大学微积分l知识点总结材料一

1、标准文案大学微积分I知识点总结【第一局部】大学阶段准备知识1、不等式:a2 b2 _ 2ab大全 annaia2.an_3abc3a3 b3 c3 丄 3abc引申aia2.ai a2. an n .n21 _1-+ a b“不兰匕兰；士2 2双向不等式：a - b|兰a±b兰a + b两侧均在ab>0或ab<0时取等号扩展：假设有 y X2 «. *Xn,且 x1 x2 . x p p为常数那么y的最大值为：>飞nXi +X2 +. +Xn '!1n丿柯西不等式：设ai、a?、.a n,bi、b、. bn均是实数,那么有:aibi - a2b2

2、-. - anbn亠a? ' - . a tib 2 - b. bn 2 当且仅当,ai二,bj 为常数,i =i,2,3.n时取等号2、函数周期性和对称性的常用结论1、 假设 f (x+a)=±f (x+b),那么 f (x)具有周期性；假设 f (a+x)=± f ( b-x), 那么f (x)具有对称性.口诀：“内同表示周期性,内反表示对称性2、周期性(1) 假设 f (x+a) =f (b+x),贝U T=|b-a|(2) 假设 f (x+a) =-f (b+x),贝U T=2|b-a|(3) 假设 f (x+a) =± i/f (x),贝U T=

3、2a(4) 假设 f (x+a)=【i-f (x)】/【i+f (x )】,那么 T=2a(5) 假设 f (x+a)=【i+f (x)】/【i-f (x)】,那么 T=4a3、对称性(1) 假设 f (a+x) =f (b-x ),贝U f (x)的对称轴为 x= (a+b) /2(2) 假设 f (a+x) =-f (b-x) +c,那么 f (x)的图像关于(a+b) /2,c/2 )对称4、函数图象同时具备两种对称性,即两条对称轴,两个对称中央,一条对称轴 和一个对称中央,那么函数必定为周期函数,反之亦然.(1) 假设f (x)的图像有两条对称轴x=a和x=b,那么f (x)必定为周期

4、函数,其 中一个周期为2|b-a| .(2) 假设f (x)的图像有两个对称中央(a,0)和(b, 0),(a b),那么f (x) 必定为周期函数,其中一个周期为2|b-a| .(3) 假设f (x)的图像有一个对称轴x=a和一个对称中央(b,0),( a b), 那么f (x)必定为周期函数,其中一个周期为 4|b-a| .正弦sinf二-l余切coL =mn倒数关系：1余弦cos二ml正害U seC丄m正切 tan_：二m余害U esc,-ntan= cote商的关系：sin；：丄 一 sec.: tan_ =cosCSC:：平方关系：1csc.:cos.:s=cot；:=CSC-：se

5、c.:cos.:二1sec 2 - 2 .sin cos 1tan2A 二2tanA21-tan Acos3a =4cosa cos +a "cos -a !<31-tan2cosa 二1 tan2E j-tan*tan；： - tan:1 tan-taw和差化积公式：半角公式：2 sina = 1 1- cosa2 22 cos厲、1“-丨=一(1 +cosa),2丿2V丿丄 a' sina 1-cosatan 丨=2 ) 1+cosa sina'a、 sina 1+cosacot - i =2 ) 1 - cosa sina 三倍角公式：sin 3a=4s

6、in a *si n 二+a i!*si n 二-a I13 丿 13丿<3,兀 、tan3a = tana tan +a !tan a i <3丿万能公式：2tan? sina 二一J1 tan2a22tan -tana21-tan2 i!12丿两角和公式：sin r : =sin*cos cos *sin : sin ：-sincos： -cossin ：cos ：二 cos cos： -sin sin :cos ：- ： =coscos： sinsin : tan： tan:sin v sin=2sin冷cos2= 2cos 八 1 sinsin v - sincos： co

