第六章 梁的应力

1、1第六章第六章 梁的应力梁的应力学习要求：学习要求： 了解主应力的概念及强度理论；了解主应力的概念及强度理论； 掌握梁正应力及切应力的计算及其强度条件；掌握梁正应力及切应力的计算及其强度条件； 理解主应力迹线的概念。理解主应力迹线的概念。 26.1 6.1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力6.2 6.2 惯性矩的计算惯性矩的计算 6.36.3 弯曲正应力的强度计弯曲正应力的强度计算算6.4 6.4 弯曲切应力及弯曲切应力及其强度计算其强度计算6.5 6.5 提高梁的强度的主要措施提高梁的强度的主要措施第六章第六章 梁的应力梁的应力3平面弯曲平面弯曲纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲内力只有弯矩内

2、力只有弯矩内力有弯矩和剪力内力有弯矩和剪力B20kN20kNA1m1mD20kN20kN1mCABDC20202020Q图图( (kNkN) )ABDC2020M图图( (kNkNm m) )CDCD段段CACA、DBDB段段6.1 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力 4假定：假定：a.平面假设平面假设：变形前横截面是平面，变形后仍是平面，：变形前横截面是平面，变形后仍是平面， 只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。只是转过一个角度，仍垂直于变形后梁的轴线。 b.中性层假设：中性层假设： 梁内存在一个纵向层，梁内存在一个纵向层，在变形时，该层的纵向在变形时，该层的纵向纤维即不伸长也不缩短

3、，纤维即不伸长也不缩短，称为称为中性轴中性轴。 纯弯曲梁和横截面上的正应力纯弯曲梁和横截面上的正应力5zydAM力矩平衡力矩平衡yIMz M：横截面上的弯矩：横截面上的弯矩y：所求正应力点处到中性轴的距离：所求正应力点处到中性轴的距离Iz：截面对中性轴的惯性矩：截面对中性轴的惯性矩z6 等截面梁内的最大应力发生在弯矩最大的截面，等截面梁内的最大应力发生在弯矩最大的截面，且是距中性层最远的地方。且是距中性层最远的地方。 有拉应力和压应力有拉应力和压应力zzWMyIMmaxmaxmaxmax宽宽b、高高h的矩形的矩形261bhWz直径为直径为D的圆截面的圆截面323DWz轧制型钢（工字钢、槽钢等）

4、的轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得从型钢表中查得7一一.惯性矩：惯性矩：2zAIy dAzydAzyr rO为图形对为图形对z轴的轴的惯性矩惯性矩6.2 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式dyb/2b/2zyyh/2h/2CdA3/222/2d( d )12hzAhbhIyAy by（1）矩形截面）矩形截面（2）圆截面）圆截面464zdI8二、平行移轴公式二、平行移轴公式注意注意： zC轴是形心轴轴是形心轴nii 1zzII三、组合图形的惯性矩：三、组合图形的惯性矩：OzyCdAzCyCabyzzCyC2zAIy dA A2CC2A2CdA)yay2

5、a(dA)ya( A2CACA2dAydAya2dAa2CzzIIa A20CCCzAAAdAAy dAy dAI，9 例例9-1 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用作用。试计算截面。试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 解解： 1确定截面形心位置确定截面形心位置 选参考坐标系选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为如图示，将截面分解为I和和II两部分，形两部分，形心心C的纵坐标为的纵坐标为: m045. 012. 002. 002. 012. 006. 002. 012. 002. 001. 00

6、2. 012. 0cy2012020120单位：单位：mmIIIzzyCcyFmm400BB103 计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正应力 截面截面BB的弯矩为的弯矩为:mN60004 . 0 FMB 在截面在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：压应力，其值分别为：MPa5 .64Pa1045. 61084. 8045. 002. 012. 06000MPa5 .30Pa1005. 31084. 8045. 0600076-max,76-max,cl46231m1002. 301. 0045. 002. 012. 012)02

