双曲线的标准方程和几何性质

1、WORD格式整理.双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质1双曲线的定义：平面内与两定点Fi、F2的距离差的绝对值是常数 (大于零,小于丨FlF2| )的点的轨迹叫双曲线.两定点Fi、F2是焦点,两焦点间的距离|F1F2 |是焦距,用2c表示,常数用2a表示.(1) 假设丨MF | - | MF | =2a时,曲线只表示焦点 F2所对应的一支双曲线.(2) 假设| MF | - | MF | =-2 a时,曲线只表示焦点 Fi所对应的一支双曲线.(3) 假设2a=2c时,动点的轨迹不再是双曲线,而是以Fi、F2为端点向外的两条射线. 假设2a >2c时,动点的轨迹不存

2、在.2.双曲线的标准方程：2 2X - y =1( a > 0,b > 0)表示焦点在x轴上的双曲线;2 .2a b2 2 L-0=1(a > 0,b > 0)表示焦点在y轴上的双曲线.2 , 2a b判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比拟x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上.3.双曲线的简单几何性质:标准方程22x y =1 ( a > 0,b > 0 )a b22y x=1 ( a > 0,b > 0 )a b图象*a,b,c关系a2 +b2 =c2范围|xAa,yw R|y Aa, x壬 R顶点(土a

3、,0)(0, 土a)对称性关于x, y轴成轴对称、关于原点成中央对称渐近线y=±5a.a离心率e=E(>1)a焦占八'、八、F(士c,0)F (0, 士c)等轴双曲线：x2-y2= a2( a丰0),它的渐近线方程为 y=±x,离心率e = J2 .4.直线与双曲线的位置关系, 可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的 个数来确定.(1) 通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式 二,那么有：二0=直线与双曲线相交于两个点；=0= 直线与双曲线相交于一个点；二- 0：= 直线与双曲线无交点.(

4、2) 假设得到关于x(或y)的一元二次方程,那么直线与双曲线相交于一个点,此时直线平 行于双曲线的一条渐近线.3直线l被双曲线截得的弦长AB厂k2x匚X22 或.1 ：2% -丫22,其中 k是直线1的斜率,为,yj , X2 , y2是直线与双曲线的两个交点 a , B的坐标,且2 2(% -X2) = (x.( x2) -4X4X2, x1 x2 , x1x2可由韦达定理整体给出.二、例题选讲例1、中央在原点,焦点在 X轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为.2,那么双曲线方程为222222 厂A. x y = 1 B . x y = 2 C . x y = 2D .

5、x2- y2=1解析：由题意,设双曲线方程为2 2X y孑一孑=1( a>0),那么c= _ 2a,渐近线 y= x ,、弓=2 , a2= 2. 双曲线方程为x2 y2= 2.答案：B例2、根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程._J51过点P3,2,离心率e =2斤、F2是双曲线的左、右焦点,是双曲线上一点,双曲线离心率为.专业知识分享F1PF2 =60 , Spf1f2 -12. 3 .解：1依题意,双曲线的实轴可能在 x轴上,也可能在 y轴上,分别讨论如下.2 2如双曲线的实轴在 x轴上,设务-±- =1为所求.a2 b2由点P3, -、.2在双曲线上,92得笃-刍=1

6、 .,a b又 a2 b2由、得a1 ,假设双曲线的实轴在 y轴上,设2 2x2 - y2 =1为所求.a b同理有2 c2 aOH",17a b =c .解之,得b =巧不合,舍去.双曲线的实轴只能在 X轴上,所求双曲线方程为X2-4y2 =1.2 2 设双曲线方程为 笃 占=1,因F| F2 = 2c,而a be 二° =2 ,a由双曲线的定义,得PR PF 二 2a 二 c .由余弦,得22(2c)2 =門 +|PF2-2PF1 PF2 COSZRPF2= (PF PF2)2+2PFPF2 (1-cos60°),= 48.2 2 1 二 4c =c +|PF

7、1 PF2 .又 S店越=?PF1 PF2 sin60® = 12岛,二 PF1 PF?- 3c2 =48 , c2 =16 ,得a2 =4 , b2 =12 . 所求双曲线的方程为2 2 .412三、稳固测试题1 .到两定点F1 _3,0、A.椭圆2 22.方程x . y1+k 1kA ._1 :：: k ：12x2 m 亠 124 -mF2 3,0的距离之差的绝对值等于B .线段C.双曲线6的点M的轨迹D.(D两条射线3.双曲线A. 44 .假设 0 : k=1表示双曲线,那么k的取值范围是B . k 02y 2=1的焦距是C.k _0D.:：:a,双曲线A.相同的虚轴2 25.