7、s =2cos1cos cos = - 2 sin- sintanA tanB =sin A B cosA *cosBtan A B1 -tanA *tan BtanA-tanB=!BcosAcosB 1 +tanA tanB积化和差公式:sin ： *sin:=-COS黒亠 P - COS很-:cos： *cos ： = bosi：二亠卩 i亠cosix - -2A sin ：cos ： = sin 焊 亠 P rsini* - - I2口诀：奇变偶不变,符号看象限 证实：acg bsinA2 biA M,其中怕制寻证：设acosA bsinA = x *sin A M'ab i二

8、acosA+bsinA =x cosA + sinA !ix22sinM =旦,cosMx由题,a b ' =1, 由题,x x ,x = a2 b2原式得证4、数学归纳法数学上证实与自然数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整 数有关的数学问题,在高中数学中常用来证实等式成立和数列通项公式成立.例如：前n个奇数的总和是n2,那么前n个偶数的总和是：n2+n最简单和最常见的数学归纳法证实方法是证实当n属于所有正整数时一个表达式成立,这种方法由下面两步组成： 递推的根底：证实当n=1时表达式成立 递推的依据：证实如果当n=m时成立,那么当n=m+1时同样成立(1) 第一数学归纳

9、法 证实当n取第一个值no时命题成立,no对于一般数列取值为0或1,但也 有特殊情况 假设n=k (k>no, k为自然数)时命题成立,证实当n=k+1时命题也成立(2) 第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题 P( n) 验证n=no时P(n)成立 假设no< nvk时P(n)成立,并在此根底上,推出 P(k+i)成立(3) 倒推归纳法 验证对于无穷多个自然数n命题P (n)成立 假设P(k+1)成立,并在此根底上,推出P(n)成立(4) 螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题 验证n=no时P(n)成立 假设P(k) (k>no)成立,能推出Q(k)成立,假设Q(“成立,

10、能推出P(k) 成立.5、初等函数的含义概念：初等函数是由幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常 数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生,并且能用一个解析式表 示的函数.【有理运算：加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【根本初等函数：对数函数、指数函数、幕函数、三角函数、反三角函数】6、二项式定理：即二项展开式,即(a+b) n的展开式a b n =CnoanCn1an-1. Cnkan-k *bk . - Cnnbn 其中Cnk称为二次项系数Cnkan-k *bk叫做二次项展开式的通 项,它是第k 1项,用Tk 1表示其中,Cnkn n -1. n - k -

11、1 丨 k-1=Cn(k-1 ! knn-k 17、高等数学中代换法运用技巧 倒代换把原式中的一个变元或原式中的一局部用另一个变元的倒数来代替,此种方法被称为“倒代换法 增量代换假设题目中x>m,那么引入辅助元x=m+a(a>O),再将辅助元代入题中解题. 此种代换方法称为“增量代换法 三角代换2 2 2 2 2 2x a、a x、x a 双代换xnlim -:引入两个辅助元进行代换n >- yn8其他一些知识点(1) 0不是正数,不是负数.是自然数.0是偶数,偶数分为：正偶数、负偶数和0(2) 正偶数称为“双数(3) 正常数：常数中的正数(4) 质数：又称“素数.一个大于1

12、的自然数,如果除了 1和它自身以外,不能被其他自然数整除的数,否那么称为“合数.最小的质(素)数是2.1既不是素数,也不是合数.(5) exp：高等数学中,以自然对数e为底的指数函数(6) 在数学符号中,sup表示上界；inf表示下界(7) 三：表示恒等于(8) 0的阶乘是1.阶乘是一个递推定义,递推公式为：n! =n (n-1 )!由于1 的阶乘为1,即1! =1 X 0!,故0! =1【第二局部】函数与极限常用结论(等价无穷小很重要)1 x n -1 nx1 11 x n -1 xnex -1 xex -1 x x v1时成立1-x旦汨nmx1 xv 1-,nr 1、1 + 丨 t e 其

