整理02可分离变量的微分方程

1、精品文档第二节可别离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的,它们的解法也各不相同从本节开始我们将根据微分方程的不同类型,给出相应的解法本节我们将介绍可别离变量的微分方程以及一些可以化为 这类方程的微分方程,如齐次方程等分布图示可别离变量微分方程例1例2例3例4例5例6齐次方程例7例8例9例10例11可化为齐次方程的微分方程例12例13例14例15内容小结课堂练习习题8-2内容要点一、可别离变量的微分方程设有一阶微分方程dydx二 F (x, y)精品文档如果其右端函数能分解成 F(x,y)二f (x)g(x),即有齐 f(x)g(y).(2.1)那么称方程(2.1)为可别离变量的微分方程,其

2、中f (x),g(x)都是连续函数根据这种方程的特点,我们可通过积分来求解 求解可别离变量的方程的方法称为别离变量法(2.8)、齐次方程：形如dx<x 丿的一阶微分方程称为齐次微分方程,简称齐次方程.三、可化为齐次方程的方程：对于形如dy = f dx + b* +ci jdx ia2x + b2y+c2 丿的方程,先求出两条直线a1x b| y C! =0,a2 x b2 y c2 = 0的交点(xo,yo),然后作平移变换X =x -Xq y =y _y°fx = X 十 x0 y =丫 +y°这时,型二巴,于是,原方程就化为齐次方程dx dXd _ f I

3、9;Nx +biY、 dX 一 2X +b?Y '例题选讲可别离变量的微分方程例1( E01)求微分方程 少=2xy的通解.dx解 别离变量得dy = 2xdx两端积分得也二2xdx > In |y|=x2,Ciyy2 2 2从而y »ex C1 =C1 ex,记C = C1,那么得到题设方程的通解y =Cex .例2( E02)求微分方程dx - xydy = y2dx ydy的通解.解 先合并dx及dy的各项,得y(x-1)dy =(y2 -1)dx设y2 一1 =o,x_1 =0,别离变量得 两端积分.注d" Vdx得y1二 dydxy2 -1x -11

4、 2丄“ |y2 一 1|=ln|x_1| ln|C1I2于是y2 -1=cj(x-1)2记C=Qj,那么得到题设方程的通解y2 -1二C(x-1)2.注：在用别离变量法解可别离变量的微分方程的过程中,我们在假定g(y)H0的前提下,用它除方程两边,这样得到的通解,不包含使g(y) =0的特解.但是,有时如果我们扩大任 意常数C的取值范围,那么其失去的解仍包含在通解中.如在例2中,我们得到的通解中应该 C =0 ,但这样方程就 失去特解y = _1,而如果允许 C = 0,那么y二_1仍包含在通解y -1 =C(x -1)中.例 3 f (sin x) =cos2x tan x,当 0 ：x

5、：1 时,求 f (x).ryr解 设 y =sin x,那么 cos2x=1-2sin x =1 -2y,.2sin x1 -sin x.2丄 2 sin xtan x cos x所以原方程变为占即 f(y)2y所以f(y)= 2y+Hdy<1y 丿2-y In(1 y) C,故f (x)二-x2In(1 _x)C (0 :：: x : 1).例4 设一物体的温度为100 C,将其放置在空气温度为20C的环境中冷却试求物体温度随时间t的变化规律解设物体的温度 问题的数学模型：T与时间t的函数关系为T =T(t),在上节的例1中我们已经建立了该dT =_k(T -20)(1)dt(2)T

6、 |t 亠=100(2)其中k(k 0)为比例常数下面来求上述初值问题的解别离变量,得_d二_kdt；T 20两边积分dT - -kdt,得ln|T -20-kt G(其中0为任意常数),T -20即 T -20 二 eAt C1 二 eC1e# 二Ce»(其中 C = eC1 ).从而T =20 Ce At,再将条件 代入得C =100-20 =80, 于是,所求规律为T -20 80eAt.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如,警方破案时,法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间,就可以利用这个模型来计算解决,等等例5 ( E03)在一次谋杀发生后,尸体的温度根

7、据牛顿冷却定律从原来的37C开始下降,假设两个小时后尸体温度变为35C,并且假定周围空气的温度保持20C不变,试求出尸体温度T随时间t的变化规律.又如果尸体被发现时的温度是30C,时间是下午4点整,那么谋杀是何时发生的？解根据物体冷却的数学模型,有dTk(T -20), k 0 dtT(0) =37.其中k 0是常数,别离变量并求解得T - 20 二 Ce ",代入初值条件T(0) =37,可求得C =17,于是得该初值问题的解为T =2017e».为求出k值,根据两小时后尸体温度为35 C这一条件,由求得k : 0.063,于是温度函数为35 =2017e 2,T = 2

8、0 17e_0.063t将T =30代入上式求解t,有二 e063,即得 t : 8.4 (小时).17于是,可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.例6( E04)某公司t年净资产有 W(t)(百万元),并且资产本身以每年 5%的速度连续增 长,同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.(1) 给出描述净资产 W(t)的微分方程；(2) 求解方程,这时假设初始净资产为 W0；讨论在 W0 =500, 600, 700三种情况下,W(t)变化特点.解(1)利用平衡法,即由净资产增长速度=资产本身增长速度-职工工资支付速

