2021版高考数学一轮复习第七章不等式第4讲基本不等式教学案理北师大版

1、高考总复习第4讲基本不等式知识，白回顾理匏制-杏实必帮知识最新考纲考向预测1L 了解基本彳；号式的U明过战命痂趋工理前若东不替式蚯的第H .之利用触木不等式求最直拜。第效.相后几何.不3,加升加强找联结合,分析国怆.转化。化口号&能W.忸沏曲森说2.套用出小不等式翻妻揄单的用忖为求最侑的打；情在而解机几何,法等人的所存的中匕件.年度中的,大 < 小班问我，111史学摭象数学运时/18走进教材、知识梳理a a + b1 .基本不等式abw 2(1)基本不等式成立的条件：a，0, b、0.(2)等号成立的条件：当且仅当a = b时取等号.2 .几个重要的不等式(1) a2+b2>

2、;2ab(a, be R).a+b*a, b同号).a+ b 2 ab< =2= (a, be R).a2+b2a+ b 2 (a,be R).以上不等式等号成立的条件均为a=b.3 .算术平均数与几何平均数一,，,， a+b -一，.* ，设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为=厂，几何平均数为樨，基本不等式可叙述为:两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.常用结论已知x>0, y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x = y时，x + y有最小值是25.(简记：积定和 最小)2(2)如果和x + y是定值p,那么当且仅当x = y时，xy

3、有最大值是弓.(简记：和定积最大)、教材衍化1 .设x>0, y>0,且x+y= 18,则xy的最大值为2解析：因为x>0, y>0,所以一2>，xy,即xy< 2 =81,当且仅当x=y = 9时, (xy) max= 81.2m.答案：812 .若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是解析：设矩形的一边为 x m,1则另一边为-X(20- 2x) =(10 -x)m,所以 y=x(10 x) <x+ ( 10x)2= 25,当且仅当x=10-x,即 x= 5 时，ymax= 25.答案：25、思考辨析判断正误(正确的打，错误

4、的打“X”)一， 1 ,，(1)函数y=x+-的最小值是 2.()xa+ b 23 2) ab< 成立的条件是 ab>0.()“X>0且y>0”是“y+%2”的充要条件.若a>0,则a3 + 5的最小值是2g答案：(1) X (2) X (3) X (4) X二、易错纠偏常见误区1K(1)忽视基本不等式成立的条件;(2)基本不等式不会变形使用.成立”的(11 . x>0 是 x+->2 xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选C.当x>0时,1 一=2. x1 x+->2 x因为x, 1同号，所以若

5、 x+->2,则x>0, 1>0,所以“ x>0”是“ x+->2成立”的充 xxxx要条件，故选C.2 .设x>0,则函数y = x+13；的最小值为2=0,3112= x+2 +=22x+1 22解析：y=x+5-2x I I当且仅当x + 1=, x+21，- I ,即x = 2时等号成立.所以函数的最小值为 0.答案：0考点II利用基本不等式求最值（多维探究）角度一通过配凑法利用基本不等式求最值.例国(1)已知 0<x<1,则 x(43x）取得最大值时x的值为一x2+2.(2)函数y=-(x>1)的取小值为x 1(1) x(4 3x

6、) =1 (3 x)(4 - 3x) < 1 - 333x+ ( 4 3x) 2 42=3?，r 2 ， 一一当且仅当3x=4- 3x,即x = w时，取等号3(2) y =x2+2x- 1，2_、，一 一、一(x 2x+ 1) + ( 2x 2)+3x- 1(x-1) 2+2 (x-1) +3x- 1= (x-1) + 3+2>2 J3+2. x- 1 v3当且仅当（x-1）=（x_1）,即x=出+1时，等号成立.(1)2 (2)2 J3+2 3角度二通过常数代换利用基本不等式求最值121a>0b>0lg a+lg b= lg( a+b),则 a+b 的最小值为()A

7、. 8B. 6C. 4D. 2由lga + lgr11b=lg( a+b), 信lg( ab)=lg( a+b), 即 ab=a+b, 则有a+g=1,所以 a+b= a+b(a+功=2+a+ b>2+2-b aa . b=4,当且仅当a=b=2时等号成立，所以a+b的最小值为4,故选C.角度三通过消元法利用基本不等式求最值( 一题多解)已知x>0, y>0, x+3y + xy=9,贝U x+3y的最小值为【解析】法一：由已知得x+3y = 9xy,又因为 x>0, y>0,所以 x+ 3y>2/3oy,x+ 3y 2 所以 3xy< -2-当且仅当

