二项式定理题型全面总结-有答案(习题课)

1、例例1 181()xx的展开式中的展开式中 的的系数为系数为_5x解解: : 设第设第 项为所求项为所求1r 12818()rrrrTC xx288( 1)rrrrC xx 3288( 1)rrrC x 38522rr由可得5x228( 1)28C的系数为的系数为题型题型1 利用利用 的二项展开式通式求特定的项的二项展开式通式求特定的项na b例例2 2 求求 展开式中的有理项展开式中的有理项93xx解:1132919( ) ()rrrrTC xx2769( 1)rrrC x 令令273466rrZZ即(0,19)r 39rr 或3344492734( 1)846rrTC xx 9933109

2、2793( 1)6rrTC xx 原式的有理项为原式的有理项为: :4484Tx310 xT分析分析: :取通项来分析取通项来分析, , 10211013rrrrTCxx 常数项即常数项即 项项.0 x解：根据二项式定理，取解：根据二项式定理，取a3 3x2 2，b1x的通项公式是的通项公式是2101(3)xx 的展开式中第的展开式中第9 9项为常数项。项为常数项。2101(3)xx 520102102110101313rrrrrrrrTCxCxx 由题意可知，由题意可知，520082rr故存在常数项且为第故存在常数项且为第9项，项，常数项常数项 8810 8091013405TCx 常数项即

3、常数项即 项项.0 x求二项展开式的某一项求二项展开式的某一项, ,或者求满足某种条或者求满足某种条件的项件的项, ,或者求某种性质的项或者求某种性质的项, ,如含有如含有x 项项的系数的系数, ,有理项有理项, ,常数项等常数项等, ,通常要用到二项通常要用到二项式的通项求解式的通项求解. . 注意注意(1)(1)二项式系数与系数的区别二项式系数与系数的区别. . (2) (2) 表示第表示第 项项. .3rrnrnrbaCT1r题型方法总结题型方法总结题型2 二项式定理的逆用（赋值法）011222112122nnnn nnnnnCCCC原 式(1 2)3nn 例例4 4 计算并求值计算并求

4、值12(1) 1 242nnnnnCCC5432(2)(1)5(1)10(1)10(1)xxxx5(1)x解解(1):(1):将原式变形将原式变形解解:(2):(2)原式原式055(1)C x145(1)C x235(1)C x325(1)C x45(1)C x55C55C5(1) 11x51x练习：练习： 题型方法总结题型方法总结逆向应用公式和变形应用公式要求对公逆向应用公式和变形应用公式要求对公式结构特征要熟练，特别式结构特征要熟练，特别遇到计算的题目可先观察系数的特点，遇到计算的题目可先观察系数的特点，看是否符合二项式展开式的结构特征，看是否符合二项式展开式的结构特征，从而考虑是否要构造

5、从而考虑是否要构造12 211nrrn nnnnnxC x C xC xC x （）题型题型3 3 求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项( (系数系数) )例例5 52345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中的展开式中, , 的系数等于的系数等于_2x解解: :仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是2x02C13( 1)C 224( 1) C 335( 1) C 20 解法解法2 2运用等比数列求和公式得5(1)1 (1) 1 (1)xxx原式6(1)(1)xxx在在 的展开式中的展开式中,含有含有 项的系数为项的系数为

6、6(1)x3x3620C 所以所以 的系数为的系数为-202xttxC)3(12123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx例例6 6求求 展开式中展开式中 的系数。的系数。4xrrxC)(44x解解: :可逐项求得可逐项求得 的系数的系数8)21 (x的展开式通项为的展开式通项为ssxC)2(8当当 时时2s112428C系数为系数为12)31 (x的展开式通项为的展开式通项为1t当当 时时363112C系数为系数为所以所以 展开式中展开式中的系数为的系数为123824)31 ()21 ()1 (xxxxxx1443611244)1 ( x的展开式通项为的展开式通项为当当 时时3r系

7、数为系数为-4-4求复杂的代数式的展开式中某项求复杂的代数式的展开式中某项( (某项的系数某项的系数),),可以逐项分析求解可以逐项分析求解, ,常常对所给代数式进行化简常常对所给代数式进行化简, ,可以可以减小计算量减小计算量题型方法总结题型方法总结题型题型4 4 求乘积二项式展开式中特定的项求乘积二项式展开式中特定的项( (特特 定项的系数定项的系数) )例题例题7:7:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的系数. .65(1) (21)xx6x解解62666()rrrrCxC x6(1)x 的通项是的通项是55555(2 ) ( 1)( 1) 2sssssssCxCx5(21)x的通

8、项是的通项是1622556( 1) 2rssrssC Cx 65(1) (21)xx的通项是的通项是65(1) (21)xx由题意知16226rs 24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得3206252) 1(CC所以所以 的系数为的系数为: :6x426152) 1(CC5046052) 1(CC640 题型方法总结题型方法总结对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算题型题型5 5 三项式转化为二项式三项式转化为二项式818(1)xx 例 求展开式中的常数项解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用

