2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算教学案理北师大版

1、高考总复习者向预测第1讲 平面向量的概念及线性运算最新考纲L 了解向M的塞除背起.L期航平直向址的(M志，耳增西中的立柳部的*义.工理新向掂的IL柯衣示.4一餐解冏过加注.履法的送舞方理解其几何如L工拿餐向H虢果的运茸及屎几忖意曳.理新两个向总宾 线的常史.6. 了帮向址建性运品的性寅程其瓜同盅乙f 弋钝 r .：I'.i； f-.：ui朴' m 1 '威应、电塞向at 及“几何意止.M城同址定即用，三箱阐股 例析JL何史 汇著售.仃M出念看创哥的新定M刑国. 国勘舞题. 坡空M为主. M F中慨口.倜尔会在解客制中怵为工具 出此核心素养立规思簟.我不给也识丁 回。回顾

2、理物科充父联苗如t£ .走进教材一、知识梳理1 .向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模._(2)零向量：长度为 0的向量，其方向是任意的. 单位向量：长度等于 1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向里和的运算a三角形法则交换律：a+b= b+ a； 结合律：(a+b)+c =a+ (b+c)平拧四边影法则减法求a与b的相反向量b的和的运算

3、a- b= a+ （ b）三俗唐法剜数乘求实数人与向量a的积的运算I 入 a| = 1 1 II a| 入0时，入a与 方向相同;当入0时，入a一，当a的与a入（i a）=（入一）a；（入 +（1） a=入 a+ji_a；入（a+ b）= a+ + b的方向相反;当入=0时，入a = 03.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数入，使得b=(a,则向量b与非零向量a共线.(2)性质定理：若向量 b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得b=入a.常用结论1 .几个特殊向量(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.(2)单位向量有无数

4、个，它们大小相等，但方向不一定相同.(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量.(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量 fa和 Ta?I a|I a|2 .五个常用结论(1) 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量 的终点的向量，即嬴+淳+嬴+ aUa=AAk特别地，一个封闭图形首尾连接而成的 向量和为零向量.(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则 021(OAOb.若A, B, C是平面内不共线的三点，则 PAPb+Pc= 0? P为ABC勺重心. 在4ABC中，AD BE CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点

5、G如图所示)，易知G为 ABC勺重心，则有如下结论:孤询Gc= 0； AG= 3（ AB+AC；(5)若OA=入O国wOC入，w为常数)，则A, B, C三点共线的充要条件是入+ w = 1.、教材衍化1 .已知？ABCD勺对角线 AC和BD相交于 O,且Oa= a, Ob= b,则DC=, BC=（用a, b表木）.11解析:如图，DC=XB=Ob-Oa= b-a,BC> Oc- OEB= - Oa-OeB= a-b.答案：b - a 一 a 一 b2 .在平行四边形 ABCDh 若| AB+Ad = | AB而，则四边形ABCD勺形斗犬为 解析：如图，因为AB+AD=AC Ab- A

6、D=D所以| AC = |DB.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形 ABCD1矩形.答案：矩形一、思考辨析判断正误(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2)零向量与任意向量平行.()(3)若 a/ b, b/ c,则 all c.()(4)若向量AB归向量CD1共线向量，则 a B, C, D四点在一条直线上.()(5)当两个非零向量a, b共线时，一定有 b= Xa,反之成立.()(6)在ABCf, D是 BC的中点，则 AD-：(AB+AC.()答案：(1) x (2) V (3) x (4) x (5) V (6) V

7、二、易错纠偏常见误区| K(1)对向量共线定理认识不准确；(2)向量线性运算不熟致错；(3)向量三角不等式认识不清致错.1 .对于非零向量a, b, “a+ b= 0”是“ a / b”的()A.充分不必要条彳B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.若a + b=0,则a=- b,所以all b.若all b,则a+b=0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.2 .设D, E分别是 ABCW边AR BC上的点，AD= 2AB BE= |bC若DE=入iAB+入而入1, 入2为实数)，贝U 入1 = , 入2= .无力上广二>=>>1>2-&