8、x=3y时，即x=3, y=1时取等号, (x+3y)2+ 12(x+3y) 108A 0.令 x + 3y=t ,则 t >0 且 t2+ 12t -108>0,得 t >6 即 x+3y>6.法二：由 x+3y+ xy = 9,得* =93y9 3y+ 3y (1 + y) 9 3y所以 x+ 3y = 1 + y + 3y=9+3y2 3 (1+y) 26 (1+y) + 121 + y 1 + y1212= 3(1+y)+币-6>2J3 (1+y) .乐-6=12-6=6.一，12当且仅当3(1 +y) = /7y，即y = 1时等号成立.所以x+ 3y的

9、最小值为6.【答案】6角度四多次利用基本不等式求最值1-4若be R, ab>0,贝Ua4+ 4b4+ 1ab的最小值为因为ab > 0 ,所a4+ 4b4+1274aV+ 14a2b2 + 1ababk = 4ab +1ab22a = 2b>2V4ab ab4,当且仅当 1ab= 2时取等a4+4b4+1ab的最小值是4.(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”“积为常数”的形式.(2)常数代换法，主要解决形如“已知 x+y = t (ta b为常数)，求x+y的最值”的问题,将m+ b转化为a+b x+ y,再用基本不等式求最值.(3)当所求最值的代数式中的变量比

10、较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后, 凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题 的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.医受过训练(2020 河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x>0, y>0,且1+ 2=1,x y则xy + x + y的最小值为1 21 22y解析：因为 x+ y= 1,所以 xy=y+2x, xy+ x+ y= 3x+ 2y= (3 x+ 2y)7+ y =7+ +->

11、;7+4，3(当且仅当 y=3x,即 x=1+乎，y= 2+43时取等号).所以xy+x+y的最小值为7+4>/3.答案：7+45考点基本不等式的实际应用(师生共研)回2J某车间分批生产某种产品， 每批产品的生产准备费用为 800元，若每批生产x件,1元.为使平均到每件产品的生产准x 则平均仓储时间为x天，且每件产品每天的仓储费用为 8备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品A. 60 件 B . 80 件 C . 100 件D. 120 件800x【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是 二丁元，仓储费用是x元,X8总的费用是 晒 + x>2A J800 - x=

12、20,当且仅当80°=X，即x= 80时取等号，故选 B. x 8. x 8x 8【答案】 B回园画目利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.每台机器生产的产品可)的关系为 y = - x2 + 18x -,而 x>0,故ywi8 2/25 =x8万元.庭受武训维 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析， 获得的总利润 y(单

13、位：万元)与机器运转时间 x(单位：年 25( x C N+),则该公司年平均利润的最大值是 万元.解析：每台机器运转x年的年平均利润为y=18- x+25 xx8,当且仅当x= 5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为答案：8考占E1基本不等式的综合应用(多维探究)角度一 与其他知识的交汇问题A1 (1)已知直线 ax+by+ c-1 = 0(b, c>0)经过圆x2 + y22y 5= 0的圆心，则微十1，一， 一的最小值是c(2)设等差数列an的公差是d,其前Sn 8n项和是S，若a=d=1，则=的最小值是【解析】(1)圆x2+y22y 5= 0化成标准方程,得 x2+(y1)2

14、=6,所以圆心为Q0, 1).因为直线ax+by+ c1 = 0经过圆心 C,所以 ax0+ b*1+c 1 = 0,即 b + c= 1.因此4+ 1-= (b+c) 4- +1 =4C+b+5.b cb c b c因为b, c>0,_4c b所以互+->2 b c当且仅当b=2c,且b+c= 1,r 21 ,41 _即b = 3，c = 3时，b + c取得取小值 9.n (1 + n)2'S + 8ann (1 + n)+n81- = 2(n+16n1)所以92，当且仅当n = 4时取等号.所以9的最小值是2(2) an= ai + ( n - 1) d= n, S=

15、9【答案】(1)9(2) 2角度二求参数的值或取值范围【解析】已知不等式（x+y）a >9对任意的正实数x, y恒成立，则正实数 a的最小(x + y) -+a = 1 + a + y+ >1 + a+x yx yax24a=(虫+ 1)2(x,y, a>0),当且仅当y =、/ax时取等号，所以（x+y） -+ a的最小值为（、/a+1）2, x y,所以（4a+1）2>9恒成立.所以a>4.【答案】4（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解.（2）条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.

