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文档简介
1、2021年高考理数真题试卷(全国乙卷)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(共12题;共60分)1.设2(z+ )+3(z- )=4+6i,则z=( ). A. 1-2i
2、60; B. 1+2i
3、60;C. 1+i D. 1-i【答案】 C 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】设所以a=b=1,所以z1+i。
4、故答案为:C 【分析】先设z的代数式,代入运算后由复数相等的条件,即可求得结果。2.已知集合S=s|s=2n+1,nZ,T=t|t=4n+1,nZ,则ST=( ) A.
5、; B. S
6、160; C. T D. Z【答案】 C 【
7、考点】交集及其运算 【解析】【解答】当n=2k 时,S=s|s=4k+1, , 当n=2k+1 时,S=s|s=4k+3, 所以S,所以, 故答案为:C. 【分析】分n的奇偶讨论集合S。3.已知命题p: xR,sinx1;命题q: xR, 1,则下列命题中为真命题的是( ) A. p q
8、 B. p q C. p q &
9、#160; D. (pVq)【答案】 A 【考点】全称量词命题,存在量词命题,命题的否定,命题的真假判断与应用 【解析】【解答】因为命题P是真命题,命题 q也是真命题, 故答案为:A 【分析】先判断命题p,q的真假,然后判断选项的真假。4.设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是( ) A. f(x-1)-1 &
10、#160; B. f(x-1)+1
11、60; C. f(x+1)-1 D. f(x+1)+1【答案】 B 【考点】函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质 【解析】【解答】因为 f(x)= , 所以函数的对称中心是(-1,-1),所
12、以函数f(x)向右平移1 个单位,再向上平移1个单位后关于(0,0)中心对称,而四个选项中只有B满足条件, 故答案为:B。 【分析】将 函数变形为f(x)= 后,判断。5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( ) A.
13、0; B.
14、160; C.
15、D. 【答案】 D 【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】如图,连接AC,设AC与BD交于O,连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x, 因为D1P|OB|BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形,所以BP|OD1,所以 即为所求的角,易证平面BDD1B1,故OD1, 又,所以.故答案为:D 【分析】在正方体中,作辅助线,通过平移线,作出所要求的角。6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( ) A. 60种
16、 B. 120种
17、 C. 240种
18、 D. 480种【答案】 C 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】由题意知,必须有2个人一组,其他各组只有1个人,所以分配方法是: , 故答案为:C.【分析】利用排列与组合来求解。7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 个单位长度,得到函数y=sin(x- )的图像,则f(x)=( ) A. sin( )
19、160; B. sin( ) C. sin( ) D. sin( )【答案】 B 【考点】由y=Asin(x+)的部分图象确定其解析
20、式 【解析】【解答】根据图象平移的规律可知,将y= y=sin(x- )的图像 上所有的点向左平移平移个单位,纵坐标不变,得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,即函数的周期变原来的2倍,就得到函数y= , 故答案为:B。 【分析】根据三角函数图象的相位,周期变化规律来解题。8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于 的概率为( ) A.
21、60; B.
22、 C.
23、60; D. 【答案】 B 【考点】几何概型 【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0<a<1, 1<b<2,在平面直角坐标系内,a,b的取值, 表示为一个正方四个顶点:(0,1),(1,0),(1,2),(0,2),且包括边界在内的正方形区域。作 直线a+b= , 满足a+b> 的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示, 直线a+b 与正方形的两个交点分别为,则可计算事件(a+bR人svyf概率为P, 故选B。 【分析】利用几何概型解答。9.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海盗的高。如
24、图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=( ). A. B. C. D. 【答案】 A 【考点】解三角形的实际应用 【解析】【解答】如图,连接DF,直线DF交AB于M, 则ABAM+BM,设则因为,所以所以 故答案为:A. 【分析】通过作辅助线,(如图),然后利用解直角形的知识来解答。10.设a0,若x=a为函数 的极大值点,则( ) A. ab
25、 B. ab
26、160; C. aba2 D.
27、aba2【答案】 D 【考点】二次函数的图象,二次函数的性质 【解析】【解答】当a>0时,若a为极大值点,则(如图1),必有a<b,ab<a2.故B,C项错; 当a<0时,若a为极大值点,则(如图2),必有a>b>a2,故A错。 故答案为:D. 【分析】对a的正负进行讨论,根据极值点的意义,作图分析,得到正确选项。11.设B是椭圆C: (ab0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足 ,则C的离心率的取值范围是( ) A.
28、; B.
