可以达到同步。3。1.2数值仿真取步长 h 0.0。1 , (%(0),%(0)厶(0) (2,

14、4,7);(X2(0),y2(0),Z2(0) ( 2,1,2),通过运用Matlab软件，可以做出系统在不同和ki的情况下达到同步时的误差-时间图，如下图所示：05001000150020002500300035004000t图2 误差-时间 (0.6,匕50)u0500100015002000t25003000350040000.8,k1100)图3误差一时间u0t图4误差一时间(1,k1 300)当（1K 3）时，误差时间图如下图所示05001000150020002500300035004000t图5 误差一时间 （1,ki3）从图像可以看出当1,k13时驱动系统（4）和响应系统（5）

15、不能达到同步.所以在确定的情况下增益控制k的选择很重要.统一分数阶第二个方程加耦合控制以统一系统（4）为驱动系统，根据耦合同步法构造响应系统：dqx2dtq(2510) y2 X2qd y2dtq(2835 )X2 X2Z2(291)y 2k2( y2y1)(7)dqz2dtqX22Z2其中0 q 1，k2为耦合强度。令误差变量为：e2y2y1e3Z2Z1将（7）式减去（4）式可以得到误差系统为dq©dtqdqe2廿dqe3dtq(25(28yiei10)6 ei)zi )eiX2Q(29 k2 1)e2X2e28e33令:EisLe tJi 1,2,3，且 LsqE1sq s1e1

16、0(2510) E2sqE2ssq1620(28 35 )E1 ssWssq1e30L y1e)L x2e2整理得：式做 Laplace 变换.对（8）巳s(2983dqe dtqsqEi ssq 1ei 0 , i 1,2,3，则k2 1)E2 s L x2e3 L wqE3 sE1 sE2 sE3 sL y1e1L x2e2sq 1e5 0由Laplace变换的终值定理得：lime 1( t) lim sE1( s)ts 0s(moH s0qss2 o 1moH ss2 o 1(2510)E2 s sq 怙 02510 sq(28 35 疋！ s L x2e3 L zqsq 1e2 0li

17、m sE2(s)s 0pme2(t)sq 29k2 1lim sE2(s)s 0lims 0s(28 35 )E1 ssL x2e3 sL z1e1sqe2 029k2 1s(28 35 )E1 s sL x2e3 sL z1e1 lims 01 29k2lim 璟 t) lim sE3(s)若E2（s）有界,贝UeIm再根据混沌吸引域的有限性：存在某一个正数M，使得max x1 , y1 , z1M所以得到：L z1e1ME1 sL y1e1ME1 s由imet） 0，于是X2有界不失一般性设X2 M，则L x2e2ME2 s当1 29 k20时可以得到lim e3（t）0所以，在假设E2（

18、s）有界，1 29k2 0的情况下可以得到：limei（t） 0（i1,2,3 ）表明驱动系统（4）和响应系统（7）在适当的选择 和k2可以达到同步3。2。2数值仿真取步长 h 0.001 , (x1(0),y1(0),z1(0)(2,4,7);(X2(0),y2(0),Z2(0)(2,1,2),通过运用Matlab软件，可以做出系统在不同和k?的情况下达到同步时的误差时间图，如下图所示：3210-1-2-305001000150020002500300035004000t图6误差一时间321-1-2t-3 0e 00.6,k235图7误差一时间0.8,k2 100t图8误差一时间 1,k23

19、00当 0.6， k21时，驱动系统(4)和响应系统(7)不能达到同步。如下图所示：u05001000150020002500300035004000t图9误差-时间 0.6*21如上图所示，增益控制k值和 的选择很重要。3。3.1统一分数阶第三个方程加耦合控制同样以统一系统（4）为驱动系统，根据耦合同步法将耦合系数k加在第三个方程里：dqx2IFdtqdqz2dtq(2510 ) y2 x2(28 35 )x2 x2z2(291)y 2k3(Z2Zj(9)其中0 q 1, k2为耦合强度.V1X2令误差变量为:V2y2y1V3Z2Z1将（9）式减去（4）式可以得到误差系统为dqv1 dtq(

20、2510)( v2 vjdqv2(2835 乙)w x2v3 (291)v2dtqdqv3 dtqyM凉2 (k33 )v3对（10）式做Lap lace变换。令: Vi sLvi t,i1,2,3dq v，且 L v-sqV ssq 1vi 0 , idtq1,2,3 ,贝 UsqV1ssq 1v10(2510)(V2 s V1 s )sqV2sq 1s v0(2835 N s (291)V2 s L x2v3L z1v1sqV3sq 1sv308L yM L x?v2 (k33 )V3 s3整理得:V sV2 sV3 s(2510)V2 s sq 1v, 02510 sq(28 35 )V

21、1 s L x2v3 L z1v1sq 1v2 0sq 291L y1v1L x2v2 sq 1v3 0sq k3 (8)3由Laplace变换的终值定理得:limv 1(t) limsM(s)s(25lim10)V2 ss 025lim sV, ss 02limv? sts" 010 sqlim v2( t) lim sV2( s)ts 0叫ssN5382mossN5382limv 3(t) lim sV3( s)ts 0v28 qsmos1 V yL Smo H ssL x2v2 )若V>(s)有界，1 290,则limv 1(t) |imv 2( t)0再根据混沌吸引域的

22、有限性：存在某一个正数M，使得max xi , yi , ziM所以得到：L z1v1MV1 sL y1v1MV1 s由tim v2(t) 0，于是X2有界不失一般性设|x2 M，贝UL x2v2MV2 s当 8 3k30时，可以得到lim v3(t)0所以,在假设V2(s)有界且8 3k2 0的情况下可以得到lim vi(t) 0( i 1,2,3 )表明驱动系统(4)和响应系统(9)在适当的选择和k3可以达到同步。3。3.2数值仿真取步长 h O.001 , (%(0),%(0)厶(0) (2,4,7);(X2(0),y2(0),Z2(0) ( 2,1,2)，通过运用Matlab软件，可以