7、. 0(12. 0zI2计算截面惯性矩计算截面惯性矩46232m1082. 5045. 008. 012. 002. 012)12. 0(02. 0zI4-6-66m108.84105.081002. 3zI2012020120单位：单位：mmIIIzzyCcy0.045mcy 11 1 1强度校核强度校核6.3 6.3 弯曲正应力的强度计算弯曲正应力的强度计算 maxmaxzMW maxmaxzMW 2 2截面设计截面设计 maxMW 3. 3. 计算容许荷载计算容许荷载 maxzMW12例例1：图示矩形梁，材料的：图示矩形梁，材料的=170MPa，试对该梁作强，试对该梁作强度校核。度校核。

8、2kN2kNA2mB1m5kN5kNC2020z20单位：单位：mm13解：解：2kN2kNA2mB1m5kN5kNC(1) (1) 绘内力图绘内力图AB和和BC段，斜直线段，斜直线ABCM图图( (kNkNm m) )MB=0 kNm24弯矩图弯矩图:MC=21=2 kNmMA=2352=-4 kNm014mkNM 4max(2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量33210335402061mm.Wz2020z20261bhWz(3)(3)强度校核强度校核MPaWMz7501033. 510436maxmax MPa170不安全不安全15(3)(3)讨论讨论MPa750max MPa

9、170bh=20mm=20mm40mm40mm时时bh=20mm=20mm100mm100mm时时342103331002061mm.WzMPaWMz1201033. 310446maxmax MPa17016弯矩弯矩 产生产生 正应力正应力剪力剪力 产生产生 切应力切应力横力弯曲梁的横截面上横力弯曲梁的横截面上6.4 6.4 梁内切应力、强度条件梁内切应力、强度条件研究对象研究对象(1) (1) 矩形梁截面矩形梁截面(2) (2) 工字形梁截面工字形梁截面(3) (3) 圆形梁截面圆形梁截面17(1) (1) 矩形梁截面的切应力矩形梁截面的切应力(1) (1) 截面上各点切应力截面上各点切应

10、力 方向与方向与Q方向一致方向一致假定：假定：(2) (2) 切应力沿截面宽度切应力沿截面宽度 方向均匀分布。方向均匀分布。18zyaaybA*h/2h/2bIQSyzz*)(切应力计算式切应力计算式Q ：横截面上剪力：横截面上剪力 b：计算点处横截面宽度：计算点处横截面宽度Iz:整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩S* *z：面积矩：面积矩19zyaaybA*h/2 在切割线以外的一块被切割在切割线以外的一块被切割面积面积A* *对中性轴的面积矩，不必对中性轴的面积矩，不必考虑带负号考虑带负号h/2)4(2)2(21)2(22*yhbyhbyhyASczS* *z：面积矩：面

11、积矩20zyaaybA*h/2h/2bIQSyzz*)(切应力计算式切应力计算式312zbhI )4(222*yhbSz224123)(hybhQy21224123)(hybhQy(1)(1)沿高度方向抛物线分布沿高度方向抛物线分布 (2)(2)梁上下表面处梁上下表面处切应力切应力为零为零结论结论: : (3)(3)y=0=0时，时，切应力切应力值最大值最大max32QA22(2) (2) 工字型截面梁的切应力工字型截面梁的切应力主要考虑工字型截面梁主要考虑工字型截面梁腹板上的切应力计算。腹板上的切应力计算。 *zzQSI d 切应力计算式切应力计算式d : :腹板宽度腹板宽度 A* 23(1

12、)(1)沿腹板高度方向抛物线分布沿腹板高度方向抛物线分布 (2)(2)腹板上下边处腹板上下边处切应力切应力最小最小结论结论: : (3)(3)y=0=0时，时，切应力切应力值最大值最大*zzQSI d 24(3) (3) 圆形截面梁的切应力圆形截面梁的切应力实心圆截面：实心圆截面：最大切应力在中性轴上最大切应力在中性轴上max43QA 空心圆环：空心圆环：zmax2QA maxmax25例例1 1 图示矩形梁，求图示矩形梁，求C C左左截面上截面上a、b、c三点处的切应力三点处的切应力20kN20kNA2mB1m35kN35kNC150150z150单位：单位：mmmmacb80分析：分析：(