29、60; C. D. 【答案】 C 【考点】椭圆的定义,椭圆的简单性质 【解析】【解答】依题意,点B(0,b),设P(x0,y0
30、),则有移项并用十字相乘法得到: 因为恒成立,即恒 成立, 据此解得 , 故答案为:C。 【分析】由两点间的距离公式,表示出|PB|2 , 再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围,解相关不等式得到结果。12.设 , , ,则( ) A. abc
31、0;B. bca C. bac
32、 D. cab【答案】 B 【考点】指数函数的图象与性质,对数函数的图象与性质 【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)- , 则b-c=f(0.02),则当x>0时,, 所以f/(x)<0,所以f(x)在单调递减,所以f(0.02)<f(0),即b-c<0,所以b<c; 再构造函数则而, 当 所以所以g(x)在(0,2)上单调递增,所以所以b<c<a, 故答案为:B 【分析】本题就在于构造恰当
33、的函数,利用导数研究函数的单调性,从而解题。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。(共4题;共20分)13.已知双曲线C: (m>0)的一条渐近线为 +my=0,则C的焦距为_. 【答案】 4 【考点】双曲线的定义,双曲线的简单性质 【解析】【解答】因为又曲线方程C:,一条渐近线是 , 所以双曲线方程是, 故答案为:4 【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值,再进一步求得焦距的值。14.已知向量=(1,3),b=(3,4),若(-) , 则=_。 【答案】【考点】平面向量的坐标运算,平面向量数量积的运算,数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】因为 , 所以 , 所
34、以 , 故答案为: 【分析】先计算出的坐标式,再根据两向量垂直,列式求解。15.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60°,a2+c2=3ac,则b=_. 【答案】【考点】余弦定理,三角形中的几何计算 【解析】【解答】 于是 【分析】根据面积的值,计算出ac,再由余弦定理求解。16.以图为正视图,在图中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为_(写出符合要求的一组答案即可). 【答案】 或 【考点】由三视图还原实物图 【解析】【解答】当俯视图为 时,右侧棱在左侧,不可观测到,所以为虚线,故选择为侧视图; 当俯视图
35、为时,左侧棱在左侧可观测到,所以为实线,故选择为侧视图, 故答案为: 或 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(共5题;共60分)17.某厂研究了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410
36、.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ,样本方差分别记为s12和s22(1)求 , , s12 , s22; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果 - ,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高). 【答案】 (1)解:各项所求值如下所示 = (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 = (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 = x(9.7-10.0)2+2x(9.
37、8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36, = x(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.4.(2)由(1)中数据得 - =0.3,2 0.34 显然 - 2 ,所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。【考点】众数、中位数、平均数,极差、方差与标准差 【解析】【分析】(1)先计算新旧样本平均数 , 再直接用公式计算 s12
38、, s22; (2)由 (1)中的数据,计算得: - =0.3,2 0.34 , 显然 - 2 ,可得到答案。18.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PBAM, (1)求BC; (2)求二面角A-PM-B的正弦值。 【答案】 (1)解:因为PD平面ABCD,且矩形ABCD中,ADDC,所以以 , , 分别为x,y,z轴正方向,D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。 设BC=t,A(t,0,0),B(t,1,0),M( ,1,0),P(0,0,1),所以 =(t,1,-1), =( ,1,0),因为PBAM,所以 =- +1=0,所以t=
39、,所以BC= 。(2)设平面APM的一个法向量为 =(x,y,z),由于 =(- ,0,1),则 令x= ,得 =( ,1,2)。设平面PMB的一个法向量为 =(xt , yt , zt),则令 =1,得 =(0,1,1).所以cos( , )= = = ,所以二面角A-PM-B的正弦值为 .【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理,用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,定义相关点的坐标,通过计算求解; (2)呈上,分别求二面角的两个平面的法向量,用法向量的夹角计算。19.记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n项和,已知 =2. (1)证明:数列bn
40、是等差数列; (2)求an的通项公式. 【答案】 (1)由已知 + =2,则 =Sn(n2) + =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n2),b1= 故bn是以 为首项, 为公差的等差数列。(2)由(1)知bn= +(n-1) = ,则 + =2 Sn= n=1时,a1=S1= n2时,an=Sn-Sn-1= - = 故an= 【考点】等差数列的通项公式,等差数列的前n项和,数列递推式 【解析】【分析】(1)根据等差数列及前n项和的定义,由递推关系,求证。 (2)呈上,先写出bn,再求bn前n磺的和 Sn ,再由 an与 Sn 的关系,进一步求得结果。20.设函数f(x)=ln(
41、a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点。 (1)求a; (2)设函数g(x)= ,证明:g(x)1. 【答案】 (1)xf(x)=xf(x)+xf(x) 当x=0时,xf(x)=f(0)=lna=0,所以a=1(2)由f(x)=ln(1-x),得x1 当0x1时,f(x)=ln(1-x)0,xf(x)0;当x0时,f(x)=ln(1-x)0,xf(x)0故即证x+f(x)xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)0令1-x=t(t0且t1),x=1-t,即证1-t+lnt-(1-t)lnt0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则f(t)=-1- -(-1)lnt+ =-1+ +lnt- =lnt所以f(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,故f(t)f(1)=0,得证。【考点】利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】【分析】(1)先对函数 y=xf(x)求导: xf(x)=xf(x)+xf(x),因为x=0是方程的根,代入求得a值。 (2)首先由(1)写出函数f(x),并求其定义域,将问题转化为证明 x+f(x)xf(x),即证:x+ln(1-x)-xln(1-x)0 ,然
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