8、 过双曲线丄169A. 28B2 26. 双曲线二-y = 1412B . 2.22x2 2akb kB.相同的实轴C.D.与m有关=1与双曲线H =1有a bC.相同的渐近线D.相同的焦点二1左焦点F1的弦AB长为6,那么.ABF2 ( F2为右焦点)的周长是.22C. 14D.12的焦点到渐近线的距离为(y= 3x 或 y2 3.|4 ,3+ 0|3+ 1C.A. 2 32 2解析：双曲线x- y2= 1的焦点为(4,0)或(一4,0).渐近线方程为x.由双曲线的对称性可知, 任一焦点到任一渐近线的距离相等,=1的焦点为顶点,椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为2 2138=1132丄=152个

9、交点的直线有y&过点F(4,4)且与双曲线16-9= 1只有解析：如下图,满足条件的直线共有3条.WORD格式整理.2.专业知识分享9经过两点 A(_7,_6、. 2), B(2._7,3)的双曲线的方程为()CA.2x752=125=1 C 75252575257510.双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),那么双曲线方程为(2八x2y 2 x2=1 C 2 x2y -=1 D 2 x2y A.-=1 B =14121241066102211P是双曲线x y1上的一点,F,F2是双曲线的两个焦点,且.F,PF 120169那么PF1F2的面积为()DA . 163 B

10、. 9、3 C4、3 D . 3. 312 双曲线25x2 - 16y2 =400的实轴长等于 ,虚轴长等于 ,顶点坐标为, 焦点坐标为 ,渐近线方程为 ,离心率等于 .2 213直线y=x+1与双曲线=1相交于A,B两点,贝U AB =12 . 4岛23214.过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线 j_y2=1的弦所在直线方程为.413. 3x 4y -5 =02 215双曲线 mx y =1的虚轴长是实轴长的 2倍,贝U m =.222x 2双曲线mx2 y =1的虚轴长是实轴长的 2倍, m<0,且双曲线方程为y= 1 ,41-m= 0416双曲线的离心率e冷,且与椭圆春百=1有

11、共同的焦点,求该双曲线的方程.解：在椭圆中,焦点坐标为(土 10, 0),c= 10,又 “ a2 . 2 a = 8, b = 2.WORD格式整理.专业知识分享2 2 双曲线方程为"5 秒=1.8 2217.F,、F2是双曲线 -y2 =1的两个焦点,点P在双曲线上且满足.F,PF2 =90 ,4求：FiPF2的面积.2解：/ P为双曲线-y1上的一个点且F1、F2为焦点4PR PF? =2a=4,市2|=2*2752 2 2:厶F1PF2 =90 :.在 RUPF1F2 中,|Ph +|PF2 = F1F2 =20仰-PF2 2 = PF+|PF22 -2PF1IIPF2 =1

12、6 , 20-2PFPF2 =16 ,PF1,PF2 =21 S岳pf2 =3 PF1 PF2 =118.在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中央在原点,左焦点为F(-、3,0),右顶点为D(2,0),设点 A 1,1 .I 2丿(1)求该椭圆的标准方程；(2)假设P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;18.(1)由得椭圆的半长轴 a=2,半焦距c= 3 ,那么半短轴b=1.2又椭圆的焦点在x轴上,椭圆的标准方程为X y2=14(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x 0,y 0),广 X=X0Tx°=2x 1y=八2得 <:1y0=2yJ 2由,点P

13、在椭圆上,得(2x 一1)(2y -1)2 =1,421 2 1 2 线段PA中点M的轨迹方程是(x )4(y) =1.2419.椭圆C的焦点F1(- 242, 0)和F2( 242, 0),长轴长6,设直线y = x+2交椭圆C于A、B两点,求线段 AB的中点坐标.解：由条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c= 2 2 ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是：2/ 1,消去 y 得,10x236x 27 = 0.2=1 .联立方程组99cy = x +218x+ x设 A( x1, y1),B( x2,y2),AB 线段的中点为 M(x0,y0)那么：人 x?,怡=125219 1所以yo = X

14、0 +2=-也就是说线段 AB中点坐标为(-,).55 520.求两条渐近线为 x _ 2y二0且截直线x 一 y 一 3二0所得弦长为 出的双曲线方程.3解：设双曲线方程为x2-4y 2= .2 2x -4y =2彳 y ,消去 y 得,3x-24x+(36+ 丸)=0 xy3 = 0联立方程组得：设直线被双曲线截得的弦为AB,且A( x1, y ),B( x2, y2),那么：A 那么：|AB(1 山沁1)(82 -4 3： rx2 = 836-X-X2 :3=242 -12(36)0Xi3-)8 32解得： =4,所以,所求双曲线方程是：-y2 =1421.中央在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1, F2,且IF1F2 h 2.13,椭圆的半长轴与双曲线的半实轴之差为4,离心率之比为3 : 7.(1)求这两条曲线的方程;(2)假设P为这两条曲线的一个交点,求 cos F1PF2的值.x221、解：(1)设椭圆的方程为2ay2b222=1,双曲线方程为令-占a2 b2二1,半焦距为c = .13 ,& -a? =41a = 7J c , c小,='/=3/7b = 61卫1 a2由得:x!a2 = 32,故两条曲线分别为:b2 = 222及436214(2)设 F1PF2