13、中,I n丿e 2.718,e为初等函数,又称“幕指函数,e即根据此公式得到,11n12 22 . nnn 1 2n 16_2,3 斥3 n n 112 - . - n :1 22丄丄 ns 二 a a . an 1a -a s 二a-1a - bn = a - b aC-1+an-2 b + . +bn-11 1 _ m u m a - ba - bm-1|m-2.a +a *b+.+bm-1|假设 lim u x 二 a>0,lim v x 二 b a、b为常数X0x 必0,那么 lim ux $x=ab1 f x 匕 L e一些重要数列的极限:In 1 x > xxe -1

14、> xax-1r xlnaarcsinx； xarcta nx；另一些重要的数列极限:1 厂 ok >o|imqn =0 q v1 为常数町二心1nnnr0a为常数lim 需=1n匸xr 0时,sinx r xtanx > x1-cosx >列举一些趋向于o的函数: q V1, q" t 0 a>0, b>0,a > 0(n-c)n a>1,二 > 0n 丄?0Inn柯西极限存在准那么：柯西极限存在准那么又叫柯西收敛原理.给出了极限收敛的充分必要条件是： 对于任意给定的正数£,存在这样的正整数N,使得当m> N,

15、n> N时就有|x n-x T <£.这个准那么的几何意义表示,数列X收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近.夹逼定理的两个条件： 左右极限存在； 左右极限相等【极限计算的技巧总结(不包含教材介绍的方法以及公式)：(1) 洛比达法那么设函数f(x )和F(x )满足以下条件： x a 时,lim f(x)=0, lim F(x)=0; 在点a的某去心邻域内f(x )与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; x a时,lim (f(x)/F'(x)存在或为无穷大那么 x a 时,lim (f(x)/F(x)= lim (f(x)/F'

16、(x)(2) 等价无穷小一般要将变量的取值变为趋向于0的代数式,如x%,令t=1/x无穷小的概念： 高阶无穷小：当lim A=0时,如果lim (B/A)=0,就说B是比A高阶的无穷小 低阶无穷小：当lim A=0时,如果lim (B/A)=,就说B是比A低阶的无穷小 如果lim ( B/A)=K (Km0,1 ),就说B是A的同阶非等价无穷小 等价无穷小：lim (B/A) =1,就说B为A的等价无穷小(3) 斯托尔茨定理设数列yn单调增加到无穷大,那么lim Xn .lim XnmnJ.yn一y. - y.(4) .f(x)是连续函数：lim f!g(x9=f |lim g(x=aX3x(

17、)x0(5) 求两个数列之商的极限,在两数列都具有高次项的情况下,可以直接比拟 最高次项而忽略较低次项,该原理仅仅限于无穷数列,对于有穷数列不能直取.(6) 分母趋近于0,而分子不为0,其极限不存在或无穷设lim Xn二A,对()两侧求极限可 知lim Xn二c lim xn n ,n :n 匸所以,A 二 C A, A = 1" 4C2(8) 在计算极限题目中,假设题目中同时出现sinx、arcsinx、或者cosx、arcsosx 时,令 t= sinx或cosx(9) 在求极限的过程中如果遇到 n次项等高次项而无法解题时,一般可以通过 借助ex进行消去高次项的运算,有的也可以使

18、用泰勒公式.(10) 计算极限时出现出现tan(tanx)或者sin(sin x)的形式,应用泰勒公式计算.假设 lim an = a,贝Ulim aa2 +.aan护n护n假设an>0, n= 1,2,3,.,lim=a,那么liman =anc an_Jpc*(11) 三个重要的结果(12)有的题目涉及递推公式、数列问题S =+2n 一3如：Sn 22223 2n解题思路：2Sn - Sn函数的连续性和间断点问题(1) 如何讨论并确定函数的连续性？ 假设该函数是初等函数,那么该函数在其定义域区间均连续 假设是一元函数,那么可对其求导,其导数在某点上有意义那么函数在该点必然连续 (可导

