基本不等式中地母题及解题技巧

1、标准高二“根本不等式中的母题及其解题 技巧,各种题型都包括知i只喘1- 根本不等式畅<字根本不等式的使用条件： 一正：a>Q、b>0,即所求最值的各项必须都是正值, 二定血或ab为定值,即：含变量的各项的和或积必须是常数; 三相等,当且仅当a = b时取等号匸即*等号能否取得.柱应用根本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,假设忽略了 某个条件,就会岀现错误.2- 由公式沪十,M2加和価 W 字可以引申岀的常用结论(1) £+半?2(a, B同号“a o(2) +< - 2(a,方异号)；(3) 宀 < 価 < > 0 , b >

2、 0)a + b-3. 利用根本不等式求最大、最小值问题如果x>Ch y0,且_v)=P(定值).那么当戈p时,x+y有最小值2y/p.简记积定和最小如果x>0, >0,且x+y=5定值.那么当x=>M> xy有最大值简记和定和最大类型一、直接应用类此类问题较为根底,利用根本不等式求最值时应注意：非零的各数 或式均为正：和或积为定值負等号能否成立,即正.二云 三相 等这三个条件缺一不可.解答技巧一：直接应用【母駆一】S X>0 - ； >D f且= IS r那么；C的最大值是.【耶桁】m于x>0.列王+jA二心艸匸可丢=SL当旦沈当<=/

3、= ?蚊.勺文案班翱盘.大£.81【答案】81【变式】1.)=x+-2(r<0)l 那么金)有(IA.最大值为0C.最大值为-4B,最小值为0D.最小值为-4【解析】丁工<0,；几工=_ _兀+ _工_2< _2 _ 2 = _斗,当_£仅x=t x= 1 时取等号*【答案】C2.0<工<1：那么工3-张取得最大值时戈的值为C-A.34B.D.【解析】VO<X<1, Al-x>0,二工3 敦=3x 1 x<+；一卩111 -.当工=1一口 Pp JC=-时取等号.42【答案】B3. 2021成都诊断定义在0, +8上的函

4、数几t = 34假设,他+历=9,那么X曲的最大値为.【解析'?3*=9, a-b=2>2ylabt ab<lt【答案】34. .,6 E R>且ab = 50,贝“ + 2商的最小值是【解析】依题意得G b同号,于是有皿十3 = |创十|2川?2创如功= 2寸2|血|=2/100=20当且仅当| 口 | = |2林=10时取等号,因此a+2bj最 小值是20*【答案】20|类型二.配凑定值类恒等变形类|此类问题一般不能直接使用根本不等式,要从整体上把握运用根本不 等式,对不满足使用根本不等式条件的可通过"变形再来转换,常见的变 形技巧有：拆顶,凑项,揍系数

5、等.不管条件怎么变形,都需要根据条件 凑和为定值时求和最大*揍积为定值求和最小.解答技巧二：拆项 Jr + 1【母題二】QS那么函數=:最小值为r- sir +11【超标1 V/>OF讥=； + -4>24 = 2,且京厅取爭专,【善奏】-2解答技巧三：凑项【母題三】假设Q2,朋函軌m十古削最小值为t解析】>2F /y = (Jt-2)4-y+2>2 + 2 = 4t当且仅当工=3时販等号.X Ju«* 4解答技巧四：凑系数母题四】假设0<A<|'那么函数y=i(glr)的最大值芮*【解桁】以勺=扣玄昭亠罚令胪±|二当且仅当葢=扌

6、砖岚萼号.【答棗】y【变式】K函数y = '|(r>l)的最小值是()A 2V3 + 2B* 2/3-2C2羽D. 2【解析】Vx>l , ；. x - 1 > 0 .= -= X1工一 102x十 1 十2(x11 + 3 _ (x1：十2(x 11 + 3 _i ,3,：=工 1 I十X1工一1工一12>2 /(xl)f-+22/3+2,当且仅当 x-l=t 即工=1 十羽V '戈_时,取等号*【答案】A2-当x>l时,不等式工+丄Aq恒成立,那么实数凸的最大值为【解析Vx>lf A.r1>0.又工十一=x 1十一+ 12 + 1=