9、二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式88 1)1()11(xxxx8878718808)1()1()1(CxxCxxCxxC再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常数项得881268244836284808CCCCCCCCC=1107=1107例例9、: (x2+3x+2)5展开式中展开式中x的系数为的系数为_. 方法方法1 (x2+3x+2)5=(x2+2)+3x5 2403244C5,xx3)2x(51C442 其其系系数数为为的的项项才才存存在在在在展展开开式式中中只只有有方法方法2 (x2+3x+2)5=x(x+3)+25 2402351C,x2)3x( x5

10、1C44 其其系系数数为为的的项项才才存存在在在在展展开开式式中中只只有有方法方法3 (x2+3x+2)5=x2+(3x+2)5 2402351C,x)2x3(50C45 其其系系数数为为的的项项才才存存在在在在展展开开式式中中只只有有方法方法4 (x2+3x+2)5= (x+1)5 (x+2)5 ，.240240方法方法5、原式化为523)2(xx其通项公式为其通项公式为rrrrxxCT)3 () 2(52511, 1rx只需的指数为要使xxCT3)2(42152)2844624(1542468xxxxx2402154的系数为所以x题型方法总结括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项括号里

11、含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘也可因式分解化为乘积二项式积二项式.题型题型6 6 求展开式中各项系数和求展开式中各项系数和解：设解：设展开式各项系数和为展开式各项系数和为1例题点评例题点评求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为式中的字母为1 1naaaa210上式是恒等式，所以当且仅当上式是恒等式，所以当且仅当x=1x=1时，时， (2-1)(2-1)n n= =naaaa210 = =（2-12-1）n n=1naaaa210nnnnaxaxax) 1(21202)

12、 12(例例10. 10. 的展开式的各项系数和为的展开式的各项系数和为_nx) 12(2题型题型7 7：求奇数：求奇数( (次次) )项偶数项偶数( (次次) )项系数的和项系数的和776016711(31)xa xa xa xa例已知7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf设解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf77753142) 1() 1 ()( 2ffaaaa8128221367531aaaa8256)() 1 (716420aafaaaa(1)(1)(2)(2)是负数因为7531,aaaa所以7210

13、aaaa7210aaaa)(7210aaaa7) 4() 1( f（3）74题型方法总结题型方法总结求二项展开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值练习：已知练习：已知(1-2(1-2x) )7 7= =a0 0+ +a1 1x+ +a2 2x2 2+ + +a7 7x7 7，则，则a1 1+ +a2 2+ + +a7 7的值是的值是 . .题型题型7 7 求展开式中系数最大求展开式中系数最大( (小小) )的项的项2012(23)x例在的展开式中，求其

14、项的最大系数与最大二项式系数的比解解: :设设 项是系数最大的项项是系数最大的项, ,则则1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6 .126 .11 r项系数最大的项是即二项式系数最大的项为第11项,即1020C所以它们的比是137102012812203211532CC例例13 13 在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 20)23 (yx解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则1211202020119120202023232323rrr

15、rrrrrrrrrCCCCrrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为8r812812820923yxCT例例1414求求 的展开式中的展开式中数值数值最大的项最大的项50)21 ( 211rrrrTTTT解：设第解：设第 项是是数值最大的项项是是数值最大的项1r展开式中展开式中数值数值最大的项是最大的项是29295030) 2(CT 115050115050)2()2()2()2(rrrrrrrrCCCC251101251102rr88.2988.28 r29r211rrrrTTTT解决系数最大问题，通常设第解

16、决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有1r由此确定由此确定r r的取值的取值题型方法总结题型方法总结题型题型8 8 整除或余数问题整除或余数问题例例1515。的余数除以求1009192解解: :9292)9100(919291919229029291192929910091009100100CCC前面各项均能被前面各项均能被100100整除整除. .只有只有 不能被不能被100100整除整除929929192290929029291192929292) 1(1010101010) 110(9CCCC19201010101029092902929119292CCC

17、8110001010101029092902929119292CCC811009192除的余数是被可见余数为余数为正整数正整数注意(1)证明证明:9910-1能被能被1000整除整除(2)证明证明:32n+2-8n-9(nN*)能被能被64整除整除(4)今天是星期日今天是星期日,再过再过290天是星期几天是星期几? (一一)(5)11100-1末尾连续零的个数是末尾连续零的个数是 个个 (3个个)整除性问题，余数问题，主要根据二项式整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项除的结构，展开后观察前

