专题26二项式定理(解析版)

1、专题 26 二项式定理(解析版)1 ：混淆通项公式Tr+1 = Cnran-rbr 与展开式中的第r项2：混淆二项式展开式中a,b 排列顺序设置陷阱3：混淆二项式系数和项的系数4：混淆二项式最大项与展开式系数最大项1 求二项展开式中特定项或指定项的系数101 (1 2x)10的展开式的第4 项是.r 10 r r r r r3733Tr 1 C1r0(1)10 r(2x)r2rC5rxr ,第 4项 T4 C310(1)7(2x)3960x32 (2016 年全国 I) (2xx)5的展开式中,x3的系数是 (用数字填写答案)3得 r 4 ,此时系5由 (2x x)5得 Tr 1 Cr5(2x

2、)5 r( x)r 25 rCr5x 2,令 5数为1023 (2018 全国卷 ) (x2)5 的展开式中x4的系数为()xA 10B 20C 40D 802 521034解 析 】 Tr1 C5r(x2)5r( )r C5r2rx103r ,由10 3r 4 ,得 r 2 ,所 以 x4的系 数 为x22C25 22 40故选 C4.在 x13x1815展开式中含x15的项的系数为.( 用数值表示)21展开式中含x15的项的系数为是4C1186C221718 235 .(4x 2 x)6(x R)展开式中的常数项是.【解析】 展开式中的常数项是4C62 C44 1 4 15题组三6 .(2

3、019 全国 III 理 4)(1 2x2)(1 x)4的展开式中x3的系数为( )A 12B 16 C 20 D 24【解析】展开式中x3的系数为1 C43 1 2 C41 13 12 故选 A17 (2017 新课标 ) (12)(1 x)6展开式中x2的系数为( )xA 15 B 20C 30 D 3562224422【解析】 (12 )(1x)6展开式中含x2的项为1C62x22C64x430x2,故x2前系数为30,xx选 C8 . (1 x)6(1x)4 的展开式中x的系数是 .(用数字作答 ).展开式中x 的系数为C62 C42 C61C413题组四9 .(x2 x y)5的展开

4、式中, x5y2的系数为.(用数字作答 ).【解析】展开式中x 的系数为C52 C13C22 3010 . x y y x 4 的展开式中x3 y3 的系数为.(用数 字作答 )【解析】展开式中x 的系数为C421 2653311 (2017新课标 ) (x y)(2x y)5的展开式中x3y3的系数为A80B40C 40D 805r 5r r【解析】(2x y) 5的展开式的通项公式为：Tr 1 C5(2x) ( y) ,当r3时,x(2xy)5展开式中x3 y3的系数为C3522 (1)340,当r2时,y(2xy)5展开式中x3y3的系数为C5223 (1)280 ,所以x3y3的系数为

5、80 40 40 选C12 (2014 新课标 1)(x y)(x y)8的展开式中x2y7的系数为 (用数字填写答案)【解析】(x y)8中 Tr 1Cr8 x8 r yr ,令 r 7 ,再令r 6 ,得 x2y7的系数为C87 C8620【考点总结与提高】1 熟记二项式定理：(a b)nC0nanC1nan1bLCknan kbkLCnnbn(nN ),是解决此类问题的关键.2 求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k 的取值范围( k 0,1,2,L ,n ).(1)第 m项：此时k+1= m,直接代入通项.(2)常数项：即这

6、项中不含“变元 ”, 令通项中“变元 ”的幂指数为0 建立方程.(3)有理项：令通项中“变元 ”的幂指数为整数建立方程.考点 2 已知二项展开式某项的系数求参数题组五1013 (2014 新课标 2) x a 的展开式中,x7的系数为15,则 a =_ (用数字填写答案)r 10 r r【解析】二项展开式的通项公式为Tr 1 C1r0x10 rar ,当 10 r 7时 ,r 3,T4 C130a3x7,则 C130a3 15 ,故 a 1 2514 . 1 ax 1 x 的展开式中的系数为5,.12【解析】由题意知aC51 C52 5a 10 5,a215 (2015 新课标 2) (a x