19、必连续) 求助极限,函数在该点极限等于函数在该点函数值,计算时注意左右极限(2) 间断点问题 间断点的分类： 假设lim f(x) =A,而f (x)在x =x0处没有定义或者有定义 但f(x)北A,那么称为f(x)的xYo可去间断点.假设x=x()为函数f(x)的可去间断点,只需补 充定义或改变f(x)在X = x0 的函数值,使f (x)在x x处连续,此时f(x)已经不是原函数. 假设 lim f (x)二 f (x0 ), lim f(x)二 f(x0_).但f(x0 )=f(x0 ),那么称x 二 x0为函数f (x)x0 .人-的跳跃间断点,f(x0+) f(x0"称为跳

20、跃度可去间断点和跳跃间断 点统称第一类间断点.第一类间断点的特点是 左右极限均存在 假设f (x)在X =x()的左右极限至少有一个 不存在时,X = x0称为函数f (x)的第二类间 断点如果函数f(x)在区间a,b上仅有有限个第一类间 断点,贝U函数f(x)在区间la,b上按段连续(3) 致连续与不一致连续一致连续(均匀连续)：设函数f(x)定义在集合x上,假设- ；>0( ；)> 0当 x'、xx且满足x'-x"v6时,就有f(x')-f(x)v ®那么称f (x)在x上一致连续.定义说明,无论X中的两点x'和x'&

21、#39;位置怎样,只要二者充 分靠近,相应函数值差的绝对值就可以任意地 小.不一致连续：设函数f(x)定义在集合x上,存在；0>0,无论对多么小的:>0,总存在x'、x'',尽管 x'xv6,但是 f (x') - f (x'')启 l-lim f(x)二 Alim f (x) = A 充要条件x jxgX)x0lim f (x) = AX % _【第三局部】导数与微分法线斜率和切线斜率相乘等于-1 (切线与法线垂直)比 u2 . Un ' = u, U2'Un 'Ui U2 Un '二 Ui&

22、#39;U2.Un Ui U2.Un Ui U2.Un反函数求导：反函数导数X原函数导数=1或写成:dydxdxdy"常见的函数的导数(根底函数求导)：(c) = 0(c为常数)仪°)=口 xa_1ax '二 ax lna标准文案xx(e )=eln|xx2 2tan x ' = 1 tan x 二 sec x1x Inasinx '二 cosx2cotx '二-csc xsecx '二 secx tanxcscx '二-cscx cotxarcsinex '=1(arccosx )= - . 1 2v'1 -

23、 x2arcta nx'=11 x2arccotx '=-11 x2特殊复合函数:y二uxv(x)的求导方法：1Inx ':cosx '二-sinxt 转化 t y =e"f N)t y' = u" v Inu +竺I u丿y=f (x)亦称为“零阶导数(函数的零阶导数就是其本身) 隐函数：F (x,y)=0,y=f (x)带入即可得到F【x,f (x)】=0,满足该恒等 式即为隐函数 国际数学通用标记：c a、b丨-f x f x是a、b上的连续函数*Da、b I - f x f x 在 a、b 上可导 /c2 a、b i - f

24、x f x的二阶导数在a b的区间上连续D2a、Jjfxfx在a、b内二次可导匚易错点：求导时,不能将y与f (x)等同.二者导数未必一致【带有绝对值的函数该如何求导？】带有绝对值的函数脱掉绝对值符号后是一个分段函数,应当分段求导.特别应注 意的是,分段点的导数严格来讲,应当按定义来求.【经典题型总结】(1)设函数f( x)在x工0时可导,且对任何非零数x ,y均有f(x y)=f(x)+f(y),又f(1)存在.证实当xm0时,f(x)可导.证：令 x=1,由 f(x - y)=f(x)+f(y)得：f(y)=f(1)+f(y) ,所以：f(1)=0对任何x丰0,由题设及导数定义知,f(X