16、（3）求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.任雯武训嫉）1.已知 x>0, y>0, lg 2 x+lg 8 y=lg 2 ,则十 ；的最小值是（）x 3yA. 2B. 2 2C. 4D. 2 3解析：选 C.因为 lg 2 x+lg 8 y=lg 2 ,所以 lg（2 x 8y） = lg 2，所以 2x+3y = 2,所以 x + 3y = 1.因为 x>0, y>0,所以1+>（x+3y） -+1- =2+2 + 白2+2、但慨=4,当且 x 3yx 3yx 3yx 3y,1 , _ 一 11一一仅当x=3y=

17、2时取等号，所以x+药的最小值为4.故选C.2.已知直线l : ax + byab= 0（a>0, b>0）经过点（2,3）,贝U a+b的最小值为 .解析：因为直线l经过点（2, 3）,所以2a+3b-ab=0,3 2则 a+s=1,3b 2a所以 a+b=(a+b) + b = 5 + + b>5+ 2 6.，13b 2a当且仅当一=, a b即a = 3+<6, b=2+，6时等号成立.答案：5+2季x + ax +113.已知函数f(x) = 1(aCR),若对于任意的 xNk, f(x)>3恒成立，则a的 x i I取值范围是.解析：又任意xC M, f

18、 (x) >3恒成立，a x2+ ax+11一4口门8即 x _1_ 1>3 恒成乂，即 a> x+ x + 3.设 g(x)=x+8,当 x = 8,即 x=2，2时，g(x)取得最小值，又 xCN*,则 g(2) =6, g(3) x x_17=y.因为 g(2) >g(3),所以 g(x)min=*3所以一x+ + 3w-x3所以a»2，故a的取值范围是38-1-003，答案:8-4-003后你素养，尊培优圆昌国旗利用均值定理连续放缩求最值.c1.已知a>b>0,那么a +的最小值为【解析】 因为a>b>0,所以ab>0,所

19、以b(ab)w b+a-b2=，所以a2+所以°<f +124b(a b)=4,> a + -2 a21，a+bTT的最小值为4.团设a>b>0,则a2 +ab+ a (a b)的最小值是【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,所以a2+ab' a (a b)21=("ab)+l?b5+ ab+ ab> 2-ab).70k+2H><ab=4(当且仅当a2 ab=尹法且ab二ab,即 a=2b=乎时取等号）.当且仅当b=ab且a2=，即2=，2且b=当时取等号，所以特别是当连续利用基本不等式求函数或代数式的最

20、值时一定要注意验证等号是否成立,多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,是检验转换是否有误的一种方法.拓展嫉习已知正实数a, b11 ,一，一c, d满足a+b=1，c + d=1，则嬴+ d的破小值是A. 10B.C. 4 2D.3 .3解析：选B.因为a+b=1,a>0,a+ b 2 1 1，b>0,所以ab< =4,所以犷4,当且仅当a1一 一= b=2时，取又因为c+d=1, c>0, d>0,所以ObC+d>4c+d4 1= (c+

21、d) - c + g4d c= 5 + + d>5 +4d c2、/wd=9,121 ,_11,i.当且仅当a=b=-,且c=§, d=§时，取等号,即品+ d的最小值为9,故选B.卜列不等式一定成立的是(基础题组练1.A.lg x2 + 4 >lg x(x>0)B.1sin x+sn-x>2(xwkjt,kCZ)C.x2+1>2| x|( xC R)1d.r >1(xeR)解析：选C.对于选项 A,当x>0时，x2+1 x=1 2 x-2>0,所以 lg x、4 >lg x；对于选项B,当sin x<0时显然不成

22、立;对于选项C,对于选项D,x2+1=|x| 2+1>2| x| , 一定成立;因为 x2+ 1 >1,<1.故选C.2.(2020 广西钦州期末)已知a,bCR, a2+b2=15ab,则 ab 的最大值是()A.15B.12C.D.解析：选 C.因为 a2+b2= 15ab>2 ab,所以 3abw 15,即 abw5,当且仅当 a= b= ± /5时等号成立.所以ab的最大值为5.故选C.3.已知 f(x) =x 2x +11,则f(x)在5，3上的最小值为(x21A.24B-3C. 1D. 0解析：选D.f(x)x 2x +11= x+-2>2-

23、 2=0,当且仅当x = -,gp x=1时取等 x1 ,， 1，一，一1C 2，3 ,所以f（x）在2，3上的最小值是0.1 2 一4.右实数a, b满足a+b=，Ob,则ab的最小值为（）A. 2B. 2C. 2 2D. 412 一解析：选c.因为a+b=qob,所以a>o, b>o,1 2由再a+b*所以ab>2小（当且仅当b= 2a时取等号），所以ab的最小值为 2 2.5. （2020 湖南衡阳期末）已知P是面积为1的 ABW的一点（不含边界），若4 PAB PA刖PBC勺面积分别为x, v, z,则宁 + 占的最小值是（x y zA.B.,3+ 23-1 C.3D