7、)(1 x)4 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则 a =【解析】(1+x)4展开式的通项为Tr 1 Cr4xr ,由题意可知,13024a(C4 C4 ) C4 C4 C432 ,解得 a 3 题组六16 .若 ( x 2)n 二项展开式的第5 项是常数项,则自然数n 的值为 xn 3r2 r Cnrx 2rnr 2法 1 ：二项展开式的通项公式为Tr 1Cnr x 2xn34则 第 5项 r 4, 所以 n 3 4 0, n 122法 2：由题意第 5项是常数项，所以x取 8个， 2 取 4个， n 4+8 12x117 . 二项式 (1 x x) n的展开式中含有x4的项,则

8、n 的一个可能值是().xA 4B 6C 8D 10n rr5r【解析】 二项展开式的通项公式为,Tr 1 Cnr 1 x x r Cnrx2x5r5r则 2n=4， n 24,当 r=4时 ,n=618 . (1 3x)n(其中n N且 n 6) 的展开式中x5与 x6的系数相等,则 n =由题意Cn4 3 4 =Cn5 3 5，解得 n 9n119 . 若3 x (n N) 的展开式中第3 项为常数项,则展开式中二项式系数最大的是第x项 .【解析】由题意n=8,二项式系数最大的项为中间项,第 5 项 .1120 .若 (x )n 的展开式中第3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中

9、2 的系数为xx.【解析】由题意Cn2=Cn6，解得n 8 ,展开式中12 的系数为C85 56x【考点总结与提高】对于参数问题,通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n,计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系考点 3 二项式各项系数的和与二项式系数的区别题组七a 1521 . x a 2x 1 的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为xx5115【解析】 令 x 1, 1 a 2 1 5 1 a 2,所以 a 1 x 1 2x 1 展开式中常数项 xx,为 C53 2 21 3 C52 2 3 1 24022 .设 m 为 正整数 ,展开式的二项式系数的

10、最大值为,展开式的二项式系数的最大值为,若 13a 7b ,则 m .mm由题意 , a C m,b C m 13a 7bCmmCmm ，解得 m23 .已知1 2x n 的展开式中,二项式系数的和为64,则它的二项展开式中,系数最大的是第项 .【解析】法 1 ：由题意2n64, 解得 n=6 ,二项展开式的系数最大在奇数项,TTCr设二项式展开式中Tk 项 则 k k 2 所以 6TkTk 2C6rC6rC6rr22,解得 r 4，故第5项的系数最大法 2 ： 由 题 意2n 64, 解得 n=6 , 二 项 展 开 式 的 系 数 最 大 在 奇 数 项 ,第 1项系数：C602 0 1,

11、第 3项系数：C62 2 2 60,第 5项系数：C64 2 4 240,故第5项的系数最大.题组八24 .设 (x ) a ax a x L a x ,则 a a =.【解析】 由题意 , a a =CC32543225 .已知多项式(x 1) (x 2) = x a1xa2x a3x a4x a5,则 a4=_, a5=_r3r r m 2m m【解析】 将 (x 1) (x 2) 变换为 (1x) (2 x) ,则其通项为C31x C22 x ,取r 0,m 1 和 r 1,m0 可得 ,a4 C30C12 2+C13C20 22 4 12 16,令 x 0,得 a54567426 .在 1 x 1 x 1 x 的展开式中,含 x 项的系数为.【解析】 由题意,含 x4项的系数为C54 C64 C74 C85 1 5527.已知f(x)x46 的最小值为n, 则 (2x21 ) n展开式的常数项是(xA. 第 6项B. 第 7项C. 第 8项D. 第 9项因为f(x) x 46 10 ,所以 n10,rr 2 10 r 11 C10 2x x2105rr r 20 2 20C10x25r2 =0，解得r展开式的常数项是第9 项 .【考点总结与提高】二项式系数与