分式方程应用题解题思想总结-例题分析

1、分式方程应用题分类解析分式方程应用性问题联系实际比拟广泛,灵活运用分式的根本性质,有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目,运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题本课内容：1. 营销类应用性问题2. 工程类应用性问题3. 行程中的应用性问题4. 轮船顺逆水应用性问题5. 浓度应用性问题6. 货物运输应用性问题一、【营销类应用性问题】例1.分析：市场经济中,常遇到营销类应用性问题,与价格有关的是：单价、总价、平均价等,要了解它们的意义,建立它们之间的关系式.总价值价格数量甲2000 元乙4800 元混合X元解：设混合后的单价为每千克x元,那么甲种原料的单价为每千克(x 3)元,混合

2、后的总价值为(2000 + 4800)元,混合后的重量为2°°0 48°0斤,甲种原料的重量为2000,乙种原料的重量为4800,依题意,得：xx 3x-1200048002000 +4800+,解得x =17 ,x 3x -1x经检验,x =17是原方程的根,所以 x=17.即混合后的单价为每千克 17元.评析：营销类应用性问题,涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念,要结合实际问题对它们表述的意义有所了解,同时,要掌握好根本公式,巧妙建立关系式随着市场经济体制的建 立,这类问题具有较强的时代气息,因而成为中考常考不衰的热点问题.例1. 2

3、A、B两位采购员同去一家饲料公司购置同一种饲料两次,两次饲料的价格有变化,但两位采购员的购货方式不同其中,采购员A每次购置1000千克,采购员B每次用去800元,而不管购置饲料多少,问选用谁的购货方式合算？解：两次购置的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m>0,n>0,m丰n),依题意,得:采购员A两次购置饲料的平均单价为1000 廉+1000 评 mn.-元/千克,采购员B两次购置饲料的平均单价为800 + 800 _ 2mn800 + 呂0 0 m n:认 元/千克.m +n 2 用川 m - na而-'-二,、：；0也就是说,采购员 A所购饲料的平均单价高于采购员B所

4、购饲料的平均单价,所以选用采购员的购置方式合算.例1. 2 分析：可以列出三个等量关系1 . 2月份销售量一 1月份销售量=50002. 2月份销售量X 2月份利润=2月份总利润3. 1月份利润一 2月份利润=0.4二、【工程类应用性问题】例2. 1 甲乙两个工程队合作一项工程,两队合作2天后,由乙队单独做 1天就完成了全部工程.已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的11 倍,问甲乙单独做各需多少天？2分析:单独做所需时间一天的工作量实际做时间工作量甲x天1x2天131(2+1)天-x天3乙2x2等量关系：甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1例2. 2甲、乙两个学生分别向计算机输入

5、1500个汉字,乙的速度是甲的 3倍,因此比甲少用20分钟完成任务,他们平均每分钟输入汉字多少个？分析：输入汉字数每分钟输入个数所需时间甲1500 个x个/分1500x乙1500 个3x个/分15003x等量关系：甲用时间=乙用时间+20 分钟例2. 3某农场原方案在假设干天内收割小麦960公顷,但实际每天多收割 40公顷,结果提前4天完成任务,试求原方案一天的工作量及原方案的天数.分析1:工作总量一天的工作量所需天数原方案情况960公顷x公顷960x实际情况960公顷(x+40)公顷960x +40等量关系：原方案天数=实际天数+4 天分析2:工作总量所需天数一天的工作量原方案情况960公顷

6、X天960x实际情况960公顷(x-4)天960x4等量关系：原方案每天工作量=实际每天工作量-40 公顷例2. 4 某工程由甲、乙两队合做 6天完成,厂家需付甲、乙两队共8700元,乙、丙两队合做10天完2成,厂家需付乙、丙两队共9500元,甲、丙两队合做 5天完成全部工程的,厂家需付甲、丙两队共 55003元.求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？假设工期要求不超过 15天完成全部工程,问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.分析：这是一道联系实际生活的工程应用题,涉及工期和工钱两种未知量对于工期,一般情况下把整个工作量看成1,设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x天

7、,y天,z天,可列出分式方程组.解：设甲队单独做需 x天完成,乙队单独做需 y天完成,丙队单独做需 z天完成,依题意可得：6丄丿=1 ,x y1 170_+ =1,y z51+1=2.L x z 31 1 11111X _ +XX ,得F _ + _ =.6105 x y z 511 1一X ,得一=一,即 z = 30 ,6z 3011 1X 一,得=一,即 X = 10 ,10x 1011 1一X 一,得=一,即 y = 15 .5y 15经检验,x = 10 , y = 15 , z = 30是原方程组的解.设甲队做一天厂家需付 a元,乙队做一天厂家需付 b元,丙队做一天厂家需付 c元,