23、做出系统在不同和k3的情况下达到同步时的误差时间图，如下图所示：3210-1-2-3t图10误差一时间(0.6,k3 50)3210-1-2-3t图11误差一时间(0.8,k3 100)v05001000150020002500300035004000t图12误差一时间(1,k3 300)当0.8,k3 5时，其误差时间图如下:5040301020-10-20-30-40-500500100015002000t2500300035004000图13 误差时间图 (0.8,k3 5)如上图所示,0.8,k35时驱动系统(4 )和响应系统(9)不能达到同步，所以增益控制k和的选择很重要。341统一

24、分数阶三个方程都加耦合控制同样以统一系统(4)为驱动系统，根据耦合同步法在每个方程都加上耦合系数:d qx2dtqdqy2dtqdqz2dtq(2510) y2X1 1( X2X1)(2835 )x2X2Z2(291)y813( Z2Z1 )X22Z21，Il,l23为耦合强度。2 1 2( y2yi)(11其中o qw1X2X1令误差变量为:w2(2510 )w2 (l12510)V1 )(2835z1 )w1x2w3 (291 l2 )w2(12)y1w1x2w2(l38 、3 )W3式做Laplace变换。将(11 )式减去(4)式可以得到误差系统为:dqw1 dtqdqw2dtq dq

25、w3dtqZ2令：wsLwit,i 1,2,3，且 Ldqwi dtqsqg ssq 1wi 0 , i1,2,3 ,贝UsqWssq1W10(2510)W2 s(l12510)W1 s )sqW2ssq1W20(28 35 )W1 s(291 l2 )W2 s L x2w3L z1w1sqW3ssq1W30L y1w1L x2w2(l38)W3 s对(12)整理得:W1W2W3(2510 )W2 s sq 1w1 02510_s_(28 35 )W1 s L x2w3L z1 w1sq 1w2 0s1 291 Cq 1L y1 w1L x2w2s w3 0sl33L x2w2由 Laplac

26、e变换的终值定理得:imw/t) lim sW；( s)s(25 10)W2 s sqW1 0limq s 02510 sq h2510 .lim sW> s2510 l1 s 02510lim w2 s2510 IJlim w2(t) limsW2(s)ts 0s(28 35 )W s sL x2w3 sL z1w1sqw2 0lim厂s 0sq 291 l2s(28 35 )W s sL x2w3 sL z1w1 lims 01 29I2lim w3( t)lim sW3( s)sL y1w1 sL x2w2 sqw3 03lims 0sq l3 (88 3I3lim( sL yws

27、L x2w2 )若 W2(s)有界，2510l10,则lim wi( t) IJmw2(t)再根据混沌吸引域的有限性：存在某一个正数 M ,使得max xi , yi , Zi所以得到:L z1w1MW1 sL y-iW-iMW1 s由|im2W(t) 0，于是X2有界不失一般性设X2 M，贝UL x2w2MW2 s当 8 3l3 0时可以得到lim w3(t)0所以，在假设W2(s)有界且2510 I-0 ,8 3I30的情况下可以得到|imwj(t)0(i1,2,3)表明驱动系统(4)和响应系统(11)在适当的选择和li(i1,2,3)可以达到同3。4。2数值仿真取步长 h 0.001 ,

28、 (%(0),%(0)厶(0)(2,4,7);(X2(0),y2(0),Z2(0)( 2,1,2),通过运用Matlab软件，可以做出系统在不同和k的情况下达到同步时的误差时间图，如下图所示：2e102厶IIill丨10102030405060708090100t2e20-20102030405060708090100e3t-2111111111010203040506070809010020t图 14 误差一时间 (0.6;l1210;l2450;l3 300;)el50t图16 误差一时间 （1;l1150;l2350;l3200)当 0.6 时，取 2510 110 ,8 313 0 ,

29、驱动系统（4）和响应系统（11）不同步即1125,132.866 ,由于Laplace变换没有对I?限制，取匚50,其误差图如下:图 15误差一时间(0.8;1, 150;12 350;13 200;)11e120-201020304050 t60708090100Pe220-2lii11l1Iill01020304050 t60708090100e32"J0-2iiaiiii01020304060708090100ele2t20e3-20 10 20304050t60708090100图 17 误差一时间(0.6;1,25;1250;132.866)由图所示，li 25;l2 50

30、;l3 2.866时误差不趋于零，即 驱动系统(4)和响应系统(11)此时不能达到同步。从以上四种情况可以初步看出和增益控制k的选择会影响驱动系统和响应系统的同步。本文中是应用Laplace变换进行理论证明，那么 和k必须同时 满足Laplace变换的条件，要是不满足就不能达到同步。当然，可能还有其他 情况下的 和k使得响驱动系统和响应系统不能达到同步，这也是本文值得继续探究和改进的地方。4结论本文以分数阶统一混沌系统为研究对象，利用耦合同步控制法，实现了分数 阶统一混沌系统的同步并通过选取适当的参数以及初始值进行数值模拟， 进一 步验证了本文的方法是可行的、有效的。但是，对于耦合控制k的选择应该谨慎。参考文献:1 Mandelbort B B. The Fractal Geometry of Nature M . New York: W。H. Freeman and Co.， 1983:485489。2 Hartly T T ， Lorenzo C F ， Qammer H K. Chaos on a fractional Chua's systemJ。IEEE Trans 。 on Circuits and S