13、1)(1)确定指定截面上的剪力确定指定截面上的剪力bIQSzz*(2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量2620kN20kNA2mB1m35kN35kNC(1)(1)确定指定截面上的剪力绘剪力图法确定指定截面上的剪力绘剪力图法ABAC和和BC段，水平线段，水平线Q图图( (kNkN) )QB=- -20kN20kN20kNA35kN35kNQAQA=35- -20=15kN2015C27(2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量150150z150单位：单位：mmmmacb803841150 3003 38 1012zI.mm*zcSA y123bhIz3*00mmASiza36

14、*1021. 12801508015080150mmSzbC C点直接用切应力计算公式点直接用切应力计算公式28(3) (3) 计算切应力计算切应力QC左左=15kNbIQSzz*4810383mm.Iz0a150150z150acb80MPaAQc33. 030015010155 . 15 . 13MPabIQSzzb36. 01501038. 31021. 11015863*3610211mm.S*zb29例例2 2 图示梁。求梁的最大正应力、最大切应力图示梁。求梁的最大正应力、最大切应力(1)(1)采用矩形截面采用矩形截面 bh=200mm=200mm500mm500mm(2)(2)采用

15、圆形截面采用圆形截面 D=400mm=400mm(3)(3)采用采用I56a56a型钢型钢150kN150kNA5mB5mC30分析：分析：(1)绘制梁的内力绘制梁的内力确定确定Mmax和和QmaxbISQzz*maxmax(2)(2)确定截面的几何参量确定截面的几何参量zWMmaxmax31解：解：150kN150kNA5mB5mCVAVBHA(1)(1)求支座反力求支座反力HA=0VB=75kNVA=75kN力的平衡条件力的平衡条件32(2)(2)绘制梁的内力图绘制梁的内力图150kN150kNA5mB5mC7575Q图图( (kNkN) )M图图( (kNkNm m) )75753753

16、75ACBACBQB=-757575MC=150*10/4=375MB=0MA=0QA=750 00 033(3)(3)矩形矩形 bh=200mm=200mm500mm500mmAQ1.5maxzWMmaxmax36221033865002006mm.bhWz45.02MPa1033. 81037566maxmaxzWMMmax=375kNmMPaAQ13. 150020010755 . 15 . 13maxmaxQmax=75kN34(4)(4)圆形截面圆形截面 D=400mm=400mm3A4QmaxzWMmaxmax3633102863240032mm.DWzMPa71. 951028.

17、 61037566maxmaxzWMMmax=375kNmMPa8 . 0/4D3107543A4Q2maxmax3Qmax=75kN35(5)(5)采用采用I56a56a型钢型钢Mmax=375kNmQmax=75kN参数查型钢表参数查型钢表3310342cm.Wzcm.b251cmSIzz73.47/*maxMPa26.160101034. 210375336maxmaxzWMMPa.bISQz*z57121025110734710753maxmaxmax36提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：maxmaxzWM在在 一定时，提高弯曲强度的主

18、要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径：max,MWz（一）选择合理截面（一）选择合理截面（1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1. 根据应力分布的规律选择根据应力分布的规律选择z6.5 提高梁的强度的主要措施提高梁的强度的主要措施37（2 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。）为降低重量，可在中性轴附近开孔。382. 根据材料特性选择根据材料特性选择塑性材料：塑性材料：,宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：脆性材料：,宜采用中性轴为非对称轴的截面，宜采用中性轴为非对称轴的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：ycz1y2y拉边拉边压边压边zzIMyIMy21maxmax21yy即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。39（二）合理安排载荷和支承的位置，以降低（二）合理安排载荷和支承的位置，以降低 值。值。maxM1. 1. 荷载尽量靠近支座：荷载尽量靠近支座：LABF0.5LLABF0.8LLABF0.9LLABF402.2.将集中力分解为分力或均布力。将集中力分解为分力或均布力。LABF0.5L0.25LABF0.5L0.25L413 3、合理安排支座位置及增加支座、合理安排支座位置及增加支座