四川省高考数学试卷(文科)解析

1、2021年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有 个是符合题目要求的.1. （5 分）（2021?四川）设集合 A=x| 1<x<2,集合 B=x|1 vx<3,那么 A U B=（）A. x| - 1 < x< 3 B. x| - 1 < x< 1 C. x|1 <x< 2 D. x|2< x< 32. （5分）（2021?四川）设向量W= （2, 4）与向量|K= （x, 6）共线，那么实数 x=（）A. 2B. 3C. 4D. 63. （5分）（2021?

2、四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是不是存在显著不同，拟从这三个年级中按人数比例抽取部份学生进行调查，那么最合理的抽样方式是（）A.抽签法B.系统抽样法C.分层抽样法D.随机数法4. （5 分）（2021?四川）A.充要条件设a, b为正实数，那么B.a>b>1”是 10g2a> log2b> 0”的（）充分不必要条件C.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件5.A.（5 分）（2021?四川）以下函数中，最小正周期为兀且图象关于原点对称的函数是（）C.7T y=cos （2x+）y=sin2x+cos2x（5 分）（2021?四川）6

3、.B . / 0y=sin （2x7TD. y=sinx+cosx执行如下图的程序框图，输出s的值为（）AB1S -C1-2 D27. （5分）（2021?四川）过双曲线x2-4=1的右核心且与x轴垂直的直线，交该双曲线的3两条渐近线于 A、B两点，那么|AB|=（）A. 4B. 2沔C. 6D. 473rs8. （5分）（2021?四川）某食物保鲜时刻 y （单位：小时）与储藏温度 x （单位：C）知足 函数关系y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k, b为常数）.假设该食物在0c的保鲜 时刻是192小时，在22 c的保鲜时刻是48小时，那么该食物在 33 c的保鲜时刻是（）A

4、. 16小时B, 20小时C, 24小时D. 28小时9. （5分）（2021?四川）设实数x, y知足,: k+2yte14 ,那么xy的最大值为（1K+y）6C. 12D. 16A. 25210. （5分）（2021?四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x-5） 2+y2=r2（r>0）相切于点M,且M为线段AB的中点，假设如此的直线 l恰有4条，那么r的取值 范围是（）A. （1, 3）B. （1, 4）C. （2, 3）D. （2, 4）二、填空题：本大题共 5小题，每题5分，共25分.11. （5分）（2021?四川）设i是虚数单位，那么复数i-；=.12.

5、 （5 分）（2021?四川）lg0.01+log216 的值是.213. （5 分）（2021?四川）已知 Sin a+2cos a=0 ,那么 2sin acosa- COS a 的值是14. （5分）（2021?四川）在三棱住 ABC-A1B1C1中，/ BAC=90 °,其正视图和侧视图都是 边长为1的正方形，俯视图是直角边长为 1的等腰直角三角形，设 M, N, P别离是AB, BC, B1C1的中点，那么三棱锥 P-A1MN的体积是 .15. （5分）（2021?四川）已知函数f (x) =2x, g (x) =x2+ax (其中aCR).关于不相等的实数xi、x2,设

6、m=吕（勺）一吕（算2） n=町宣2.现有如下命题: 关于任意不相等的实数XI、x2,都有m>0； 关于任意的a及任意不相等的实数 xi、X2,都有n>0; 关于任意的a,存在不相等的实数 x1、X2,使得m=n; 关于任意的a,存在不相等的实数 xi、x2,使得m= - n. 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共 6小题，共75分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.16. （12分）（2021?四川）设数列an （n=1, 2, 3）的前n项和Sn,知足Sn=2an- ai,且 ai, a2+1 , a3成等差数列.（I ）求数列an的通项公式；（

7、n ）设数列-的前n项和为Tn,求Tn.17. （12分）（2021?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1,2,3,4,5,乘客Pi,P2, P3, P4, P5的座位号别离为1, 2, 3, 4, 5.他们依照座位号顺序前后上车，乘客 P1 因躯体缘故没有坐自己 1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规那么就坐：若是自己的座位空着，就只能坐自己的座位. 若是自己的座位已有乘客就坐， 就在这5个座位的剩余空 位当选择座位.（I ）假设乘客Pi坐到了 3号座位，其他乘客按规那么就座，那么现在共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客PiP2