9、度得到所求微分方程dWdt-0.05W -30.(2)别离变量,得dWW -600=0.05dt.两边积分,得In |W -600戶0.05t Tn C1 (C1为正常数),于是| -6 0C = C1e0.05t1 或 W-600 =Ce0.05t (C=CJ将W(0) =W°代入,得方程通解：W =600 (W0 -600)e0.05t.上式推导过程中 W =600,当W =600时,W -0知dtW =600 (W0 -600)e0'05t, W =600 =W0,通常称为平衡解,仍包含在通解表达式中.(3) 由通解表达式可知,当 W0= 500百万元时,净资产额单调递

10、减,公司将在第36年破产;当W0= 600百万元时,公司将收支平衡,将资产保持在600百万元不变；当 W0=700百万元时,公司净资产将按指数不断增大.齐次方程例7 E05求解微分方程巴二丄 tan满足初始条件dx x xji6的特解.解 题设方程为齐次方程,设u=2,那么鱼二uX巴,dxx dx代入原方程得u xdu =u tan u,别离变量得cotudu=dx. dxx两边积分得 In |sinu| = ln|x| In |C | siu=Cx,将u二丄回代,那么得到题设方程的通解为sin' =Cx.xx利用初始条件ylx壬w/6,得到C =丄.从而所求题设方程的特解为sinJx

11、.x 2例8求解微分方程dxdy解原方程变形为x2 _xy y2 2y2dy _ 2y xy2 _xy22dx x xy ydu 2u2 -u令u J,那么矽丸X竺方程化为u2,dxdxdx 1 u +u别离变量得2丄+匕Jdux两边积分得31ln(u -1) ln(u - 2) In u =1 n x-2InC,整理得u(u-2)3/2 =Cx.所求微分方程的解为y-x2二 Cy(y -2x)3.例9 E06求解微分方程2 dydyx xy dxdx解原方程变形为dy _ y22dx xy - x2y,齐次方程x令 u =上,贝U y =ux, dyxdx=u臾,故原方程变为u x = dx

12、dx u -1,即旦dx u 1别离变量得1-1 du'、.u 7dx.两边积分得 u Tn |u | C = In |x| 或 In | xu |= u C. x精品文档x精品文档回代u =?,便得所给方程的通解为xln |y C.x例10求以下微分方程的通解：x(ln x -In y)dy - ydx = 0.解 原方程变形为In ydy -dx =0,令u=,那么dy =u - , x xx dx dx代入原方程并整理巴 du =u(ln u +1)x两边积分得In u _ ln(ln u 亠 1) - -In x Tn C,即 y = C(ln u 1).变量回代得所求通解y

13、=C lnX 1 .I x丿例11设商品A和商品B的售价分别为 R,P2,价格P1与P2相关,且价格R相对P2的弹性为I2,求P1与P2的函数关系式PidP2 P2 Pi解 所给方程为齐次方程,整理,得dP21 旦 P2R令u =巴,那么P2I du 1 -u u P2u.dP21 +u别离变量,得112dP2.u u2P2两边积分,得1 2 lnu = ln (GB)2. uP1将u-回代,P2那么得到所求通解即P1与P2的函数关系式P1eP1二CP；C二C；为任意正常数.R可化为齐次方程的方程例12 E07求鱼二x -y 1的通解.dx x +y -3解 直线x-y,1=0和直线x,y-3

14、=0的交点是1,2,因此作变换 x = X,1,y二丫 *2.代入题设方程,得空 一一 i_Y . i 丄dX r Y 一 XXY dYdudu 1 - u令u ,那么Y=uX, u亠X,代入上式,得u亠X,XdXdXdX 1 +ud I. *d别离变量,得 du =1 n|X| l nCi,两边积分,得一 I n|1 _2u _u2|=ln |X | In®1 -2u -u2Y 22即u 回代得X -2XY -Y =C,X再将X =x -1, Y =y _2回代,并整理所求题设方程的通解X2 _2xy _ y2 2x 6y =c.例13( E08)利用变量代换法求方程矽=(x y)

15、2的通解.dx解 令xy=u,那么也二竺_1,代入原方程得包=1u2,dx dxdx别离变量得du 2二dx,两边积分得arctanu =x C,回代得arctan(x y x C,1 +u故原方程的通解为 y =tan(x C) -x.例14求微分方程y = tan2(x - 2y)的通解. 2解令u=：x2y,那么竺=1,代入原方程得dxdx丄巴一1 Jta n2u =2 dx2tan2u,即ec2u.dxdx别离变量得两端积分得dusec u=dx 或 Jdu"x.1 1 1 12 u 2si2u 二x C,即4sin2(x2y) ?(x 2y)=x C,故所求通解为-sin(2x 4y).24例15求以下微分方程的通解.X2 为22 + 22yy =e xJ -2x.x令u =x2