25、X)- f (x)f(x) f(1-f(x)-x1f(1 x)- f (1)moX1_ f'(1) xx所以函数在fx不等于0的时候处处可导(2)在方程x2 d-ydxdydy ai xai xdxdxa?y= 0a,a2为常数中令1x = e证实可将方程化成如下的形式:绪佝-1)巴a2“0dt2dt证空dtF:_l d2ye ;2 =dy'dtT=dy'1T Z=生eedxdtdxdtdx2dtdxdtdxIdt丿dt=(d?edy丄d2ye；2 e_ dy_2t edt2dtdt2dt2t d y _2tdy _2tt dy 原式=e (2ee ) a1e ea2y

26、 = 0dx2dxdx所以：(a1)a2y = 0dt2dt(3)化简：2dx (dy 丿dx解：原式二ddx Rdy 丿g dx ' dy dy | *dy dx高阶导数：1高阶导数的运算法那么 U +v y= un+vn cu n =c u n其中c为常数 uv n =Cn0UnV0 Cn1un-1v1 .Cnnu0vn 八°k=02【浅谈高阶导数的求法】高阶导数求法一般包括6种方法,即根据高阶导数定义求之；利用高阶导数 公式求之；利用莱布尼茨公式求之；用复合函数的求导法那么求之；用泰 勒公式求之；交叉法,等等. 定义法：运用求导公式,求导法那么求导,n阶导数一般比拟其规

27、律性 高阶求导公式：把高阶求导公式化为代函数之和,分别求之 莱布尼茨公式求导：当所求导数的函数是两个函数的乘积时, 宜用莱布尼茨公 式求之.特别地,当其中一个函数的高阶导数为 0,可以用此公式求之；两个因 子中,其中有一个函数的各阶导数有明显的规律性时,可以用此公式 . 复合函数求导法：复合函数求导法那么还可以推广到屡次复合的情形. 在求导时, 能从外层向内层逐层求导,一直求到对自变量求导数为止.假设存在单值反函数,常用复合函数求导法那么,求其反函数的高阶导数.【名词释义】单值反函数：假设对定义域每一个自变量x,其对应的函数值f x 是唯一的,那么称f X是单值函数.反过来,对于任何一个函数值

28、 y,都有唯一 的一个自变量x与之相对应,那么此时称y=f x为单值反函数. 泰勒公式求导法fx=x'si nx,利用泰勒公式求f&to6 8 104 x x x 解: f x =x -.357.f =-,f 6 0 A-1206！3证实题： 证实一函数隐函数处处可导：那么应先根据题意找出几个关键的点,然后根 据导数的根本公式：lim fx仏x-fx进行判定 xT x 证实 f x =a,即证 F x =f x -a=03局部初等函数的高阶导数 仪邛=x°n o盘-1 丄-n-1卩 ax=ax ina $ex n =exin 严 *=-1 n-1 <n-1 ！旳

29、+xn inx n = -1 n-1 n-1! x-nsinx 申= sisin x + ncosx f= cos x 线性复合公式：f ax +b =an fn tax + b 一阶导数：切线斜率 -二阶导数：曲线曲率关于曲线凹凸性的两个定理及应用 设 a< x1< x2v bi假设fx的图形在 a,b止是凸的,贝u f'xj> fx2-fxi>X2 假设fx的图形在a,b止是凹的,贝u f'xj< fx2 fxi<【经典题型总结】i设X=f' ( t)fY=t- f' (t) -f (t)t存在且f ''

30、t工0,求d3dx大全解答：ttf'' t.dy f' t t f'' t -f' t dx 一f'' t1色d2ydt dx2 _ t '1dx2 _ dx _ f't 厂 f'' tdtd3y dt(dx2 丿 f'(t)_f“'(t)dx3 _ dx _ f' t ' _ f“ t 3dt2函数的二阶导数等于原函数,求该函数表达式解：设 y| = p, y'' = y,dp dp dydpdp,yp p y =ydx dy dxdydyp dp