8、P3P4P5座位号3214532451（n ）假设乘客Pi坐到了 2号座位，其他乘客按规那么就坐，求乘客P1坐到5号座位的概18. （12分）（2021?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示用意如下图.（I ）请按字母F, G, H标记在正方体相应地极点处（不需要说明理由） （n ）判定平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论. （出）证明：直线DFL平面BEG.19. (12分)(2021?四川)已知A、B、C为4ABC的内角，tanA, tanB是关于方程x2+/3px-p+1=0 (pCR)两个实根.(I )求C的大小(n )假设AB=3 , AC=E求p的值.20

9、. (13分)(2021?四川)如图，椭圆 E：弓+9=1(a>b>°)的离心率是岑，点P (0,1)在短轴CD上，且正?而=-1(I )求椭圆E的方程；(n )设O为坐标原点，过点 P的动直线与椭圆交于 A、B两点.是不是存在常数%使得oa?o5+由?正为定值？假设存在，求入的值；假设不存在，请说明理由.21. (14 分)(2021?四川)已知函数 f (x) = - 2xlnx+x 22ax+a2,其中 a>0.(I )设g (x)是f (x)的导函数，讨论 g (x)的单调性；(n )证明：存在aC (0,1),使得f (x)涮恒成立，且f (x) =0在区

10、间(1, +8)内有 唯一解.2021年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的.1. （5 分）（2021?四川）设集合 A=x| 1<x<2,集合 B=x|1 vx<3,那么 A U B=（）A. x| - 1 < x< 3B. x| - 1 < x< 1 C. x|1 <x< 2D. x|2< x< 3考点：并集及其运算.专题：集合.分析：直接利用并集求解法则求解即可.解答：解：集合 A=x| - 1<x<

11、2,集合 B=x|1 <x<3, 则 A U B=x| - 1 vxv 3.故选：A .点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查.2. （5分）（2021?四川）设向量3=（2,4）与向量,二（x,6）共线，那么实数x=（）A. 2B. 3C. 4D. 6考点：平面向量共线（平行）的坐标表示.专题：平面向量及应用.分析：利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x.解答：解；因为向量a= （2, 4）与向量b= （x, 6）共线，所以4x=2 >6,解得x=3 ;故选：B.本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量a= （x, v）与向量b= （m, n）共线，那么xn=y

12、n .3. （5分）（2021?四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是不是存在显著不同，拟从这三个年级中按人数比例抽取部份学生进行调查，那么最合理的抽样方式是（）A.抽签法B.系统抽样法 C.分层抽样法D.随机数法考点：收集数据的方法.专题：应用题；概率与统计.分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.解答：解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理.故选：C.点评：本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题

13、.4. （5分）（2021?四川）设a, b为正实数，那么A.充要条件C.必要不充分条件B.D.a>b>1”是 10g2a> log2b> 0”的（）充分不必要条件既不充分也不必要条件考点：充要条件.专题：简易逻辑.分析:解答:先求出10g2a>1og2b>0的充要条件，再和解：若 log2a>iog2b>0,则 a> b>i,a>b> 1比较，从而求出答案.点评:故a>b>1”是10g2a>log2b>0”的充要条件， 故选：A .本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质,是一道基础题.5.A.

14、（5分）（2021?四川）以下函数中，最小正周期为兀且图象关于原点对称的函数是（）C.y=cos (2x+g)y=sin2x+cos2xB y=sin T)D. y=sinx+cosx分析:解答:y=cos (2x+=-sin2x,是奇函数，函数的周期为:兀，满足题意，所以 A正确y=sin （ 2x+-y） =cos2x,函数是偶函数，周期为：兀,不满足题意，所以 B不正确;y=sin2x+cos2x= ' ： ；s7Tin （2x+）,函数是非奇非偶函数,周期为 TT,所以C不正确;考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法.专题：三角函数的图像与性质.求出函数的周期，函

15、数的奇偶性，判断求解即可. 解：y=sinx+cosx= Vsin (x+-点评:,函数是非奇非偶函数，周期为 2兀，所以D不正确;故选：A .本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能 力.6. （5分）（2021?四川）执行如下图的程序框图，输出 s的值为（C.考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值,算并输出S的值为工.2解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k>4, k=3不满足条件k>4, k=4不满足条件k>4, k=5满足条件 k>4, S=sin-=

16、, 6 2输出s的值为a. 2故选：D.点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题.D. _12当k=5时满足条件k>4,计27. （5分）（2021?四川）过双曲线 x2-T7=1的右核心且与两条渐近线于 A、B两点，刃% |AB|=（）A.B. 23C, 6x轴垂直的直线，交该双曲线的D. 4反考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出双曲线的渐近线方程，求出 AB的方程，得到 AB坐标，即可求解|AB|.解答：，解：双曲线x2-Z_=1的右焦点（2, 0）,渐近线方程为 y=±Vsx,过双曲线x2-iL=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=

