电磁场与电磁波(第四版)谢处方_课后答案

1、.电磁场与电磁波（第四版）谢处方课后答案第一章习题解答1.1给定三个矢量 A 、 B 和 C 如下：Aex ey 2 ez 3Bey 4ezCex 5ez 2求：（ 1） aA ；（2） AB ；（3） AgB ；（ 4） AB ；（ 5）（7） Ag(BC)和(AB )gC ；（ 8） ( AB)C 和 A解 （1） aAAexey2 ez 312A1222ex14ey( 3)214（2） A B (exey 2 ez3) ( ey 4 ez)ex ey 6（3） AgB(exey 2ez 3) g( ey 4 ez )11A 在 B 上的分量；（6） AC ；(BC)。3ez14ez 45

2、3（4）由 cos ABAgB1111，得ABcos 1 (11 ) 135.5oA B14 17238238（5） A 在 B 上的分量 ABA cosAgB11ABB17exeyez（6）A C 123ex 4 ey13 ez10502exeyez（7）由于 B C041ex8 ey 5 ez 20502exeyezA B123ex 10 ey 1 ez 4041所以Ag(B C )(exey 2ez 3)g(ex 8 ey 5 ez 20)42( A B)gC( ex10 ey 1 ez 4)g(ex 5 ez 2)42exeyez（8） (A B) C10 1 4 ex 2 ey 40

3、 ez 5502exeyezA(BC)1 23ex 55 ey 44 ez1185201.2三角形的三个顶点为 P1(0,1, 2) 、 P2 (4,1, 3) 和 P3 (6, 2,5) 。（1）判断 PP12 P3是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。.解 （1）三个顶点 P1(0,1,2) 、 P2 (4,1,3) 和 P3 (6, 2,5) 的位置矢量分别为r1ey ez 2 ， r2ex 4 eyez 3 ， r3ex 6 ey 2 ez 5则R12r2r1，R23r3r2e 2 eye 8 ，ex 4 ezxzR31r1r3ex 6 eyez 7由此可见R12 gR23(ex

4、4ez )g(ex 2eyez 8)0故 PP12 P3 为一直角三角形。（2）三角形的面积S1111769 17.13R12 R23R12R231.3222求 P ( 3,1,4) 点到 P(2,2,3)点的距离矢量 R 及 R 的方向。解 rPex 3 eyez 4 ， rPex 2ey 2 ez 3，则RP PrPrPex 5 ey 3 ez且 RP P 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为xcos 1 ( ex gRP P )cos 1 (5)32.31oRP P35y cos 1 ( ey gRP P )RP Pz cos 1 ( ez gRP P )RP P1.4 给定两矢量 A

5、 ex 2 解 A 与 B 之间的夹角为cos 1 (3 )120.47 o35cos 1 (1 )99.73o35ey 3ez 4 和 Bex 4ey 5ez 6 ，求它们之间的夹角和 A 在 B 上的分量。ABcos 1( AgB )cos 1 (31) 131oAB2977A 在 B 上的分量为ABB313.532Ag77B1.5给定两矢量 Aex 2 ey 3 ez 4 和 Bex 6ey 4ez ，求 AB 在 Cex ey ez 上的分量。exeyez解 A B2 34ex13 ey 22 ez10641所以 AB 在 C 上的分量为(A B)C( AB)gC2514.43C31.

6、6证明：如果 AgBAgC 和 ABAC，则BC ；解由 ABA C，则有A (A B)A(AC) ，即( AgB) A(AgA)B( AgC ) A( AgA)C由于 AgB AgC ，于是得到( AgA) B( AgA)C故BC1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量， p AgX 而 PA X ， p 和 P 已知，试求 X 。解由 PAX ，有A P A ( A X ) ( AgX ) A ( AgA) X pA ( AgA) X故得XpAAPAgA.1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,标中的坐标。3解 （1）在直角坐标系

7、中x4cos(2 3)故该点的直角坐标为 ( 2,2 3,3) 。（2）在球坐标系中r42325 、故该点的球坐标为(5,53.1o,120 o),3) 定出，求该点在：（ 1）直角坐标中的坐标； （ 2）球坐2 、 y 4sin(23) 2 3 、 z 3tan 1 (4 3) 53.1o 、2 3 120o1.9 用球坐标表示的场 Eer 25 ，（1）求在直角坐标中点 (r 23,4,5) 处的 E 和 Ex ；（2）求在直角坐标中点(3,4,5)处E与矢量 Be 2e2e构成的夹角。xyz解 （1）在直角坐标中点 ( 3,4,5) 处， r 2(3) 242( 5)250 ，故Eer2