7、気X1x1当JL仅当x2时等号成立-那么aW3*所以卫的最天筑为3,【答案】33 . (2021l潍坊一模)o>b>0 ,血=1,那么主空的最小值为【解析】士=(疔7号/-时+2=_沪丄>2返当abababab且仅S ab=花时.取等号.【答案】2迈4.函数&尸十6(1) 假设金)At的解集为xx< - 3,或x>2.求疋的值；(2) 对任意x>0, f工恒咸立,求？的取值范围.【解】(iyw>ofcc；2x+6Yo.由jc|x<?,或x> 2是其解集,得怂乂一2x+右上=0的两粮是一3 , 一2.(2)由于 x>Otjx)

8、=2兀x:+6当且仅当X=yf6时取由人工、盂r对任意工>0渔歳立,致r亚r的取值范围恳由根与系数的关系可知(一2)+(3)=p 即疋=右类型三.条件最值类利用根本不等式求最值的方法及注意直(1)知和求和的最值；求解此类问题的关键；明确“和为定值,积有最 大值秤但应注意以下两点具备条件正数；验证等号成立.知积求和的最值；明确“积为定值,和有最小值,直接应用根本 不等式求解,但要注意利用根本不等式求最值的条件-3构造不等式求最值匕在求解含有两个变量的代数式的最值问题时, 诵常采用"变量替换或"常数1"的替换,构造不等式求解.技巧五：换衣"1"

9、;或整体代换I母题五】席>5 QO, a + p = l*那么】十詡最小值为-a &1 1灯+启b【解斩*/a>0p>0. a+p = l h+ . =】r2 +Qud da p即L+g的挖小值为4,当宜仅晋住=占=1片尊吟威至.Q 0£【答棄】4【变式】1本例的条件不变,贝土1+乂；1十¥的最小值为【解析】1兮-E=l-十加十卜十当且仪a=b =扌时,取等号.【答案】92-本例的条件和结论互换职沁,0沁 卅f贝T的最小值为一【解析】時十哙十詁="十4右十訥+炖+£ 十誇冯十2、/= 1 当旦仅当时取等号【答案】13- 假设本例

10、条件变为,a.,八0,卄2X3,贝酉+#的最小値为【解析】由.十223得刼十詁=1,!十討俟十就|十毎弓十誇 +聲假设+叫写jj=£-当且仅当a=?戸井取等号.【答案】I4.本例的条件变知 a>0, b>0. c>0,且£/ + b + c = l,那么1+ a 丄+丄的最小值为0 c'r【解析】Ta>0, &>0, c>0,且 a + b+c=l, A-+ L=lLLt£a D c a>3 + 2十2十2=9.当且仅当a=b=c = 时,取等号.V c)3(答案】95假设本例变为：各顶为正数的等比数列仙满

11、足=氐+血,假设 存在两项口叩g 使得jam (in= 2y/2ai >贝口丄+'的最小值为*m n【解析】设公比为 g(g>0),由 a7=a6+2ai=>aq2 =aiq+2aq1 q 2 = Qq>0)=>q=2. yjam-an=2/2ai=>ai2ml-ai2ti = a2ml 2nl = 8»十冷一2=3»十=5,呻十扌=眾十訥十)=半+斛判 >孑5十24)=|r当JL仅当Vi 2m =半时等号成立.【答案】|6- (2021浙江)假设正数工,满足工+ 3丁 = §可,那么3x + 4)的最小值是 ()