18、几项或后几项,再再分析整除性或余数。这是解此类问题的最分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数常用技巧。余数要为正整数例题点评例题点评题型题型9 9 近似计算问题近似计算问题例例:计算计算(1)(0.997)3的近似值的近似值(精确到精确到0.001)(2)(1.009)5的近似值的近似值(精确到精确到0.001)例例. .某公司的股票今天的指数为某公司的股票今天的指数为2,2,以后每天的指以后每天的指 数都比上一天的指数增加数都比上一天的指数增加0.2%,0.2%,则则100100天后这天后这 公司的股票股票指数为公司的股票股票指数为_(_(精确到精确到0.0010.00

19、1) )解解: :依题意有依题意有2(1+0.2%) 2(1+0.2%) 1001002(10.002)012210010010020.0020.002CCC 2(10.20.0198)2.43962.44所以所以100100天后这家公司的股票指数约为天后这家公司的股票指数约为2.442.44总结：近似计算常常利用二项式定理估算前几项总结：近似计算常常利用二项式定理估算前几项题型题型10 10 证明恒等式证明恒等式123116232nnnnnnCCCnCn例求证析析: :本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和. .因为因为 由此分析求解由此分析求解rnnrnnnn

20、nnnCCCCCC110,01231:023(1)nnnnnnnnnSCCCCnCnC 解 设nnnnnnnnCCCnCnnCS0) 2() 1(1210两式相加两式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS题型方法总结题型方法总结利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种利用求和的方法来证明组合数恒等式是一种最常见的方法最常见的方法,证明等式常用下面的等式证明等式常用下面的等式nnnnnnCCCC221014202nnnnCCCrnnrnCC15312nnnnCCC11mnmnnCmC例例1717证明证明： 3)11 (2nn1*nNn且当2111111)11 (222

21、21 nCnCnCnnnnn证明证明1(1)(1) 111!kknkkkn nn knCnknknk 通项通项nnnnnnnCnCnCn1111)11 (221 122121212!1! 31! 212 nn321121n3)11 (2nn所以所以题型题型11 11 证明不等式证明不等式例题点评例题点评利用二项式定理证明不等式利用二项式定理证明不等式, ,将展开式将展开式进行合理放缩进行合理放缩巩固练习巩固练习一选择题一选择题a8)(xax 1(041(04福建福建) )已知已知 展开式的常数项是展开式的常数项是1120,1120, 其中实数其中实数 是常数是常数, ,则展开式中各项系数的和则

22、展开式中各项系数的和 是是( )( )82 A83 B83 1 或C83 2 或DCnxx)12(2 2 若若 展开式中含展开式中含 项的系数与含项的系数与含 项的项的 系数之比为系数之比为-5,-5,则则n n等于等于( )( )21x41xA 4 B 6 C 8 D 10A 4 B 6 C 8 D 10B82A83B831或C821或D 3 3 被被4 4除所得的系数为（除所得的系数为（ ） A0 B1 C2 D39923331 A632)(1)(1)(1)(1)05(1xxxx湖南展开式中展开式中 的系数是的系数是_2x2 2 被被2222除所得的余数为除所得的余数为 。 2000200

23、1135353 3 已知已知 展开式中的展开式中的 系数是系数是5656，则实数则实数 的值是的值是_ 26) 1() 1(axx3xa16或或二填空题二填空题4.4.设设 二项式展开式的各项系数的和为二项式展开式的各项系数的和为P P； 二项式系数的和为二项式系数的和为S S，且，且P+S=272P+S=272，则展开式，则展开式 的常数项为的常数项为_nxx)13 (3108 1 1 求求 展开式中含展开式中含 一次幂的项。一次幂的项。5) 11(xx4545x x1212)(2xxxf已知) 3(1)(nNnnnnf求证3 在在 的展开式中，求的展开式中，求：20)23(yx （1 1）

24、 二项式系数最大的项；二项式系数最大的项； （2 2） 系数绝对值最大的项；系数绝对值最大的项； （3 3） 系数最大的项系数最大的项10101010206yxC 812812820923yxCT812812820923yxCT三计算题三计算题x性质性质1:1:在二项展开式中，与首末两端等距离的任在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等意两项的二项式系数相等. .性质性质2 2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一：如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的项的二项式系数最大；如果二项式的 幂指数是奇数，中间两项的二项式系幂指数是奇数，中间两项的二项式系

25、数最大；数最大；nnnknnnnCCCCC2210 性质性质3 3：性质性质4 4：( (a+b)a+b)n n的展开式中，奇数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数和数的和等于偶数项的二项式系数和. .2.求求(1 + x + x2)(1x)10展开式中含展开式中含 x 项的系数项的系数3.3.求求(1+(1+x)+(1+)+(1+x) )2 2+ +(1+(1+x) )1010展开式中展开式中x3 3的系数的系数4. 9192除以除以100的余数是的余数是.5.若若( x + 1 )n = x n + ax3 + bx2 +1(nN*)， 且且 a : b=