31、二 y dy展开： p 1 y2 a是任意常数2 2 2那么 p = . y2 a, 即卩翌=.y2 adxdydx,即 i-：-;y2 - aIn y y2 a L tx Inb 其中b是任意常数通解为：y ：*'y y . y2 a = bex,可得y y . y2e-x,可得yx-x_ b e a e2 2bxxbe a e-22b令,2亦可写为:其中,c2 旦,得通解：2by =sshx c2chx-xc2e双曲正弦双曲正切x -xshx =乞2,双曲余弦2x -xe - e-xethx 二 xe、g x,双曲余切X | -xchx= j-2x -xe +e cthx x h

32、e -e3f x0=0； g 0=1.证：由上可知,设f x= &ex都可导,且满足： f x=g' X、f ' x=g x2 2证实：g x-f x=1x=f x C2e-x其中Ci、C2为任意常数dy 2= . t dx -y2 af O AO,. c1 c2 =0, f -c1ex - c1e-x 又 f'0 =1,. f x 二丄ex-e-x2 211同理,g x 二 _ ex _e-x22g2x-f2x =1【微分：】自变量的改变量等于自变量的微分导数又称“微商.dx = xdy = A x = A dx = f' x dxdy =f x dx

33、微分四那么运算：设u=u (x)、v=v (X)在点x处均可微,那么u± v、uX v、u/v (vM0)在x处都 可微,且：(1) d u 士v =du 士dv(2) duv 二 v du u dvv du -u dv2v特别地,d c u = c du c是常数 v"特别地,d 1 -卑v = 0 lv丿v截距的性质：截距不是距离,所以截距是有正负的证实 y''二f'x : y''二 y''二 二dx dx拐点：在数学上,拐点是指改变曲线向上或者向下方向的点.直观地说,拐点是 使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点

34、).假设该曲线的图形函数在拐点有二 阶导数,那么二阶导数必为零或者不存在驻点：函数的导数为0的点称为函数的驻点可导、可微、连续、极限之间的关系？可导 <=> 可微可导(可微)=> 连续=> 极限存在 <=> 左极限、右极限都存在且相等(箭头反方向的话不一定成立)可导=> 左导数、右导数都存在且相等连续=> 左连续且右连续+极限值等于函数值连续 <=> 极限存在且等于函数值极限存在 <=> 左极限、右极限都存在且相等在某点处(左、右)极限是否存在与该点处函数是否有定义无关【第四局部】微分中值定理及导数的应用(1) 费马定理设

35、f ( x)在点xo处取到极值,且f'( Xo)存在,贝U f (xo) =0.(2) 罗尔定理如果函数f(x)满足：在闭区间a,b上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间 端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点E (a< E <b), 使得 f( E )=0.(3) 拉格朗日中值定理如果函数f(x) 满足：(1)闭区间a,b上连续(2)开区间(a,b)内可导.那 么：在(a,b)内至少有一点 E (a< E <b),使等式 f(b)-f(a)=f' ( E )(b-a) 成立.(4) 柯西中值定理如果函数f(x)及F(x

36、)满足：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)标准文案内可导；(3)对任一 x (a,b) , F'(x)丰0.那么在(a,b)内至少有一点E,使 等式f(b)-f(a)/F(b)-F(a)=f(E )/F'( E )成立.(5) 泰勒公式与麦克劳林公式泰勒公式：假设函数f(x)在开区间(a , b)有直到n+1阶的导数,那么当函数在此区 间内时,可以展开为一个关于(x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f'(x.)/2! (x-x.)A2,+f"'(x.)/3! (x-x.)A3+f(n )(x.