17、2,3可得 yA=2必，yB=- 2f3, . |AB|=4 日.故选：D.点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用.8. （5分）（2021?四川）某食物保鲜时刻 y （单位：小时）与储藏温度 x （单位：C）知足 函数关系y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k, b为常数）.假设该食物在0c的保鲜 时刻是192小时，在22 c的保鲜时刻是48小时，那么该食物在 33 c的保鲜时刻是（）A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时考点：指数函数的实际应用.专题：函数的性质及应用.分析：由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e

18、k, eb的值,运用指数塞的运算性质求解e33k+b即可.解答：解：y=ekx+b （e=2.718为自然对数的底数，k, b为常数）.当 x=0 时，eb=l92,当 x=22 时 e22k+b=48,16k 三ne =192=4eb=192当 x=33 时，e33k+b= （ek） 33? （eb） =（4）3M92=24故选：C点评：本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解.'2k+y%109. （5分）（2021?四川）设实数x, y知足 H2y<14 ,那么xy的最大值为（）A.戮B.堂C. 12D. 1622考点：简单线性规划.专题：不等式的

19、解法及应用.分析：作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可. 解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时 2x+y=10 ,则 xy=_=-) 2=卒,当且仅当2x=y=5 ,即x期,y=5时，取等号，2故xy的最大值为空2故选：A点评：本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键.10. (5分)(2021?四川)设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆(x-5) 2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点，假设如此的直线l恰有4条，那么r的取值范围是()A. (1, 3)B. (

20、1, 4)C. (2, 3)D. (2, 4)考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系.专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：先确定M的轨迹是直线x=3,代入抛物线方程可得 y=6,所以交点与圆心(5, 0) 的距离为4,即可得出结论.解答：解：设 A(X1, y1), B (x2, y2), M (x0, y0),则斜率存在时，设斜率为 k,则y12=4x1, y22=4x2,利用点差法可得 kyo=2 ,因为直线与圆相切，所以 工九5= T 所以*0=3，即M的轨迹是直线x=3 ,代入抛物线方程可得 y=/3,所以交点与圆心(5, 0)的距离为4,所以2vr<4

21、时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2<r<4,故选：D.点评：本题考查直线与抛物线、 圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.11. （5分）（2021?四川）设i是虚数单位，那么复数 i-= 2i . i考点：复数代数形式的混合运算.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的运算法则求解即可.解答：解：复数 i JUi =i+i=2i .1 1*1故答案为：2i.点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力.12. （5 分）（2021?四川）Ig0.01+log2l6 的

22、值是 _2_.考点：对数的运算性质.专题：函数的性质及应用.分析：直接利用对数的运算法则化简求解即可.解答：解：lg0.01+log 216=2+4=2.故答案为：2.点评：本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力.13. （5 分）（2021?四川）已知 sin a+2cosa=0,那么 2sin acos a- cos2 a 的值是-1考点：同角三角函数基本关系的运用.专题：三角函数的求值.分析：已知等式移项变形求出 tan a的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan a的值代入计算即可求出值.解答：解：sin a+2cos a=0 ,即 sin a= - 2cosa, ta

23、n（x= 2）则原式二-5 4+1Cos 仃-cq Ctcos 匹 _ co Q- 11口 si n' -十匚口 s' taii2 a+1,故答案为：-1点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.14. （5分）（2021?四川）在三棱住 ABC-A1B1C1中，/ BAC=90 °,其正视图和侧视图都是 边长为1的正方形，俯视图是直角边长为 1的等腰直角三角形，设 M, N, P别离是AB,BC, B1C1的中点，那么三棱锥 P-A1MN的体积是考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：空间位置关系与距离.分析：判断三视图对应的几何体的形

24、状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P-A1MN的体积即可.解答：解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边 长为1,高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为 NP=1 ,底面AMN的面积是底面三角 形ABC的，1所求三棱锥P-A1MN的体积是：XX X 1X1X1.>»' 4 224故答案为：A.24E点评：本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几 何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.15. （5分）（2021?四川）已知函数f（x）=2x,g（x）=x2+ax （其中aCR）.关于不相等的

25、£（町）一 f（x?） 吕（工J 一片（工.实数x1、x2,设m=Z, n=z.现有如下命题： 关于任意不相等的实数 x1、x2,都有m>0; 关于任意的a及任意不相等的实数 x1、x2,都有n>0； 关于任意的a,存在不相等的实数 x1、x2,使得m=n; 关于任意的a,存在不相等的实数 x1、x2,使得m= - n.其中的真命题有（写出所有真命题的序号）.考点：命题的真假判断与应用.专题：函数的性质及应用.分析：运用指数函数的单调性，即可判断；由二次函数的单调性，即可判断；通过函数h （x） =x2+ax-2x,求出导数判断单调性，即可判断；通过函数h （x） =x2

