二次函数应用(1).

1、二次函数的应用（二次函数的应用（1）二次函数最值的理论 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其中m为常数且m1。最小值呢？呢？此时是最大值还是时，函数的最值是你能说明为什么当abacyabx4422最值应用题面积最大 某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。 窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？BCDAO最值应用题面积最大 用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角120的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB应该是多长

2、？AD120BC最值应用题销售问题 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最值应用题销售问题 某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t3x204。写出商场卖这种服装每天销售利润y（元）与每件的销售价x（元）间的函数关系式；通过对所得函数关系式进行

3、配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？最值应用题运动观点 在矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于8cm2设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；t为何值时S最小？求出S的最小值。QPCBAD最值应用题运动观点 在ABC中，BC2，BC边上的高AD1，P是BC上任一点，

4、PEAB交AC于E，PFAC交AB于F。设BPx，将SPEF用x表示；当P在BC边上什么位置时，S值最大。DFEPCBA在取值范围内的函数最值的最大值和最小值。，讨论函数设54302xxyx的最大值和最小值。，讨论函数设4421312xxyx 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，如果喷头所在处同的抛物线落下，如果喷头所在处A A距地面距地面1.251.25米米, ,水流路水流路线最高处线最高处B B距地面距地面2.252.25米米, ,且距水池中心的水平距离为且距水池中心的水平距离为1 1米米. .试建立适当的坐标系试建立

5、适当的坐标系, ,表示该抛物线的解析式表示该抛物线的解析式为为 , ,如果不考虑其他因素，那么水池的如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要半径至少要 米，才能使喷出的水流不致落到池外。米，才能使喷出的水流不致落到池外。 2.5B(1,2.25 ） 如如图图的的抛抛物物线线形形拱拱桥桥,当当水水面面在在 时时,拱拱桥桥顶顶离离水水面面 2 m,水水面面宽宽 4 m,水水面面下下降降 1 m, 水水面面宽宽度度增增加加多多少少?探究探究2： 抛物线形拱桥，当水面在抛物线形拱桥，当水面在 时，时，拱顶离水面拱顶离水面2m2m，水面宽度，水面宽度4m4m，水，水面下降面下降1m1m，水面宽度增加多少

6、？，水面宽度增加多少？lxy0(2,-2)(-2,-2)当当 时，时，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的宽，水面的宽度为度为 m.3y6x62462水面的宽度增加了水面的宽度增加了m探究探究2：2axy 解：设这条抛物线表示的二次函数为解：设这条抛物线表示的二次函数为21a由抛物线经过点（由抛物线经过点（2，-2），可得），可得221xy所以，这条抛物线的二次函数为：所以，这条抛物线的二次函数为：3y当水面下降当水面下降1m时，水面的纵坐标为时，水面的纵坐标为 抛物线形拱桥，当水面在抛物线形拱桥，当水面在 时，时，拱顶离水面拱顶离水面2m2m，水面宽度，水面宽度4m4m，水，水面下降面下

7、降1m1m，水面宽度增加多少？，水面宽度增加多少？lxy0(4, 0)(0,0)462水面的宽度增加了水面的宽度增加了m(2,2)2(2)2ya x解：设这条抛物线表示的二次函数为解：设这条抛物线表示的二次函数为21a由抛物线经过点（由抛物线经过点（0，0），可得），可得21(2)22yx 所以，这条抛物线的二次函数为：所以，这条抛物线的二次函数为：当当 时，时，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的，水面的宽度为宽度为 m.1 y6262x 1y 当水面下降当水面下降1m时，水面的纵坐标为时，水面的纵坐标为X yxy00 注意注意: 在解决实际问题时在解决实际问题时,我们应建立简单方便的平

8、面直角坐标我们应建立简单方便的平面直角坐标系系. 用抛物线的知识解决生活中的一些实用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤：际问题的一般步骤：建立直角坐标系建立直角坐标系二次函数二次函数 问题求解问题求解 找出实际问题的答案找出实际问题的答案注意变量的取值范围注意变量的取值范围有座抛物线形拱桥有座抛物线形拱桥(如图如图)，正常水位时桥下，正常水位时桥下河面宽河面宽20m，河面距拱顶，河面距拱顶4m，为了保证过，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于于18m，求水面在正常水位基础上上涨多，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航

9、行。少米时，就会影响过往船只航行。 例例3:3:你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地视为抛物线，如图所示，正在甩绳处的形状可近似地视为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 4米，距地面均为米，距地面均为1 1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 1米、米、2.52.5米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是已知学生丙的身高是1.51.5米，请你算一算学生丁的身米，请你算一算

10、学生丁的身高。高。 1m2.5m4m1m甲乙丙丁o 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距米，当球出手后水平距 离为离为4米时到达最大高度米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面线，篮圈中心距离地面3米。米。 问此球能否投中？问此球能否投中？3米米2094米米4米米08米米048（4，4）920 xy442xay(0 x8)9200，抛物线经过点4409202a91 a44912xy(0 x8)9208yx时，当