37、)/n! (x-x.)A n+Rn其中Rn=f(n+1)( E )/(n+1)! (x-x.)a(n+1), 这里E在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.麦克劳林公式：假设函数f(x)在开区间(a , b)有直到n+1阶的导数,那么当函数在 此区间内时,可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f(0)x+f'(0)/2!*2,+严'(0)/3!W3+f(n )(0)/n!W n+Rn其中 Rn=f(n+1)( 9 x)/(n+1)! xA(n+1),这里 0< 9 <1.两个重要且特殊的麦克劳林公式：nx Rn-123=(1 +x )=1

38、-x +x -x 十+(-11 x = (1-x$ =1+x+x2 +.+xn +Rn1-x(6 )函数的单调区间与极值单调区间：设f (x)在区间I (I可以是开区间,可以是闭区间,也可以是半开半闭区间) 上连续,在区间I内部可导 假设x I内部,f'( x )> 0,那么f (x)在区间I上递增 假设x I内部,f '(x)< 0,那么f (x)在区间I上递减 假设x I内部,f'( x )三0,那么f (x)在区间I上是一个常值函数 极限与极值：判定极限的方法：f'(x) =0, f''( X)工 0,那么 f (x) 定是极限

39、 f'(x) =0, f' '( x)v 0,那么 f (x)取极大值 f'(x) =0, f' '( x)> 0,那么 f (x)取极小值【误点解析】：使用洛必达法那么之后极限不存在,不能直接说原极限不存在双阶乘： 不动点：f ( x ) f ( x )f'( x)f''( x )相隔的两个数相乘：如5! =5X 3X1 g (t厂gg=gg=t的点叫做不动点(x)-(x)'(xI ' '( x)( X)在Xo处n阶相切)满足此条件,即可证实f(n)(x) = g(n)(x )、大全曲率:标

40、准文案大全(1)曲率公式为:y'32 -1 y' 2*y'1 y'2(2)曲率的中央坐标为:y''21 +y'2 .y''31(i 十 y'2 2(3)曲率半径R = =, y, Zk|y''|(4)圆的各个位置的曲率是相同的,都是半径的倒数反函数：如果函数的导数不为0,那么该函数在定义域区间上有反函数【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法一】辅助函数是解决许多数学问题的有效工具,中值定理及推导过程中用到了演 绎、分析分类等数理逻辑方法和一些具体的方法.如构造辅助函数等等,下面就 介绍几种重要的

41、构造辅助函数的方法.(1) 凑导数法例如：设函数f ( x)在【a、b】上连续,在(a、b)内可导,证实：(a、b),使得 2 El f (b) -f ( a)】=(b2-a2)证实：令 F ( x) =x2【f (b) -f ( a)】-(b2-a2)(2) 几何直观法例如：如果f (x)在【0、1】上可导,且0< f (x)都有f' f'(E)-f (x)即可V 1,对于任何x (x)工1,试证在(0,1 )有且仅有一点E,使得f (E)丸存在(0,1 )证：令 g (x) =f (x) -x再用反证法证实其唯一性(3) 常数值法(K)在构造函数时,假设表达式关于端点

42、处的函数值具有对称性,通常用常数值法来构造辅助函数.这种方法一般选取所政等式中含E的局部作为K,即将常移项数局部别离出来令其得 K,恒等式变形,令一端为 a与f (a)的代数式,另一 端为b与f (b )的代数式,将所证等式中的端点值(a或b)改为变量x, 即为辅助函数F (X).再用中值定理,待定系数法等方法确定K.一般来说,当问题涉及到高阶导数时,往往考虑屡次运用中值定理,更多时要考虑运用泰 勒公式.例如：设f (x)在【a、b】上连续,在(a、b)上可导.0v av b.试证实存在一点(a、b),使等式 f (b)-f (a) ln af'()证:令K _f (b)-f (a),

43、f (b) - K 4n b = f (a) - K 4na In b Tn a令b二x,得辅助函数：F (x)f (x)-K InxF'( ) 0, f'( ) K,所以 K 一 f'().故得证(4) 倒推法这种证实方法从要证的结论出发,借助与逻辑关系导出的条件和结论.例如：设f (x)在【a、b】(Ov av b)上连续,在(a, b)内可导,且f(E)f (a)b, f (b) = a.证实：在(a, b)内至少存在一点 ,使f'(、二证：构造函数：f '(E)E +f (E) =0即可(5) 乘积因子法对于某些要证实的结论,往往出现函数的导数与