8、51r 22Ex ex gEE cos rx133225220（2）在直角坐标中点(3,4, 5)处， re3e4e 5 ，所以xyzE2525rex3ey 4ez5r2r 3102故 E 与 B 构成的夹角为EBcos 1 ( E gB )cos 1 (19 (102) )153.6oE gB3 21.10 球坐标中两个点 ( r1 ,1, 1 ) 和 (r2 ,2 ,2 ) 定出两个位置矢量 R1 和 R2 。证明 R1 和 R2 间夹角的余弦为coscos 1 cos解由R1ex r1 sin1 cos 1R2ex r2 sin2 cos 22 sin 1 sin 2 cos( 12 )

9、ey r1 sin1 sin1ezr1 cos 1eyr2 sin2 sin2ezr2 cos 2得到R1gR2cosR2R1sin1 cos 1 sin2 cos2sin1 sin1 sin2 sin 2 cos1 cos2sin1 sin2 (cos1 cos21 sin1 sin2 )cos1 cos2sin1 sin2 cos( 12 )cos1 cos21.11一球面 S 的半径为 5 ，球心在原点上，计算：?(er 3sin) gd S 的值。S蜒(er 3sin)gd S(er 3sin) gerd S252 sin2解d3sind75SS001.12在由 r5 、 z0 和 z

10、 4 围成的圆柱形区域，对矢量Aer r 2ez 2z 验证散度定理。解在圆柱坐标系中gA1(rr 2 )(2 z)3r2rrz425所以gA dd zd(3r 2) r d r1200000.又AgdS(e r 2e 2z) g(ed Se d Sed S )蜒rzrrzzSS4 2525 25dd z24r dr d12000000故有gA d1200?Agd SS1.13求（ 1）矢量 Aex x2eyx2 y2ez 24x2 y2 z3 的散度；（2）求gA 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（ 3）求 A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。解 （1） gA(x2 )(x2 y2

11、)(24 x2 y2 z3 )2x2x2 y 72 x2 y2 z2xyz（2） gA 对中心在原点的一个单位立方体的积分为1 21 21 21gA d(2 x2x2 y72x2 y2 z2 )d x d ydz1 21 21 224（3） A 对此立方体表面的积分?Agd S1 2 1 2 ( 1)2 d ydz1 2 1 2 ( 1) 2 d y dzS1 21 221 21 221 21 21 21 22x2 ( 1 )2 d x dz2x2 (1 ) 2 d x dz1 21 221 21 221 21 21 21 21) 3 d x dy24x2 y2 (1 )3 d x dy24

12、x2 y2 (11 21 221 21 2224故有gA d1?Agd S241.14S计算矢量 r对一个球心在原点、半径为a 的球表面的积分，并求gr 对球体积的积分。223解蜒r ger d Sdaasind4 ar gd SSS00又在球坐标系中， gr1(r 2 r ) 3 ，所以r 2r2agr d3r 2 sind r dd4 a300 01.15求矢量 Aex xey x2ez y2 z 沿 xy 平面上的一个边长为2 的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与 x 轴和 y 轴相重合。再求A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。22222解?Agd lx d xx d

13、x2 d y0d y 800C00exeyez又Axyzex 2 yzez 2xxx2y2 z2 2所以Agd S(ex 2 yzez 2x)gez d x d y8S0 0故有?Agd l8Agd SCS.1.16求矢量 Aexxey xy2 沿圆周 x2y2a2 的线积分，再计算A 对此圆面积的积分。蜒Agdl2a4解x d xxy2 d y( a2 cos sina4 cos2sin 2)dCC04AyAx2a 222a4Agd Sez)gez d Syd Ssinr dd r(yr4SSxS0 01.17证明：（ 1）gR3；（2）R0；（3）( AgR)A。其中 Re xeye z

14、，A为一常矢量。xyz解 （1） gRxyz3xyzexeyez（2）Rxy0zxyy（3）设 A ex Axey Ayez Az ，则 AgRAx xAy yAz z ，故( AgR)ex x ( AxxAy yAz z)eyy ( Ax xAy yAz z)ez( A x A y A z)ex Axey Ayez AzA1.18zxyz，那么函数 f (r ) 会有什么特点呢？一径向矢量场 Fe f ( r ) 表示，如果gF0r解 在圆柱坐标系中，由gF1 d rf (r )0r d r可得到f (r )CC 为任意常数。r在球坐标系中，由gF1d r 2 f (r )0Cr 2d r可