24、. 3解析：选D.因为x + y+z=1,0<x<1, 0<y<1 , 0<z<1,所以以匚T xy+ z x1 x 1 x + x 1 x x 1> 2 x 1 x x 1 xx xx 1 x一占+1=3,当且仅当心=一 1 ,即x =时y + z 1等号成立,所以i+在的最小值为3.故选D.6. 已知a>0, b>0, 3a+b=2ab,则a+b的最小值为 .解析：由 a>0, b>0, 3a+b=2ab,得;3+71=1, 2b 2a所以a+b=(a+b)； = 2+|a+=>2+J3,当且仅当b=3a时等号成立，则

25、a 2b 2a2b 2a+ b的最小值为2+43.答案：2十道sin 2x7. (2020 江西吉安期末)已知函数f(x)=sin x+2,则f(x)的最大值为 ., 一、222(t2)4解析：设 t =sin x+2,则 t C 1 , 3,则 sin x= (t 2),则 g(t) =1=t +-4（1wtw3）,由“对勾函数”的性质可得g（t）在1 , 2）上为减函数，在（2, 3上为增函、“，一1数，又g=1 , g(3)=所以g(t ) max= g=1.即f(X)的取大值为1. 3答案：18.已知正数x, y满足x+22Xyw入(x + y)恒成立，则实数 入的最小值为 .解析：依

26、题意得x+2#xywx+(x+2y) =2(x+y), 即"22 w 2(当且仅当 x=2y* x十 y时取等号),即x+2y药的最大值为2.又入川.+乎刘恒成立因此有人>2,即入的最 x+yx+y小值为2.答案：29. (1)当x<3时，求函数y=x+ 8的最大值; 22x 3(2)设0<x<2,求函数y=x (42x)的最大值.丘183解：(1) y=2(2x3)+2 + 232x832 +3-2x +2.3当 x<2时，有 3-2x>0,所以8,= 4 3-2x'当且仅当3-2x2832x'1 ,一即x= 2时取等号.35于是

27、 yw 4 + 2= 2, 5故函数的最大值为一2.(2)因为 0<x<2,所以 2 x>0, j x x 厂 x+2 1 x 厂 ,一.所以 y= «x(4 2x)= 212- yjx(2 x)& /,2= V2，当且仅当x= 2 x,即x=1时取等号，所以当x=1时，函数y=Rx (42x)的最大值为小.10.已知 x>0, y>0,且 2x+ 8y-xy= 0,求xy的最小值；(2) x + y的最小值.一一 8 2解： 由 2x+8yxy = 0,得x+y= 1,又 x>0, y>0,得 xy>64,当且仅当x=16,

28、y = 4时，等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由 2x+8y xy=0,得8+2=1, x y8y, = 18. x=10 + % 8y>10+2 y x当且仅当x=12, y= 6时等号成立,所以x+y的最小值为18.综合题组练1.已知a>0, b>0,若不等式a + b>af3b恒成立，则 m的最大值为(A. 9B. 12C. 18D. 24解析：选区3 1B.由一十,a b a+3b/口319b a得 rnc(a+3b) a+b =占 + b+6.9b aX +-+6>2 aJ9+6= 12, a b -9b a.当且仅当-b=a,即a= 3b时等号

29、成立， a b所以me 12,所以m的最大值为12.2. (2020 湖北恩施2月教学质量检测)已知角a, B的顶点都为坐标原点, x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，a, B终边上分别有点 A(1,a),a = 2 3 ,则b的最小值为()aA. 1B.2C. .3D. 2始边都与B(2 , b),且解析：选C.由已知得，a>0, b>0, tan a = atanb 一，3=2,因为a=2p,所以tanb224b 1所以 a=-=4772,所以£+ b=1- 24-b23b4T+b=b+7 >23b了，即b = ¥3时，取31故a+ b的最小值为4

30、3.3.(2020 安徽合肥第二次教学质量检测)若a+bw0,则 a+b + -2的最小值(a+ b)2解析：a2+ b2+2>7H(a+b)212A 2(a+b) 2白木,当且仅当a=b=2-1O O1时,a + b + FT取得最小值机答案：24.当xCR时，32x(k+1)3x+2>0恒成立，则k的取值范围是解析：由 32x-(k+ 1)3x+2>0,解得 k+1<3x+|<.3因为3x+|x>2J2当且仅当3x=|<,即<=10gH2时, 313等号成立，2所以3x十齐的最小值为2啦.3又当 xCR 时，32x(k+1)3x+2>0 恒成立,x 2所以当xC R时，k+1< 3+3x巾所，即k+1<2啦，即k<2近一1.答案：(8, 272