12、C5D6=5当旦凤当x=2y时取等号.【答案】C7.不等式"刈 £>9对任意正实数y恒成立,那么正实数4?的最小值是B. 4C. 6D8【解析】工十V右十訂=1十4十*十十卄/*当1十d十>9时不等式恒成立,故讪+1?3, a.【答案】B技巧六：构造元二次不等式在运用该方式解题时,既要拿握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如不+ / >2ab逆用就是处< 哄土c? t b>0逆用就是口6a + b等-e b>0等.还要注意疔添、拆项技巧和公式等号成立的条件思考方式还能以保存“和十小还是"积M 来确定公式的运用方向*【母題六1假设

13、正实数丁繭足2x+；l +6=xy i刚孕的最小值是*【解林】±x>0, y>02x+y+6=劈,再qA2“+<S当且仅爭2x=甘,等号2、,即 兩¥7品拓T沁 二畅一了迈妨+ 炀AO. 天石0,代屈?3迈,即 jq P1 &代巧的最小值为18.Jx=2;工十2r+2x)= 8,2.A*1J【帮析】旷T 丁： 一 3.!1 =：可-» = 八二亠；=亍一 ：'二3、当且仅当丰=圭,即兀=¥时等号成览人【善秦】1S【答案】B3.假设实数口 p满足*+尸卡巧=1,贝ib+y的最大值杲解析xA. 3B-斗【解析】依题意,碍2巧

14、=一兀+ 2;0 + 8冬害牛,当且仅当时等号衣立.二工十2y* 1 2 3+4.r十2y 320t皐再x + 2.r>4或工十23;< 8舍去h*工十2葯最小值是4.【答案】B假设正数工,y满足x: + 3x' l0r那么工+的最小值是V$ 3亚D也 +屮 +乌=iox +护xy= 1 ox +yF 1 =贰日解碍二I血乎.【答案】¥类型四.根本不尊式的应用1 某公司租地建仓库,每月土地占用费门与仓库到车站的距离成反比, 而每月库存货物的运费门与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10V公里处建仓库,这两项费用；n和“分别为2万元和S万元,那么要使这 两项费用之

15、和最小.仓库应建在离车站公里处.【解析】设工为仓库与牟誌距翼*由川=一t y2=0.Sx,费用之和7=尹十戶=0.8尤十乎2、0.8龙晋=8,当且仅当0. 8工=¥,即工=于时等号衣立.【答案】52* 创新题规定记号“a表示一种运算,即口Ob =肠十口 +也,*为正实数.假设10 = 3,那么上的值为,此时函数用尸字的最小值为【解析】10=十1十上=3,即七十2=0丫 y/k1 &,y/k=2舍,二上=1.心扳-r1时等号成立.空並W=l十#十1 >1+2 = 3,当且心心=虽 杠=/xyx【答案】1; 33* 设芮=1, 一2, Oh = a. 一1, Ot-b, 0

16、口0, &>0, O为 坐标原点,假设川5, C三点共线,那么的最小值是G UA. 4D- 9【解析】丁秒=易一1=(口一1：1),走剪=(一6 1,2)假设儿Br C三点共线那么Ah/ZAt,1 1A(a1)X21i)=o, A20+6 = 1,又 a>0f 6>0, A-+=a uj十g (2°十方)=5十乎十乎>5十2,当JL仅当即d=D=扌时等号成立.【答案】D4.设正实数筈,门三满足匸-3口+4了 = 0,那么当巫取得最大值时,TifSTy的最大值为)x » EA. 0B. 1C-D. 3【解析】由已如得z=x2-3r> +4(*),那么空= =忑 X* 3rvh+4v 至+竺_： y X '<1,当且仅当jc=2y时取等号,把x2y KA(*)式,iz=2y2,所以丰十+ 祗 1.【答案】B5 .己知工>0. j>0( x+y+3=xy 且不等式(x +y)- _a(x + y) +1 >0恒成立,那么实数.的取值范围杲【解析】要使xax + +1 >0 恒菽立,那么有x+'J2+1 >ar4-v, Fp £Z<x+y+?恒戒立. x+y由疋+,+?=»,得 丫+尹+3=号<$ 2,即a+y&#