221双曲线及其标准方程教学设计

1、2.2.1双曲线及其标准方程教学设计 黑河市第五中学 韩丽教学目标：1知识与技能目标：了解双曲线的定义，几何图形，标准方程；2过程与方法目标：类比椭圆的定义，标准方程，归纳双曲线的定义，标准方程，并注意两者的比较；3情感态度与价值观目标：通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生观察分析抽象的能力，体验解析思想，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣。教学重点：双曲线的定义及其标准方程。教学难点：双曲线标准方程的推导。教学方法：1.采用启发式教学，创设情境，引导学生发现问题，运用类比，归纳的数学方法解决问题，使学生由被动接受转向主动学习；2.通过类比椭圆的学习体系及运用的方法

2、，进而学习双曲线体系；3.适当的例题讲解，一方面巩固所学知识，另一方面培养自主思考解决问题能力。教学过程：一、情境导入：师：同学们，你们一定都拍过照片儿吧？生：拍过。师：那么，你们知道什么是磨皮吗？生：知道（不知道）。师：看来大部分同学都不知道，但你们一定听说过PS照片吧！生：嗯。师：其实，磨皮就是PS照片的一种方式,而在众多的磨皮技术中，双曲线磨皮能够使得人物脸部更加细腻，轮廓更加清晰。请同学们看大屏幕上的这组照片，这就是应用了双曲线磨皮法PS过的照片，是不是后者的肌肤看起来更加明艳动人了呢？师：其实无论是在我们未知的领域里，还是在我们熟悉的环境中，双曲线都无处不在。不信，（利用PPT展示）

3、你看大屏幕上的这些图片，我们是不是都能从中找到双曲线的影子呢？那么，今天就让我们一起来深入的研究这个早已环绕在我们周围，而我们却还浑然不知的的双曲线吧！（板书课题2.2.1双曲线及其标准方程）。二、学习目标：师：在学习新知之前，让我们首先来明确本节课的学习目标（屏幕显示），请同学们大声的朗读出来。我们的学习目标是：（生齐读）很好，那么就让我们带着以上学习目标，开始本节课的探索之旅吧！三、 课堂探究探究一：双曲线的定义1、动手实验师：课堂探究：我们知道，平面内与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么呢？让我们来一起做

4、个实验吧！师：（幻灯片演示）取一条拉链，将它拉开，在拉开的一边上取其端点，在另一边的中部位置取一点分别固定在纸上的两个定点F1和F2处，（注意F1F2的距离要比拉链两点的差要大），把笔尖搭在拉链头M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖所经过的点就画出一条曲线师：请同学们思考一下，在这个过程中有没有相等的量？哪些量相等？生：拉开的两边长始终相等。师：那么有没有不变的量呢？如果有，是什么？生：有，拉锁一边剩余的部分。师：很好，也就是图A中F2F的部分， 如果我将它的长度记为2a，你们能用一个式子来表示它吗？生：能，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a。师：你们太聪明了！也就是点M到点F1的距离减去到

5、点F2的距离的差等于常数2a，如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离的差等于同一个常数2a，就得到另一条曲线。这两条曲线合起来就叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。师：那么类比椭圆的定义，有哪位同学能来归纳一下双曲线的定义？生：（众说纷纭，可能准确，也可能不准确。有可能忽视的关键词有：平面内，绝对值，小于F1F2）师：非常好。通过刚才的探究，同学们基本归纳出了双曲线的定义。但大多都不够准确，那么双曲线的准确定义是什么呢？2、概括定义双曲线定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双

6、曲线的焦距。双曲线定义的符号表述：| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 0<2a< |F1F2|)3、剖析定义（1）定义中需要注意哪些问题呢？（2）在双曲线的定义中为什么要有条件2a<2c呢，如果去掉，那么点的轨迹还是双曲线吗？（以学生分析为主，如果确实有困难，教师再做如下指导）师:在刚才所做的双曲线上任取一点M,它与构成了三角形, |MF1|与|MF2|的差也就是三角形两边的差。生：（同学们欣喜的喊到:）三角形两边的差小于第三边，2a<2c.(若点刚好是双曲线与所在直线的焦点,没有构成三角形，同学们仍然很容易得到2a<2c.)师:当2a=2c时，动点