8、gt;1->2>>1->2>uLr、r12解析：D E=D抖 BE= 2AB+ §BC=万AB+ §(BAC = 一§AC 所以 入三6，入 2=-.1 答案：-63 .已知向量a, b,若|a| = 2, |b|=4,则|a b|的取值范围为 .解析：当a与b方向相同时，|ab| =2,当a与b方向相反时，|ab| =6,当a与b 不共线时，2<|ab|<6,所以|a b|的取值范围为2, 6.此题易忽视a与b方向相同和a 与b方向相反两种情况.答案：2 , 6诩者向，百市者例考法学生用书P82考点a平面向量的有关概念（

9、自主练透）1 .设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则 a=|a|a0；若a与a0平行，则 a=| a| ao；若a与a0平行且| a| =1,则a = a0.上述命题中，假命题的个数是 （）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选D.向量是既有大小又有方向的量， a与| a| a。的模相同，但方向不一定相同， 故是假命题；若 a与a。平行，则a与a。的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向 时a= |a|a。，故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.a b2.设a, b都是非零向量，下列四个条件中，使 高=百成立的充分条件是（）A. a= bB. a/ bC. a=2bD. a/

10、b 且| a| = | b|一 ，一 a .一 ，一 b .一 a解析：选C.因为向量荷的方向与向量a相同，向量画的方向与向量b相同，且两所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项 A | b|，B, D.当a=2b时，看=?，故“ a=2b”是“号=*”成立的充分条件. | a| 2b|1bl| a| b|3.给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若 | a| = | b| ,则 a= b 或 a= b；若A B, C, D是不共线的四点，且 AB= DC则ABCD；平行四边形；a= b的充要条件是| a| = | b|且a / b;已知入，叱为实数，若Xa=9，则a与b共

11、线.其中真命题的序号是.解析：是错误的，两个向量起点相同， 终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等， 不一定有相同的起点和终点.是错误的，|a| = |b|,但a, b方向不确定，所以 a, b的方向不一定相等或相反.是正确的，因为 AB=DC所以|俞 =|DC且AB/DC又A, B, C, D是不共线的四点， 所以四边形 ABC师平行四边形.是错误的，当a/ b且方向相反时，即使| a| = | b| ,也不能得到a= b,所以| a| = | b| 且a/ b不是a= b的充要条件，而是必要不充分条件.是错误的，当入=。时，a与b可以为任意向量， 满足Xa=科b,但a与b不一 定共线.答

12、案：辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是 0,规定零向量与任何向量共线.考点平面向量的线性运算(多维探究)角度一向量的线性运算例正11(1)(2018 高考全国卷I )在 ABC43, AD为BC边上的中线，E为AD的中点,(2)在四边形 ABCDK 鼠的 AC与BD交于点O, E是线段O型中点，AE的延长线与。吩于点F,则()“ -> 1 > 2>- -

13、> 2> 1>A.AF= -AO-BDB. AF= -AO-BD3333c.Af= 4a(> |bdd, af= |a(> 1bd【解析】金一一法一：如图所示， Eb= Ed>Db= |ADw|Cb= -x-(Ab+ AC+jAB-Ac)=-Ab-；AC 故 选A.法二：Eb= Ab-Ae= Ab-AD= Ab-|x|(Ab+ AC=：AB-：AC 故选 a.(2) fl F ('区AE在四边形ABCDh如图所示，因为BC= Ab所以四边形 ABC时平行四边形.由已知得一 1 一 .一、.一 1一一 一 2一 2 一一 2 BD-ACDE= -EE5

14、,由题意知 DE田 BETA 则 DF= -AEJ,所以 CF=qCD= -( OtD- O(C=-x-=333332-> >> > .BD- AC -一一BD- AC 21,所以 AF= AO CF= AO = -AO -BD),故选 B. 3333【答案】 (1)A(2)B角度二 根据向量线性运算求参数例1亘(一题多解)如图，在直角梯形 ABC由，DC=(AB, BE= 2氏 且Afe= rAB+ sAD,则 2r + 3s=()A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】由题图可得AE= AB+氏=1超2(超1曲 334 12因为AE= rAB+sAQ 所以 r =