11、篮圈中心距离地面篮圈中心距离地面3米米此球不能投中此球不能投中如图，建立平面如图，建立平面 直角坐标系，直角坐标系，点（点（4，4）是图中这段抛物）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：物线对应的函数为：3若假设出手的角度和力度都不变若假设出手的角度和力度都不变, ,则如何才能使此球命中则如何才能使此球命中? ?（1）跳得高一点）跳得高一点（2）向前平移一点）向前平移一点探究延伸探究延伸: 如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子垂直于水面处安装一个柱子OAOA，O O恰在水面中心，恰

12、在水面中心，OA=OA=1.25米。由柱子顶端米。由柱子顶端A A处的喷头向外喷水，水流在处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离为漂亮，要求设计成水流在离OAOA距离为距离为1米处达到距米处达到距水面最大高度水面最大高度2.25米。米。 (1)(1)如果不计其他因素，那如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？落到池外？(2)(2)若水流喷出的抛物线形状与（若水流喷出的抛物线形状与（1 1）相同，）相同，水池的半

13、径为水池的半径为3.53.5米，要使水流不落到池外，此时水米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？（精确到流的最大高度应达到多少米？（精确到0.10.1米）米） OA某跳水运动员进行某跳水运动员进行1010米跳台跳水训练时，身体（看成一米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O O的的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动定动作时，正常情况下，该运动 员在空中的最高处距水面员在空中的最高处距水面32/332/

14、3米，米， 入水处距池边的距离为入水处距池边的距离为4 4米，同米，同 时，运动员在距水面高度为时，运动员在距水面高度为5 5米米 以前，必须完成规定的翻腾动作，以前，必须完成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则就会出并调整好入水姿势，否则就会出 现失误。现失误。（1 1）求这条抛物线的解）求这条抛物线的解 析式；（析式；（2 2）在某次试跳中，测）在某次试跳中，测 得运动员在空中的运动路线是（得运动员在空中的运动路线是（1 1） 中的抛物线，且运动员在空中调中的抛物线，且运动员在空中调 整好入水姿势时，距池边的水平整好入水姿势时，距池边的水平 距离为距离为18/518/5米，问此次跳水会

15、不米，问此次跳水会不 会失误？并通过计算说明理由。会失误？并通过计算说明理由。解函数应用题的步骤解函数应用题的步骤: 设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式; 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等); 求自变量取值范围； 利用函数知识，求解（通常是最值问题）； 写出结论。 某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有有190190名售货员，计划全商场日营业额名售货员，计划全商场日营业额( (指每天卖出商品所收指每天卖出商品所收到的总金额到的总金额) )为为6060万元，由于营业性质不同，分配到三个部万元，由于营

16、业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1 1万元营万元营业额所需售货员人数如表（业额所需售货员人数如表（1 1），每），每1 1万元营业额所得利润情万元营业额所得利润情况如表（况如表（2 2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x x，y y和和z z（单位：万元，（单位：万元，x x、y y、z z都是整数）。都是整数）。（1 1）请用含）请用含x x的代数的代数式分别表示式分别表示y y和

17、和z z；（；（2 2）若商场预计每日的总利润为）若商场预计每日的总利润为C C（万（万元），且元），且C C满足满足19C19.719C19.7。问商场应如何分配营业额给三。问商场应如何分配营业额给三个经营部？各应分别安排多少名售货员？个经营部？各应分别安排多少名售货员？商品每1万元营业额所需人数百货类5服装类4家电类2商品每1万元营业额所得利润百货类0.3万元服装类0.5万元家电类0.2万元具有二次函数的图象抛物线的特征具有二次函数的图象抛物线的特征 如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，如果喷头所在处同的抛物线落下，如

18、果喷头所在处A A距地面距地面1.251.25米米, ,水流路水流路线最高处线最高处B B距地面距地面2.252.25米米, ,且距水池中心的水平距离为且距水池中心的水平距离为1 1米米. .试建立适当的坐标系试建立适当的坐标系, ,表示该抛物线的解析式表示该抛物线的解析式为为 , ,如果不考虑其他因素，那么水池的如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要半径至少要 米，才能使喷出的水流不致落到池外。米，才能使喷出的水流不致落到池外。 2.5B(1,2.25 ） 如图的抛物线形拱桥如图的抛物线形拱桥,当水面在当水面在 时时,拱桥顶离水面拱桥顶离水面 2 m,水面宽水面宽 4 m,水面下降水面下降