26、+ax+2x,求出导数判断单调性，即可判断 .解答：解：对于，由于2>1,由指数函数的单调性可得f （x）在R上递增，即有 m>0,则正确；对于，由二次函数的单调性可得 g （x）在（-00,一盛）递减，在（, +°°）递减，则n>0不恒成立，则错误；对于，由 m=n,可得 f (xi) - f (x2) =g (xi) - g (x2),考查函数 h (x) =x2+ax-2x,h' (x) =2x+a - 2xln2,当 a- -h'(x)小于 0, h (x)单调递减，则 错误；对于，由 m= - n,可得 f (xi) - f (x

27、2) = - g (xi) - g (x2),考查函数 h (x) =x2+ax+2x,h' (x) =2x+a+2xln2,对于任意的 a, h' (x)不恒大于0或小于0,则 正确.故答案为：.点评：本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键.三、解答题：本大题共 6小题，共75分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.16. (i2分)(202i?四川)设数列an (n=i, 2, 3)的前n项和Sn,知足Sn=2an- ai,且aia2+i , a3成等差数列.(I )求数列an的通项公式；(II )设数列-L的前n

28、项和为Tn,求Tn.an考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式.专题分析:(Ia2+i由条件Sn满足Sn=2an-ai,求得数列an为等比数列，且公比q=2 ;再根据ai, a3成等差数列，求得首项的值，可得数列an的通项公式.由于,利用等比数列的前n项和公式求得数列£ 的前n项和Tann.解答:解：I )由已知Sn=2an- ai,有an=Sn - Sn i =2an- 2an i (n或)，即 an=2an i (n 或)，从而 a2=2ai, a3=2a2=4ai.又因为ai, a2+i, a3成等差数列，即 ai+a3=2 (a2+i)所以 ai+4ai=2 (2ai+

29、i),解得：ai=2.所以，数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故 an=2n.所以Tn=+L=i + +121212点评:本题主要考查数列的前 n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比 数列白前n项和公式，属于中档题.17. （12分）（2021?四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1,2,3,4,5,乘客P1,P2, P3, P4, P5的座位号别离为1, 2, 3, 4, 5.他们依照座位号顺序前后上车，乘客 P1 因躯体缘故没有坐自己 1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规那么就坐：若是自己的座位空着，就只能坐自己的座位. 若是自己的座位已有乘客就坐， 就在这5个

30、座位的剩余空 位当选择座位.（I ）假设乘客P1坐到了 3号座位，其他乘客按规那么就座，那么现在共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5座位号32145324513241532541（n ）假设乘客P1坐到了 2号座位，其他乘客按规那么就坐，求乘客 P1坐到5号座位的概考点：概率的应用.专题：应用题；概率与统计.分析：（I ）根据题意，可以完成表格；（n）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率.解答：解：（I ）余下两种坐法：乘客P1P2P3P4P5座位号32145324513241532541（n）

31、若乘客P1坐到了 2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法引用卜表表示为乘客P1P2P3P4P5座位号2134523145234152345123541243152435125341十是，所有可能的坐法共8种，设乘客P1坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4,所以P (A)4 1-I -1叵2答：乘客P1坐到5号座位的概率是 .点评：本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键.18. （12分）（2021?四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示用意如下图.（I ）请按字母F, G, H标记在正方体相应地极点处（不需要说明理由） （n

32、）判定平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论. （出）证明：直线DF，平面BEG.考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离.分析：（I ）直接标出点F, G, H的位置.（II ）先证BCHE为平行四边形，可知 BE /平面ACH ,同理可证 BG /平面 即可证明平面 BEG /平面ACH .（山）连接 FH,由 DH XEG,又 DH ±EG, EGXFH,可证 EG,平面 BFHD 可证DFLEG,同理DFLBG,即可证明 DFL平面BEG .解答：解：（I ）点F, G, H的位置如图所示.（II ）平面BEG /平面ACH ,

33、证明如下：ABCD - EFGH 为正方体，BC / FG, BC=EH ,又 FG / EH , FG=EH ,BC / EH, BC=EH ,BCHE为平行四边形.BE / CH,又CH?平面ACH , BE?平面ACH ,BE / 平面 ACH ,同理BG /平面ACH ,又 BE ABG=B , 平面BEG /平面ACH .（m）连接FH, . ABCD - EFGH为正方体， DH LEG,又EG?平面EFGH, DH LEG,又 EGFH, EGAFH=O ,EG,平面 BFHD ,又DF?平面BFHD ,DF± EG,同理DFBG,又 EG ABG=GDF，平面 BEG