15、, s = §,则 2r+3s=1+2=3.法二：因为孤2氏所以AEAB=2(AC-AE,整理，得Ad；AB升2Ac=Ab+ 1(A2D) 33331 一 2一 一=-AB+ .AQ以下同法23法三：如图，延长. .f 1f 一AD BC交于点P,则由DO%AB导DC/ AB且A5 4DC又BE= 2EC所以E为PB的中点，且AP三3AD于是,> 1 , > >14>AE= 2( AB+ AB =2 AB+ §AD12= -AB+ -AD以下同法 23法四：如图，建立平面直角坐标系xAy,依题意可设点 B(4ni 0), D(3 m 3h), E(4

16、32h),其中 m>0, h>0.由 AE= rAB+ sAD,得(4簿2h) = r(4rq 0)+s(3n 3h),1 r = 2,2 s=3?4m= 4mr+ 3ms所以解得2h= 3hs,所以 2r+ 3s= 1+2=3.【答案】 C窗第造的平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则.（2）求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.1. （2020 福州模拟）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割

17、有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以A B, C, D, E为顶点的多边形为正五边形，且手 写.则下列关系中正确的是（）D. AT+解析：选A.由题意得，BPTS= TE-tSSE= YS_=y5普前 所以A正确；CXQFTP ,512"2-= PA+TP=TA= "5尸ST,所以b错误； 泡 AP= Rc-Qc= Rq=吏2'如 所以c错误；AT+ Bq=sd>RD 木;1CR=RS= RD-由 若AT+BQ=乖1CR则SD= 0,不合题意，所以d 错误.故选A.2.在 ABC4点D在线段BC的延长线上，且BC= 3CD点O在线段CD上（与点C, D不

18、重合），若AO= xAB+（1 x）AC则x的取值范围是 .解析：设 C芋 yBC 因为 AO=AC>Co= AC计 yBC= AC> y（ AC-Ab = yAB （1 +y）AC因为BC= 3CD点O在线段CD上（与点C, D不重合）.所以ye 0, 1 ,3因为 AO= xAB+ (1 -x) AC1所以x=-y,所以xC 3, 0 .答案：3，0考点制平面向量共线定理的应用(典例迁移) 例 设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB= a+b, BC= 2a+8b, CD= 3( ab),求证：A, B, D三点共线;(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【解】(1)

19、证明：因为 AB= a+b, Bb= 2a+8b, CD= 3( ab),所以 BD=鼠 CD= 2a + 8b+3(ab) =5(a+b) = 5AB所以AB BD洪线，又它们有公共点 b,所以A, B, D三点共线.(2)因为ka+b与a+kb共线，所以存在实数 入,使ka+b=入(a+kb),即(k入)a=(入 k-1)b.又a, b是两个不共线的非零向量，所以k入=入k 1 = 0.所以卜21 = 0.所以k=±1.【迁移探究1】(变条件)若将本例(1)中“BC= 2a+8b”改为“ BC= a+nfe”，则m为 何值时，A B, D三点共线？解：BC>CD= (a+n

20、fe) + 3( a- b) =4a + ( mr 3) b,即 BD= 4a+(mr 3) b.若A, B, D三点共线，则存在实数入，使Bb=入AB,即 4a+ ( mr 3) b=入(a+ b),4=入,所以3=入，解得mp 7.故当mF 7时，A, B, D三点共线.【迁移探究2】(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为ka+b与a+kb反向共线，所以存在实数入，使 ka+ b=入(a+ kb)(入 v 0),k=入所以 '所以k=±l.k 入=1,又入0, k=入，所以k= - 1.故当k= 1时，两向量反向共线.共线向量定理的3个

21、应用(1)证明向量共线：对于向量 a, b,若存在实数 入，使2=入b(bwo),则a与b共线.(2)证明三点共线：若存在实数入，使危=入此则A, B, C三点共线.(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.注意证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.1.设两个非零向量 a与b不共线，若a与b的起点相同，且a, tb, 1(a+b)的终点在3同一条直线上，则实数 t =.一一一1.一，一，一一八 I 一解析：因为a, tb, 3( a+b)二个向重的终点在同一条直线上，且 a与b的起点相同，1 21所以atb与a、a+b)共线，即a t b与§a3

