向量的线性运算技巧及练习题含答案

1、向量的线性运算技巧及练习题含答案一、选择题1. 如果向量a与单位向量2的方向相反,且长度为3,那么用向量2表示向量°为 A. a = 3eB. a = -3eC. e = 3aD. e=-3a【答案】B【解析】【分析】根据平面向屋的定义解答即可.【详解】解：向量0为单位向量,向量a与向量0方向相反,° a = 3e .应选：B.【点睛】此题考查平面向量的性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.2. 在四边形ABCD中,AB = a + 2b, BC=-4a-b,CD =- Sa-3b,其中云与万不共线, 那么四边形ABCD是A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【答案】

2、C【解析】【分析】利用向量的运算法那么求出AD=- 8a-2b,利用向量共线的充要条件判断出AD/BC,得到 边ADBC, AD=2BC,据梯形的定义得到选项.【详解】解：yAD = AB + BC + CD = a2b+-4a-b-5a-3b=-2bBC =- 4a -万,AD = 2BC,.ADBC, AD=2BC.四边形ABCD为梯形.【点睛】此题考查向屋的运算法那么向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定 义.3. 假设非零向量N万满足a-b = b, MA. I 2b I > I a-2b IB. I 2b I < I a-2b IC. | 2H I &g

3、t; I 2HU ID. | 2H I < I 2a b I【答案】A【解析】【分析】对非零向量N万共线与否分类讨论,当两向量共线,那么有a = 2b,即可确定A、C满足； 当两向量不共线,构造三角形,从而排除C,进而解答此题.【详解】解：假设两向量共线,那么由于云,5是非零向量,且a-b = b,那么必有a = 25；代入可知 只有A、C满足；假设两向量不共线,注意到向量模的几何意义,故可以构造三角形,使其满足0B=AB=BC；令OA = a, OB = b,那么BA = a - b>.CA = a-2bRa-b = b；又 BA+BOAC :.a-b + 1 > |a-2

4、b：.2b>a-2b.应选A.【点睛】此题考查了非零向量的模,针对向量是否共线和构造三角形是解答此题的关键.4.在矩形ABCD中,如果亦模长为JL 旋模长为1,那么向量ab+bc + ac 的长度为A. 2B. 4C. 3-1D. 73 + 1【答案】B【解析】【分析】先求出AC = AB + BC然后AB+BC + AC = 2AC 利用勾股定理即可计算出向量亦+荒+犹的长度为【详解】| AB |= y/3,BC |=1|码=JQ + F =2AC = AB + BC:.AB + BC + AC = 2AC:AB + BC + AC=2AC=2x2 = 4 应选：B.【点睛】考查了平面

5、向量的运算,解题关键是利用矩形的性质和三角形法那么.5. 假设莊是非零向量,那么卞列等式正确的选项是A. AB = BA B. AB = BA ； C. AB + BA = O D.卜冲 + 网=0. 【答案】B【解析】【分析】长度不为0的向量叫做非零向量,此题根据向量的长度及方向易得结呆【详解】莊是非零向量,:.ab=ba应选B【点睛】此题考查平面向量,难度不大6. 以下判断正确的选项是()A. a-a = OB. 如果p卜円,那么a = bc.假设向量2与均为单位向量,那么a = bD.对于非零向量万,如果a = k-b(kO),那么a/b【答案】D【解析】【分析】根据向量的概念、性质以及

6、向量的运算即可得出答案.【详解】A. a-a等于0向量,而不是等于0,所以A错误；B. 如果R卜円,说明两个向量长度相等,但是方向不一定相同,所以B错误；C. 假设向量&与6均为单位向量,说明两个向量长度相等,但方向不一定相同,所以C错 误；D. 对于非零向量厶,如果a = k b(k0),即可得到两个向量是共线向量,可得到 a/b故D正确.故答案为D.【点睛】此题考查向量的性质以及运算,向量相等不仅要长度相等,还要方向相同,向量的运算要 注意向量的加减结果都是一个向量.7.如图,在"BC中,中线AD、CE交于点O,设AB = a,BC = k,那么向量A.用向量A. a-b

7、B. 一a + -bC. -a + -bD. a +b2333324【答案】B【解析】【分析】2利用三角形的重心性质得到：AO = -AD-,结合平面向量的三角形法那么解答即可.【详解】在ZkABC 中,AD 是中线,BC = b » BD = -BC = -b.2 2:.AD = AB + BD = a b2又点O是“BC的重心,2 AO = -AD,3耳紳弓+爭.【点睛】2此题主要考查了平面向量与重心有关知识,根据重心知识得出AO = -AD是解题的关 键.&假设向量a与5均为单位向量,那么以下结论中正确的选项是A. a=bB. a = lC. b = D.同=円【答案】

8、D【解析】【分析】由向量万与5均为单位向量,可得向量与方的模相等,但方向不确定.【详解】解：向量与5均为单位向量,向量万与Z；的模相等,同训故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义.注意单位向量的模等于1,但方向不确定.9.己知平行四边形ABCD, 0为平面上任意一点设丽OB=b,况二N OD=d贝【J()A. a+b+c+d=OB. aU+c-3=0C. a+b-c-2=0D. a-B c+(l=O【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法那么,向量减法的几何意义,以及相反向量的概念即可找出正 确选项.【详解】 根据向量加法的平行四边形法那么及向量减法的几何意义,即可判断AC