19、 1 m, 水面宽度增加多少水面宽度增加多少?l探究探究2： 抛物线形拱桥，当水面在抛物线形拱桥，当水面在 时，时，拱顶离水面拱顶离水面2m2m，水面宽度，水面宽度4m4m，水，水面下降面下降1m1m，水面宽度增加多少？，水面宽度增加多少？lxy0(2,-2)(-2,-2)当当 时，时，所以，水面下降所以，水面下降1m，水面的宽，水面的宽度为度为 m.3y6x62462水面的宽度增加了水面的宽度增加了m探究探究2：2axy 解：设这条抛物线表示的二次函数为解：设这条抛物线表示的二次函数为21a由抛物线经过点（由抛物线经过点（2，-2），可得），可得221xy所以，这条抛物线的二次函数为：所以，

20、这条抛物线的二次函数为：3y当水面下降当水面下降1m时，水面的纵坐标为时，水面的纵坐标为 抛物线形拱桥，当水面在抛物线形拱桥，当水面在 时，时，拱顶离水面拱顶离水面2m2m，水面宽度，水面宽度4m4m，水，水面下降面下降1m1m，水面宽度增加多少？，水面宽度增加多少？lxy0(4, 0)(0,0)462水面的宽度增加了水面的宽度增加了m(2,2)2(2)2ya x解：设这条抛物线表示的二次函数为解：设这条抛物线表示的二次函数为21a由抛物线经过点（由抛物线经过点（0，0），可得），可得21(2)22yx 所以，这条抛物线的二次函数为：所以，这条抛物线的二次函数为：当当 时，时，所以，水面下降所

21、以，水面下降1m，水面的，水面的宽度为宽度为 m.1 y6262x 1y 当水面下降当水面下降1m时，水面的纵坐标为时，水面的纵坐标为X yxy00 注意注意: 在解决实际问题时在解决实际问题时,我们应建立简单方便的平面直角坐标我们应建立简单方便的平面直角坐标系系. 用抛物线的知识解决生活中的一些实用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤：际问题的一般步骤：建立直角坐标系建立直角坐标系二次函数二次函数 问题求解问题求解 找出实际问题的答案找出实际问题的答案注意变量的取值范围注意变量的取值范围有座抛物线形拱桥有座抛物线形拱桥(如图如图)，正常水位时桥下，正常水位时桥下河面宽河面宽20m，

22、河面距拱顶，河面距拱顶4m，为了保证过，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于于18m，求水面在正常水位基础上上涨多，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。少米时，就会影响过往船只航行。 例例3:3:你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地视为抛物线，如图所示，正在甩绳处的形状可近似地视为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 4米，距地面均为米，距地面均为1 1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离米，学生丙、丁分别站

23、在距甲拿绳的手水平距离1 1米、米、2.52.5米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，米处，绳甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是已知学生丙的身高是1.51.5米，请你算一算学生丁的身米，请你算一算学生丁的身高。高。 1m2.5m4m1m甲乙丙丁o丁xyo1m2.5m4m1m甲乙丙(0,1)(0,1)(4,1)(4,1)(1,1(1,1.5)5).32,61. 14161, 15 . 1bababa解得132612xxy探究探究3:投篮问题投篮问题 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为米

24、，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距米，当球出手后水平距 离为离为4米时到达最大高度米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面线，篮圈中心距离地面3米。米。 问此球能否投中？问此球能否投中？3米米2094米米4米米08米米048（4，4）920 xy442xay(0 x8)9200，抛物线经过点4409202a91 a44912xy(0 x8)9208yx时，当篮圈中心距离地面篮圈中心距离地面3米米此球不能投中此球不能投中如图，建立平面如图，建立平面 直角坐标系，直角坐标系，点（点（4，4）是图中这段抛物）是图中这段抛物线的顶点，因此可

25、设这段抛线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：物线对应的函数为：3若假设出手的角度和力度都不变若假设出手的角度和力度都不变, ,则如何才能使此球命中则如何才能使此球命中? ? （1）跳得高一点）跳得高一点（2）向前平移一点）向前平移一点探究延伸探究延伸:-5510642-2-4-6yx（4，4）（8，3）200,9在出手角度和力度都不变的情况下在出手角度和力度都不变的情况下, ,小明的出手小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈高度为多少时能将篮球投入篮圈? ?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9208,9 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明

26、朝着篮球架再向前平移多少米后跳起则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？投篮也能将篮球投入篮圈？-5510642-2-4-6yX（8，3）（5，4）（4，4）200,90 1 2 3 4 5 6 7 8 9(，），）例题例题： 如图，一单杠高如图，一单杠高2.2米，两立柱米，两立柱之间的距离为之间的距离为1.6米，将一根绳子的米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。自然下垂呈抛物线状。一身高一身高0.70.7米米的小孩站在离立柱的小孩站在离立柱0.40.4米处，其头部米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。面的距离。 ABCD0.71.62.20.4EFOxy例题例题： 如图，一单杠高如图，一单杠高2.2米，两立柱米，两立柱之间的距离为之间的距离为1.6米，将一根绳子的米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。自然下垂呈抛物线状。一身高