22、b共线，所以存在实数 入，使atb=入|a-b ,所以解得X =1, t =1.3322答案:2 .如图，一直线 EF与平行四边形 ABCD勺两边AB, AD别交于E, F两点，且交对角7 2 1 线AC于点K,其中AE= 5AB AF= 2AQ AQ入AC则入=.21_解析：因为 AE= 5AB AF= 2AQ所以 AB= |a AD= 2AF.由向量加法的平行四边形法则可知，AC= 超 心所以Aq入AC=入（危+而=入5XEe+ 2酢=5入AE+ 2入即 由E, F, K三点共线，可得入=9,答案:提素养砧展解题思路学生用书P84曲日鸣党共线定理的推广与应用共线定理 已知鬲 而为平面内两个

23、不共线的向量，设PC= xPA+ y昭 则 A B, C三点共线的充要条件为 x+ y= 1.推广形式 如图所示，直线 DE/ AB C为直线DE上任一点，设PC= xPAyPRx, y e R）.当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F,因为点F在直线AB上，所以 由三点共线结论可知，若 PF=入PA+ PB入，C R）,则 入+ = 1.由 PAB与 PED相 似，知必存在一个常数 me R,使得 咯 m PF,则PC= miPF= m入PA+ mii PB一，一 ， Z"L 一一 一又PC= xP yPRx, ye R）,所以 x+ y= m入 + m（i = m以

24、上过程可逆.因此得到结论：PC= xPA+ yPB则x + y=m（定值），反之亦成立.（应用实例）例IU如图，在正六边形 ABCDEF, P是CDE内（包括边界）的动点，设AP= a 正 § AF （a , § C R）,则a + 3的取值范围是.【解析】当P在CDEJ时，直线 EC是最近的平行线，过 D点的平行线是最远的,ANAMADAM=3W4例如图所示，A B是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆 O外一点D,若Oc= mnOA nOB则m n的取值范围是【解析】由点D是圆O外的一点，可设BD=入函 入1）,则OD=O拼BD=O跳入BA=xOAv（i

25、入）Ob 因为 c, q d 三点共线，令 Od= OC w > 1）,所以 Oc= OA-11 一入 f入 OB 入 > 1, （1 > 1）.因为 OC= mOA nOB 所以 m= , n=1入入,贝U m n=一 111 一入1 e（ 1, 0）.1【答案】（ 1, 0）例叵）如图，在扇形OAB43,兀.一/ AOB=万，C为弧AB上的动点，若OC xOAF yOB 则 x+ 3y的取值范围是【解析】OG= xOAb 3y OB,如图，作OB =OB则考虑以向量33OA oB为基底.显然，当C在A点时，经过m-r 1的平行线，当 C在B点时，经过rnr 3的平行线，这

26、两条线分别是最近与最远的平行线，所以x+3y的取值范围是1 , 3.高考总复习练,磴停突破1.如图，已知用Oa OBt示Op则O诲于（基础题组练1 一 4 一 A. -OA- -OB331 4B.二OAF 二OB 33-1 力、4-C. oaf -ob333.13解析：选 c.OfOAfApO/af4AB= Oaf：（Ob-OA = 1OAb4OB故选 c. 33332.在ABC, AB= 2, BC= 3, Z ABO 60° , AD为 BC边上的高，O为 AD的中点，若AO=xAB+BC其中 入，则 入十科等于（）1A. 1B.万D.1C.3.一.、.一一 一 一1 -解析：选

27、D.由题意易得AD= AB+BD=AB+,BC 3所以 2AO=AB+ 1BC 即 AO= 1AM 1BC 326一1 1故入+2+6=2高考总复习3. （2020 广东华附、省实、广雅、深中联考）设a, b是非零向量，记a与b所成的角为0 ,下列四个条件中，使a b ,、，、一一，一 =7=7订成立的充要条件是（1al 1bl315A. a / bb. e =0D. 9 = Tt兀C. 8 = "2"a b .解析：选B.百=百等价于非零向量a与b同向共线，即0=0,故选B.4. （2020 合肥一模）已知A B, C三点不共线，且点 O满足16O/V 12OEB- 30