9、D错误;a - b = BA,c - d = DC应选B.【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义,解题关键在于掌握运算法那么.10以下各式正确的选项是()A. 2(a+b+c = 2a+b + cC AB + BA = 2ABB. 3 + b + 3b -& = 0D a+ b + 3a-5b = 4d-4b【答案】D【解析】【分析】 根据平面向量计算法那么依次判断即可.【详解】A、 2d + b + c = 2ci + 2b + c ,故 A 选项辛昔误;B、3ci + 6 + 35- = 3d + 3b+3b-3ci=6b ,故 B 选项错误；C、AB + BA = O故C选

10、项错误；D、a + b + 3a-5b = 4d-4b » 故 D选项正确： 应选D.【点睛】此题是对平面向量计算法那么的考查,熟练掌握平面向量计算法那么是解决此题的关键.11.°、厶、C：都是非零向量,如果a = 2c 5 = -2c,那么以下说法中,错误的选项是A.a/bB. a = bC. BD = -2d.力与b方向相反【答案】C【解析】【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.【详解】 解：ci=2c, b=-2c,故N 5是长度相同,方向相反的相反向量, 故ABD正确,向量之和是向量,C错误,应选C.【点睛】12卞列说法正确的选项是A ci +

11、-a = 0C.如果| a冃51,那么a = b此题主要考查的相等向量与相反向量,熟练掌握定义是解题的关键；就此题而言,就是正 确运用相等向量与相反向量的定义判断A、B. D三项结论正确.B. 如果a和厶都是单位向量,那么a = b- 1 _ _D. a = b 方为非零向量,那么乙allb【答案】D【解析】【分析】根据向量,单位向量,平行向量的概念,性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A、方+ 方等于0向量,而不是0,故A选项错误；B、如果&和6都是单位向量,说明两个向量长度相等,但是方向不一定相同,故B选项错 误;C、如果a=b9说明两个向量长度相等,但是方向不一

12、定相同,故c选项错误；- 1 -D、如果a = -b 万为非零向量,可得到两个向量是共线向量,可得到a/b,故D选项正确.应选：D.【点睛】此题考查向量的性质及运算,向量相等不仅要长度相等,还要方向相同,向量的运算要注 意向量的加减结果都是一个向量.13.化简AB-CD + BEDE的结果是 A. CA【答案】B【解析】【分析】根据三角形法那么计算即町解决问题.【详解】解：原式=aB + bE-cD + dEBACc. 6DAE= AE-CE =AE + EC =AC»应选：B.【点睛】此题考查平面向量、三角形法那么等知识,解题的关键是灵活运用三角形法那么解决问题,属 于中考根底题.

13、14.以下有关向量的等式中,不一定成立的是A. AB = -BAC. AB + BC = AC【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质,逐一判定即可得解.【详解】A选项,应=一必,成立；B选项,鬧=网,成立；B.D.声卜网ab+bc=ab+bcC选项,ABBC = AC成立；I不一定成立;故答案为D.【点睛】此题主要考查向屋的运算,熟练掌握,即可解题.15.2为非零向量,a = 3o厶=_2厶,那么以下结论中错误的选项是A. allbC. &与5方向相同D. &与5方向相反【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的性质一一判断即可.【详解】* a = 3c,b = -2cd 厶,

14、方与b方向相反,A, B, D正确,C错误；应选：C.【点睛】此题考查平面向屋,解题的关键是熟练掌握根本知识,属于中考常考题型.16. 如果a + b = c ci - b = ,且ChO,卜列结论正确的选项是A.岡=|片B. a + 2b = 0C. 万与5方向相同D. N与万方向相反【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质进行计算判断即可.【详解】解：将万+方=W代入=,计算得：a = -2b 方向相反.应选：D【点睛】此题考查了向屋的性质,熟悉向量的性质是解题的关键.A. a = -2b17. 非零向量°、厶和？,以下条件中,不能判定ab的是B. a = c,b = 3cD.

15、a = 2 b【答案】D【解析】【分析】根据平行向屋的定义,符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求【详解】A、a = -2b两个向量方向相反,互相平行,故本选项错误；B、a = c b = 3c 那么a 厶 c,故本选项错误；C、由条件知2方=_5,_3方=2,那么&b2,故本选项错误；D、闫=2艸只知道两向量模的数量关系,但是方向不一定相同或相反,方与乙不一定平 行,故本选项正确.应选：D.【点睛】此题考查了平面向量,主要是对平行向量的考查,熟记概念是解题的关键.18. 如果a = 2b 方,乙均为非零向量,那么以下结论错误的选项是A. allbB. a-2b=0C. b=aD.冋=2艸【答案】B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.a-2b = 0.故错误.应选B.19. 点C是线段AB的中点,卞列结论中,正确的选项是A. CA = -ABac+C5=o【答案】B【解析】 根据题意画出图形,由于点C是线段AB的中点,所以根据线段中点的定义解答. 解：a、CA = -BA,故本选项错误；B、CB = AB,故本选项正确；2c、AC + BC = O故本选项错误；D、AC + CB = AB 故本选项错误.扭B应选B.20.已ll AM是ZXABC的边上的中线,A.扌一町 B.扌(万-