不动点的性质与应用(教师版)(共13页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上不动点的性质与应用一、不动点：对于函数，我们把方程的解称为函数的不动点，即与图像交点的横坐标.例1：求函数的不动点.解：有一个不动点为例2：求函数的不动点.解：有两个不动点二、稳定点：对于函数，我们把方程的解称为函数的稳定点，即与图像交点的横坐标.很显然，若为函数的不动点，则必为函数的稳定点.证明：因为，所以，故也是函数的稳定点.例3：求函数的稳定点.解：设，令，解得故函数有一个稳定点【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答：当然有例4：求函数的稳定点.解：令，则，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解必有因式可得另外两解，故函数的稳定点是、，其中是稳定点，但不是不

2、动点下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.图-1 图-2图-3 图-4由此可见，不动点是函数图像与直线的交点的横坐标，稳定点是函数图像与曲线图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）若函数有不动点，即，故也是函数的稳定点；若函数有稳定点，即，假设不是函数的不动点，即若f（x0）>x0，则 f（f（x0）>f（x0），即x0>f（x0）与f（x0）>x0矛盾，故不存在这种情况；若f（x0）<x0，则f（f（x0）<

3、f（x0），即x0<f（x0）与f（x0）<x0矛盾，故不存在这种情况；综上，f（x0）=x0x0是f（x）的不动点（2） 若函数无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；若函数无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；综上，若函数单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.例5、对于函数f(x)，我们把使得f(x)=x成立的x称为函数f(x)的不动点。把使得f(f(x)=x成立的x称为函数的f(x)的稳定点，函数f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A和B. 即A=x|f(x)=x,B=x|f(f(x)

4、=x，（1）请证明：AB；（2），且A=B，求实数a的取值范围.解：（1）证明：若时，若时，对任意的，有综上，得（2） 有解 （x2-a）2-a=x有解x4-2ax2-x+a2-a=0AB 即x4-2ax2-x+a2-a=0的左边有因式x2-x-a；(x2-x-a)(x2+x-a+1)=0；又A=B x2+x-a+1=0无实数根，或实数根是方程x2-x-a=0的根；若x2+x-a+1=0无实数根，则=1-4（-a+1）<0若x2+x-a+1=0有实根，且实根是方程x2-x-a=0的根；作差，得2x+1=0综上，a的取值范围为例6、已知函数，若存在，使得，则称为函数的不动点；若存在，使得，

5、则称为函数的稳定点，则下列结论中正确的是_(填上所有正确结论的序号).是函数的两个不动点；若为函数的不动点，则必为函数的稳定点；若为函数的稳定点，则必为函数的不动点；函数共有三个稳定点；的不动点与稳定点相同。考点：命题的真假判断与应用解：解得：故是函数有两个不动点，即正确；若为函数y=f(x)的不动点，则，此时，则必为函数y=f(x)的稳定点，故正确；若为函数y=f(x)的稳定点，则不一定为函数y=f(x)的不动点(见结论)，故错误；解，得x=或x=1或或即函数共有四个稳定点，故错误；因在定义域上为增函数，故它的不动点与稳定点相同。故答案为：例7、设函数.若方程f(f(x)=x有解,则a的取值

6、范围为( ) A. B. C. D.1,+)解：法二：设f(x)=t,t0,则方程f(f(x)=x等价为f(t)=x，即，t=x，即f(x)=x，在x0时有解，设则，故选：A.例8：已知，若在上单调（1）求的取值范围；（2）已知，若设，且满足，求证：解：（1）法一：令，则恒成立（2）（证法一）设，由得，于是有（1）（2）得：，化简可得，故，即有（证法二）假设，若f（x0）>x0，则 f（f（x0）>f（x0），即x0>f（x0）与f（x0）>x0矛盾，故不存在这种情况；若f（x0）<x0，则f（f（x0）<f（x0），即x0<f（x0）与f（x0）&l

7、t;x0矛盾，故不存在这种情况；综上，f（x0）=x0例9：已知，且方程无实根。现有四个命题方程也一定没有实数根；若，则不等式对一切成立；若，则必存在实数使不等式成立；若，则不等式对一切成立。其中真命题的个数是（ C ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个【提问】由以上例题我们还可以得到什么结论呢？【性质】1、 函数不动点构成的集合是不动点构成的集合的子集；2、 若函数在上单调递增，则不动点构成的集合与不动点构成的集合相等；3、若有唯一不动点，则也有唯一不动点；证明：4、若函数是自反函数，则在内任何实数均是的不动点；证明：5、若函数不动点构成的集合是非无限集，则不动点构成的集合的元素