34、 .点评：本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题.19. (12分)(2021?四川)已知A、B、C为4ABC的内角，tanA, tanB是关于方程x2+Jpx-p+1=0 (pCR)两个实根.(I )求C的大小(n )假设 AB=3 , AC=V6,求 P 的值.考点：正弦定理的应用；两角和与差的正切函数.专题：函数的性质及应用；解三角形.'析.(I)由判别式=3p2+4p-4用，可得p<- 2,或p卷，由韦达定理，有tanA+tanB=-V3p, tanAtanB=1 - p,由两角和的正切函

35、数公式可求tanC= - tan (A+B ) =J3 ,结合C的范围即可求C的值.(n )由正弦定理可求 sinB。"-'AB,解得B, A,由两角和的正切函数公式可求 tanA=tan75 °,从而可求 p= - -i= (tanA+tanB)的值.解答：解：(I)由已知，方程 x2+dpx - p+1=0 的判别式：=( d5p) 2 - 4 ( - p+1) =3p2+4p-4电所以p<- 2,或p春由韦达定理，有 tanA+tanB= - V3p, tanAtanB=1 - p.所以，1 tanAtanB=1 (1 p) =p 为，. /ac、 ta

36、nA+tanBV3p从而 tan (A+B ) ="= -= M3.1 - tanAtanB p所以 tanC= - tan (A+B) =V5,所以C=60°.(n )由正弦定理，可得 sinB口C =倔1；6口 手,解得B=45 °,或B=135° (舍去).于是，A=180 - B - C=75 °.=2+/3贝U tanA=tan75 =tan (45 +30°) = t 血或 +t3n3n_1- tan45° tan30fl3所以p=-(tanA+tanB ) = - -L (2+/5+1)= _ 1 _ xj3

37、-Vs点评：本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力, 考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题.22E：%+4=1 (a>b>0)的离心率是 a2 b2除点P(0,20. (13分)(2021?四川)如图，椭圆1)在短轴CD上，且而湎=-1(I )求椭圆E的方程；(n )设O为坐标原点，过点 P的动直线与椭圆交于 A、B两点.是不是存在常数 %使得 而?而+花?而为定值？假设存在，求 入的值；假设不存在，请说明理由.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(I )通过e崎、记?而=-1

38、,计算即得a=2、b侦，进而可得结论；(n )分情况对直线 AB斜率的存在性进行讨论： 当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当在1时加?而+萩旃=-3;当»A1fc 直线AB的斜率不存在时，OA?OB+ fA?PB=- 3.解答：解：(I )根据题意，可得 C (0, - b), D (0, b),又P (0, 1),且 PC?PD=- 1,iFT-1二-1,解得 a=2, b=V2,2 , i 2_ 2l 口 b -c椭圆E的方程为:(n)结论：存在常数 F1,使得而?而+再而为定值-3.理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：当直线AB的斜率存在

39、时，设直线 AB的方程为y=kx+1 ,A (xi, yi), B (x2, y2),r 2 2x y联立 万=1，消去y并整理得：(1+2k2) x2+4kx - 2=0 ,、产k工十1 = (4k) 2+8 (1+2k2) >0, 4k “ c 2 x1+x2-x1x2-t ,l+2kJ 1+21?从而 OA?C?B+APA?FB=x1x2+y1y2+?x1x2+ (y11) (y21)入2.当入 =1时,一入一 2= 一 3,此时 6S?6E+ apa?pb= - 3 为定值；当直线AB的斜率不存在时，直线 AB即为直线CD,此时 OA?OB+ aPA?PB=OC OD+PO FD

40、= - 2 T = - 3 ；故存在常数F1,使得|OA?OB+汜A?PB为定值-3.点评：本题考查椭圆的标准方程、 直线方程等基础知识， 考查推理论证能力、 运算求解能力, 考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的 积累，属于难题.21. (14 分)(2021?四川)已知函数 f (x) = - 2xlnx+x 22ax+a2,其中 a>0.(I )设g (x)是f (x)的导函数，讨论 g (x)的单调性；(n )证明：存在aC (0,1),使得f (x)涮恒成立，且f (x) =0在区间(1, +8)内有 唯一解.考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.专题：导数的综合应用.分析：(I)函数 f(x)= - 2x