15、得到f (r )r21.19E gd l ：（ 1）沿抛物给定矢量函数 Eex yeyx ，试求从点 P1 (2,1,1) 到点 P2 (8, 2,1) 的线积分线 xy2 ；（2）沿连接该两点的直线。这个E 是保守场吗？解 （1） E gd lEx d x Ey d yy d x x d yCCC22y d(2 y2 )2 y2 d y6y2 d y1411（2）连接点 P1 (2,1,1) 到点 P2 (8, 2, 1) 直线方程为x2x8即x6 y40y1y222故E gd lEx d xEy d yy d(6 y4)(6 y4)d y(12y 4)d y14CC11由此可见积分与路径无

16、关，故是保守场。1.20 求标量函数x2 yz 的梯度 及在 一个指定 方向的方 向导 数，此方 向由单位 矢量.ex3ey4ez5定出；求 (2,3,1) 点的方向导数值。505050解222exx (x yz)ey y ( xyz)ez z( x yz)ex 2xyzey x2 z ezx2 y故沿方向 elex3ey4ez5的方向导数为zr5050504x2 z5x2 ygel6xyzrl505050rz点 (2,3,1) 处沿 el 的方向导数值为z361660112ol50505050y1.21试采用与推导直角坐标中gAAxAyAz相似的方法推xy导圆柱坐标下的公式xz题 1.21

17、图gA1(rArAAz 。)rrrz解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21 图所示。矢量场A沿 e 方向穿出该六面体的表面的通量为zzz zrrAr rr (rr )d r dArr r d r dzz( rr ) Ar (rr , z)rAr (r , z)z(rA r )rz1(rA r )rrr同理rr zzrrzzAd r d zAd r d zrzrz A ( r, z)A ( r , z)r zArzArrrrrzAz z z r d r dAz z r d r drr Az (r , zz)Az (r , z)rrzAz rrzAz因此，矢量场 A 穿出该六面体的表面的通量为zz

18、 1 (rAr )AAz rzrrrz故得到圆柱坐标下的散度表达式Alim1(rAr )AAz0rrrz1.22方程 ux2y2z2给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。a2b2c22x2 y2z解由于uex a2ey b2ez c2u2 ( x ) 2( y ) 2( z )2a2b2c2.故椭球表面上任意点的单位法向矢量为uxyzx2y2z2nu(exa2ey b2ez c2 )(a2 )(b2 )(c2)1.23现有三个矢量 A 、 B 、 C 为Aer sincose coscose sinBer z2 sine z2 cosez2rz sinCex (3 y22x)ey x

19、2ez 2z（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。解（ 1）在球坐标系中gA1(r 2 Ar )1(sinA )1Ar 2rr sinr sin1r (r211r 2sincos)r sin(sincoscos )r sin( sin )2 sincoscos2sin coscos0rr sinrr sinerrer sineA12 sinrrArrAr sinAerrer sine10r 2 sinrsincosr coscosr sinsin故矢量 A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在

20、圆柱坐标系中1(rBr )1BBzgB =rrzr1r(rz 2 sin)1( z2 cos )(2 rz sin )rrzz2 sinz2 sin2r sin2r sinrrerreezerreez110BrzrrzrBrrBBzz2 sinrz 2 cos2rz sin故矢量 B 可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中CxCyCzgC =yzx.exeyez(3 y 22x)( x2 )(2 z) 0Cyez(2 x 6 y)xyzxz3y22xx22z故矢量 C 可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为gA0，A0；gB = 2r sin，B0 ；1.24gC 0 ，Cez (2 x6y)利用直角坐标，证明解在直角坐标中g( fA)fgA Agff gA Ag ff ( AxAyAz ) ( AxfAyfAzf )yxzxyz( fAxf) ( fAyf) ( fAzAzfxAxyAyz)xyz( fAx )y( fAy )( fAz )g( fA)1.25证明xzg(AH )H gAAgH解根据算子的微分运算性质，有g(A H )A g( A H )H g( A H )式中A 表示只对矢量 A 作微分运算，H 表示只对矢量 H 作微分运算。由 ag(bc)cg(a b) ，可得A g( AH )H