8、根据题意,得6(a - b) =8700, a =800 ,|10(b c) =9500,= b = 650,II5(c a) = 5500 .c = 300 .由可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队.此工程由甲队单独完成需花钱10a =8000元；此工程由乙队单独完成需花钱15b = 9750元.所以,由甲队单独完成此工程花钱最少.111评析：在求解时,把1,丄,1分别看成一个整体,就可把分式方程组转化为整式方程组来解.xyz例2. 5解：工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数,设为x天,那么乙单独完成工程所需的天数就是(x + 3)天.设工程总量为1,甲的工作效率就是,乙的工作效

9、率是即规定日期是6 天.,解得2640名学生的成绩数据分别由两位教例2. 6今年某大学在招生录取时,为了预防数据输入出错,师向计算机输入一遍,然后让计算机比拟两人的输入是否一致教师甲的输入速度是教师乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设教师乙每分钟能输入 x名学生的成绩,那么教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩,依题意,得:2M02x解得x = 11经检验,x = 11是原方程的解,且当 x= 11时,2x = 22,符合题意.即教师甲每分钟能输入 22名学生的成绩,教师乙每分钟能输入11名学生的成绩.所用的时间相等.求甲、乙每小时各做多少个?分析：

10、甲每小时做x个零件,做90个零件所用的时间是90十x小时,还可用式子小时来表示.x乙每小时做x-6个零件,做60个零件所用的时间是60 -x -6小时,还可用式子小时来表示.x -6等量关系：甲所用时间 =乙所用时间三、【行程中的应用性问题】例3.1甲、乙两个车站相距 96千米,快车和慢车同时从甲站开出,1小时后快车在慢车前 12千米,快车比慢车早40分钟到达乙站,快车和慢车的速度各是多少？分析:所行距离速度时间快车96千米x千米/小时96x慢车96千米x-12 千米/小时96:x-12等量关系：慢车用时=快车用时+ 40小时60例3.2分析：这是一道实际生活中的行程应用题,根本量是路程、速度

11、和时间,根本关系是路程=速度X时间,应根据题意,找出追击问题总的等量关系,即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时 间相等.解：设普通快车车的平均速度为xkm/h,那么直达快车的平均速度为1.5 x km/h,依题意,得828 -6x=-828,解得 x=46,x1.5x经检验,x=46是方程的根,且符合题意.二 x =46 , 1.5x 二 69,即普通快车车的平均速度为 46km/ h,直达快车的平均速度为 69km/ h.评析：列分式方程与列整式方程一样,注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数,列出方程.不同之处是：所列方程是分式方程, 最后进行检验,既要检验其是否

12、为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义.例3.3A、B两地相距87千米,甲骑自行车从 A地出发向分析:At87B地驶去,经过30分钟后,乙骑自行车由 BB地45千米C处相遇,求甲乙的速度.地出发,用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来,两人在距离所行距离速度时间甲(87-45 )千米x千米/小时87-45x乙45千米(x+4)千米/小时45x + 4等量关系：甲用时间=乙用时间+30 (小时)60例3.4解：设步行速度为x千米/时,骑车速度为 2x千米/时,依题意,得:15 15 30=x 2x 60方程两边都乘以2x,去分母,得30-15 = x,所以,x= 15.检验：当x =

13、 15时,2x = 2 X 15工0,所以x = 15是原分式方程的根,并且符合题意.151二二 1 ,骑车追上队伍所用的时间为30分钟.例3.5 农机厂职工到距工厂 15千米的生产队检修农机,一局部人骑自行车先走,40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,汽车的速度是自行车的3倍,求两车的速度.15 15 40解：设自行车的速度为 x千米/小时,那么汽车的速度为 3x千米/小时,依题意,得：3x x 60解得 x = 15.经检验x = 15是这个方程的解.当 x = 15 时,3x = 45.路程速度时间顺流48千米(x+4)千米/小时48x + 4逆流48千米(x-4)千米/小时

14、48x4即度是15千米/速度为45千自行车的速 小时,汽车的 米/小时.例3.6甲乙两人同时从一个地点相背而行,1小时后分别到达各自的终点A与B;假设从原地出发,但是互换彼此的目的地,那么甲将在乙到达A之后35分钟到达B,求甲与乙的速度之比.分析：乙甲B°A甲乙等量关系：甲走 0B的时间-乙走0A的时间=35分钟四、【轮船顺逆水应用问题】例4. 1轮船顺流、逆流各走 48千米,共需5小时,如果水流速度是 4千米/小时,求轮船在静水中的 速度.分析:顺流速度=轮船在静水中的速度+水流的速度逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度等量关系：顺流用时+逆流用时=5 小时例4. 1轮船在顺水中航行 30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等,水流速度为2千米/时,求船在静水中的速度.分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间=逆水中航行20千米的时间,即30千米=20千米顺水航行速度 逆水航行速度.设船在静水中的速度为x千米/时,又知水流速度,于是顺水航行速度、经检验,X-2.5是所列方程的根,即参加盐2.5千克.逆水航行速度可用未知数表示,问题可解决.解：设船在静水中速度为 x千米/时,那么顺水航行速度为x2千米/时,逆水航行速度为x-2千米/时,依题意,得30 = 20x 2 x -2 解得x =