44、函数之间关系的证实.直 接构造函数往往比拟困难,将所证的结论两端同时乘以或除以一个恒为正或负 的函数,证实的结论往往不受影响.e'x(,是常数)是一个很好的因子例如：假设f (x)在【a、b】上连续,在(a、b)内可导,且f (a) =f (b)=0证实：'-(a,b),使 f'( ) f ()证：结论两侧同时乘以 e-'x,然后令F (x) e-'xf'(x)-e-a f (x)(6) 介值法证实中,弓I入辅助函数g ( x) =f (x) - n,x.将原问题转化为【a、b 内可导函数g (x)的最大值或最小值至少有1个必在内点到达,从而可通

45、过 g (x)在【a,b上的可导条件,直接运用费马定理完成证实.例如：证实假设f (x)在【a,b上可导,那么f (x)可取到f (a)与f (b) 之间的一切值证实：- f'(a),f '(b),令g ( x)f ( x)- x由f ( x)的性质,g ( x)在A b上可导,且g'(x)= f '(x)J由的性质,有g'(a)穏(b)vo.不妨设g'(a)>0,即 lim g ( x) -g ( a) >0 xFx -a由极限性质知, S>0.使得当x US1 (a)时,g ( x)>g ( a)即g ( a)不是g

46、( x)(x ( a,b)的最大值.同理,g (b)也不是所以一定存在一点x0,使得f '(x0) ： 0. f '(x0) n：.得证(7) 别离变量法拉格朗日与柯西中值定理常用来解决多个中值的问题.以两个中值的情况 为例说明如下：假设要证实存在E、n ( a,b),使得f ( a,b,E,n) =0.那么通常应将 函数f ( a, b, E, n) =0改写成“变量别离的形式,即h ( a, b) = 5 ( E) n)或者 h ( a, b) = 5 ( E) + 5 (n)的形式,然后观察5 (E)、S ( n) 是否分别拉格朗日公式的右侧.例如：设 g (x)>

47、0, g'(x) = 0.( a 乞 x 乞 b),那么存在'-(a, b)g(b)使得：g'( )f (b) 一 f (a) l- g( )1 ng(a)证实：将待证实结论转 变为:f (b)-f(a) =!U,令g(x)jng(x)-g(b) g'O I1G'(x)=g'(x),对f (x)和g(x)应用拉格朗日定理得：一】三(a, b)g(x)使 f(b)-f(a) b a= f'(),即In g(b)-l ng(a)ba1gT5g'()f(b)-f(a)又 _ f'()Ing(b)-lng(a)_g'( )

48、 g() b -a故得证【例谈微分中值定理辅助函数的构造模式与方法二】(1) 使用罗尔定理时用“积分法或“解微分方程法构造辅助函数.使用“积分法构造辅助函数的根本步骤：将结论等式中的E换成x :对第一步的结果进行变形,使两边求积分；两边求不定积分；把第三步的结果化成C=F(x)的形式,其中C为任意常数,且f (x)中不含有C;最后的F(x) 就是所要构造的辅助函数.例如：设f (x )在la, b上连续,在la, b内可导,其中a>1,且f'(a)=0b -t证实在(a,b)内至少存在一点,使f()= f'()a分析：将结论等式中f(f'()的都换成X,得到f(x

49、)二口 f'(x)aa、a f' (x)再变形为,两边积分得：-aln(b-x)Tn c = In f (x)b-x f (x).c =(b-x)a f (x),求得辅助函数为： F(x) =(b-x)a f(x) 证：设F(x) =(b -x)a f(x),由于F (x)在a,b上连续,在(a,b)内可导, 且F(a)=0=F(b),所以由罗尔定理知,存 在：；：=(a,b),使得F)=0 所以：F'( ) a (b -)a f ( ) ( )a f'( )0b巴所以：f)二匚f'()a(2) 使用拉格朗日定理用“单边积分法构造辅助函数.所谓的单边积分 法就是： 假设所要证实的等式中只含有E,就是把有E的函数式与常数