7、的轨迹是什么？还是双曲线吗?(同学们观察思考)师:动点可能在所在的直线之外吗? 生:不可能 师:那么它一定在所在的直线上,它的轨迹是什么呢?同学们细心地观察,兴奋地回答:以为端点的两条向外射线。师:当2a>2c时，动点有轨迹吗？(若动点在之间,到F1与F2的距离的差在变化,不是定值,并且的总长为2c,动点到F1与F2的距离的差的绝对值2a不可能大于2c.生:当2a>2c时，动点没有轨迹.师:若2a=0,则轨迹是什么？此时MF1与MF2是什么关系？生:相等。师：那么动点M的轨迹会是什么呢？生：（惊喜的发现）动点的轨迹应该是线段F1F2的垂直平分线。师：至此，我们对这美丽的双曲线有了更

8、加深入的了解。探究二：抛物线的标准方程1、启发引导，推导方程师：下面，根据双曲线的定义，我们来推导双曲线的标准方程，想一想，求曲线方程的一般步骤是什么？生：建系、设点；写出点满足的集合；列式；化简；验证（可省略）。师：很好，那么类比求椭圆标准方程的建系过程，你认为该如何选择坐标系，来求双曲线的标准方程呢？（先让学生思考，独立建立直角坐标系，教师巡视，归纳方法，并演示。）时间：2分钟，（分组讨论，集中探索）（1）、以F1、F2所在直线为X轴，以F1为原点建立平面直角坐标系；（2）、以F1、F2所在直线为X轴，以F2为原点建立平面直角坐标系；（3）、以F1、F2所在直线为X轴，以线段F1F2的中点

9、为原点建立平面直角坐标系。师：那么，到底应该选择哪一种方案呢？为了使我们求得的方程形式简单，同时体现数学美，我们选择第三种方案。接下来我们就用第三种方案来求双曲线的标准方程。（学生分组完成，两名学生板演）建系：以F1、F2所在直线为X轴，以线段F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系。设点：列式：化简：得 ，令（），得，即老师在投影仪上演示求双曲线标准方程的过程中，同学们在练习本上书写求双曲线标准方程的过程。提醒同学们需要注意（1）牢牢抓住双曲线定义列式；（2）在化简到 ，结合双曲线定义中2a<2c，则c2-a2是正数，与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比，可以令b2=c2-a2

10、 ，使化简后的标准方程美观简洁。2、双曲线的标准方程把方程（a>0,b>0）叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0)。其中。3、焦点在Y轴上双曲线的标准方程师：大家都知道椭圆的标准方程不止一个，那么双曲线的标准方程呢？师：一条双曲线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，那么，若双曲线的焦点在轴上，焦点坐标是，双曲线的方程又会是什么呢？生：思考并解决问题。师：由双曲线定义得：师：与焦点在轴的双曲线方程 比较，它们结构有什么异同点？生：结构相同，只是字母x，y交换了位置。师：求焦点在轴上的双曲线方程，只需把焦点在轴上的双曲线标

11、准方中，互换即可。得 师：非常好，利用求曲线方程的一般方法，我们可以求出他们的标准方程，那么我们可不可以由焦点在X轴双曲线的标准方程直接得出焦点在Y轴上双曲线的标准方程呢？师生互动：使用对称的方法，根据焦点在X轴双曲线的标准方程，推导出焦点在Y轴上双曲线的标准方程。师生互动：学生独立完成学案上的表格：师：我们根据双曲线的图形可以确定它们的焦点位置，那么我们如何根据双曲线的标准方程确定他的焦点位置呢？生：从方程的形式上可以看出，焦点在二次项系数为正的那条坐标轴上。师：观察很敏锐，分析很透彻，非常好。4、椭圆与双曲线的区别与联系师：在我们学习双曲线的过程中，同学们不难发现，它与椭圆有许多相似之处，

12、那么，就让我们通过填表（幻灯片显示）的方式，来看看它们到底有哪些区别和联系吧！哪位同学愿意试一试呢?师：很好！看来同学们对于双曲线的知识已经掌握的非常好了。接下来我们运用上述所学到的知识来解决问题吧!。四、典例分析例1求下列曲线的焦点坐标及a,b.（学生口答即可） 设计意图：让同学们熟悉双曲线标准方程的形式和特点，进一步理解双曲线标准方程的本质。注意：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。例2、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。（生讲解，师指导）变式训练：1.若|PF1|-|PF2|=6呢？2.若|PF1|-|PF2|=10呢？3.若|PF1|-|PF2|=12呢？题后反思：求标准方程要做到先定型，后定量。五、课堂练习：（学生独立完成，有困难可以求助同学或老师）1、a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是： 2、焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标 准方程是: 3、设双曲线 上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离是 .4、如果方程 表示双曲线，则m的取值范围是 _六、当堂检测（生独立完成）1.判