8、个数与不动点构成的集合的元素个数同为偶数或同为奇数.证明：【课后练习】1、对于函数，若，则称为函数的不动点；若，则称为函数的稳定点. 如果的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、解：为函数的不动点，则方程，即有实根，；如果稳定点恰是它的不动点，则是方程的根，即，因为函数的稳定点恰是它的不动点，所以若方程无实根；若方程有实根，且实根是方程的根，作差，得2x+1=0综上：，故选D2、方程的根称为函数的不动点，若函数有唯一不动点，且，则2008.3、对于函数,若满足,则称为函数的一阶不动点,若满足,则称为函数的二阶不动点，（1）设f(x)=2x+3,求f(x)的二

9、阶不动点。（2）设,若f(x)在0,1上存在二阶不动点，求实数a的取值范围.考点：函数与方程的综合运用, 函数的值解：（1）若f(x)=2x+3,则ff(x)=2(2x+3)+3=4x+9，由ff(x)=x,得4x+9=x,解得x=3；（2）函数在R上单调递增，则由(2)可知,若f(x)在0,1上存在二阶不动点，则f(x)在0,1上也必存在一阶不动点；反之,若f(x)在0,1上存在一阶不动点,即，那么,故f(x)在0,1上也存在二阶不动点.所以函数f(x)在0,1上存在二阶不动点等价于f(x)=x在0,1上有解,即方程在0,1上有解，在0,1上有解 a的取值范围是e,1.  

10、;  4、 已知函数 ，设函数（1）求证:如果存在一个实数，满足 ，那么对一切都成立都成立；（2）若实数满足，则称为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间，对于任意，有，且时，. 试问是否存在区间,对于区间内任意实数，只要，都有.解析:(1)证明: 当 n =1时，显然成立；设 n = k 时，有成立，则，即 n = k +1时，命题成立.对一切都成立都成立（2） 由（1）知，稳定不动点，只需满足由，得或稳定不动点为0和 .（3）&#

11、160;f ( x )0，得或x1.或要使一切，都有，必须有或.由 x 0或 x 1由故对于区间( )和(1,+)内的任意实数 x ,只要，都有.【真题】（2012年北京东城一模文）对于函数f(x)，我们把使得f(x)=x成立的x成为函数f(x)的不动点，把使得f(f(x)=x成立的x成为函数的f(x)的稳定点，函数f(x)的不动点和稳定点构成集合分别记为A和B. 即A=x|f(x)=x,B=x|f(f(x)=x，(1)设函数f(x)=3x+4，求集合A和B；(2)求证：AB；(3)设函数，且A

12、=，求证：B=.考点：集合的包含关系判断及应用, 空集的定义、性质及运算、方程无解的证明解：(1)令f(x)=3x+4=x，解得x=2,故有A=2由于ff(x)=3(3x+4)+4=9x+16，令9x+16=x,得x=2,故有B=2(2)若A=，则AB显然成立；若A，设tA，则f(t)=t,f(f(t)=f(t)=t，tB，故AB.(3) 无解或时，则在上恒成立时，则在上恒成立综上，（上海中学2015学年第一学期高一期终考试）一、填空题/12、若实数满足，则称为函数的不动点，有下面三个命题：（1）若是二次函数，且没有不动点，则函数也没有不动点；（2）若是二次函数，则函数可能有4个不动点；（3）

13、若的不动点的个数是2，则的不动点的个数不可能是3.它们中所有真命题的序号是_（1）、（2）、（3）_.三、解答题/5、对定义在上的函数和常数，若恒成立，则称为函数的一个“凯森数对”.（1）若是的一个“凯森数对”，且，求；（2）已知函数与的定义域都为，问它们是否存在“凯森数对”？分别给出判断并说明理由；（3）若是的一个“凯森数对”，且当时，求在区间上的不动点个数（不动点的概念参考填空题第12题）.解：（1）（2）存在“凯森数对”不存在“凯森数对”（3）不动点个数为0（杨浦区2016学年度第一学期高一年级期中质量调研）21、（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分

14、4分，第（3）小题满分6分. 对于函数，称满足的为函数的“不动点”，称满足的为函数的“稳定点”.（1）求函数的“不动点”；（2）求函数的“稳定点”；（3）已知函数有无数个“稳定点”，若且， 求的取值范围（用表示）.解：（1）0、1（2）（3）或时，则时，则（2017年全国中学生数学能力竞赛高一年级组决赛）17、对于函数f(x)，若f(x)=x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x)=x，则称x为f(x)的“稳定点”。函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A=x|f(x)=x，B=x|f(f(x)=x.()求证：AB；()若，且，求实数a的取值范围.考点：集合的包含关系判断及应用, 集合的相等, 函数单调性的性质解：()若A=，则AB显然成立；若A，设tA，则f(t)=t，f(f(t)=f(t)=t，tB，故AB() 有解 有解AB 的左边有因式；又A=B 无实数根，或实数根是方程的根；若无实数根，则若有实根，且实根是方程的根得a的取值范围为【数列中的应用】1、求线性递推数列的通项：法四：不动点法构造等比数列