28、0 0,则（）a.OA= 12AB+ 3ACb. 0A= 12AB- 3ACC.OA= 12AB+ 3ACD. 0A= - 12AB- 3AC解析：选 A.对于 A, 0A= 12AB+ 3AC= 12( OB- OA+3(Oc- OA = 120b 300 150A 整5.如图，在 ABCKB. 3理，可得160A 120B- 3OC0,这与题干中条件相符合，故选 A.A. - 3C. 2D. - 2解析：选B.因为正曲曲电；Bb= 3( M AB 岩枢 3AB= gx |ac> ； XB= | ac> 3 瓯所以 Ap= AB+ |aC> |AB=|aB+ 2ac又AP=

29、 xAB+AC 所以入=2，w=|,入 2 9所以=2X|=3.故选B.(13 26,若|AB = |AC = |XB-A(c = 2,则|AB+AC=解析：因为| XB = |丽=|晶-丽=2,所以 ABC边长为2的正三角形，所以| XB+AC为 ABC勺边BC上的高的2倍，所以|超丽=2*.答案:2 .37.已知O为ABCJ一点，且2AC）=ObfOc 俞=tAC,若B, Q D三点共线，则t的 值为.解析：设线段 BC的中点为 M则ObfOg= 20M因为2A0= 0跳0c所以A0= Om则 A0= 1AMl= ；(AB+ AC = 1244由B, Q D三点共线，得4+ 4t=1,解得

30、t=J.1答案：a38.在 ABC中，/ A= 60° , /A的平分线交 BC于点.-> 1 >D，若 AB=4,且 AD=入AB（入e R）,则AD的长为解析：因为B,D, C三点共线,AB的平行线交AB,AC于点M N,的平分线交BC于点D,所以四边形B1 . 1所以4+入=1,解得入卷如图，过点D分别作因为 ABC中，Z A= 60° ,ACAMDN1菱形，因为 AB= 4,所以 AN= AM= 3, AD= 373.答案：3 ,;39.在ABCf,D, E分别为BC AC边上的中点，G为BE上一点，且GB= 2GE设AB= a,AC= b,试用a, b

31、表示心AG解：Xb= 1(AB+AC = 2a+；b;丁二21 二 211111.AG= AB+ BG= AB+ "BE= AB+ "(BA BQ ="AB+ "(AOA§ ="AEB "AO "a+"b. 3333333310.经过 OABt心G的直线与 OA OM别交于点 P, Q,设02mOA 0Q= nOB簿n,1 1 , 一e r,求一+-的值. n m解：设 OA a, OB= b,则 Og 1(a+b),PUOoOa nb-na,PG=OgOp= 1（a+b）-na= 1- ma+1b. 3

32、33由P, G Q共线得，存在实数入使得PQ=入比即 nb-ma=入ma + ：入 b,331-m=入了一m , 3 一 一1则消去入，得一十 = 3.1n mn=可入，3综合题组练1.已知向量a, b不共线，且c=Xa+b, d = a+（2入一1）b,若c与d反向共线，则 实数人的值为（）1A. 1B.一工1 1八1c. 1 或一2d.1或一解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使c=kd(kv0),于是 入 a+b = ka +X = k（2入一1）b.整理得 入a+b=ka+（2入k k）b.由于a, b不共线，所以有整2 入 kk=1,一。.一.1一.1理得2人一入一 1 =

33、0,解得 入=1或入=2.又因为k<0,所以 入<0,故 入=一2.一 . . 一一 12.（ 一题多解）如图，在ABC,点D在线段BC上，且满足BD= DC过点D的直线分别交直线 AB AC于不同的两点 M N若水 mAB & nAC则（）A. n是定值，定值为2B. 2m n是定值，定值为 3C.m+ n是定值，定值为 2D.2+1是定值，定值为 3m n高考总复习AC 1 一解析：选D.法一：如图，过点C作CE平行于MNK AB于点E.由AN= nACT得二一，所 AN n,、,AE AC 1,1BM 1 AM n 2n 一 一以EMT CNT n1 ' 由 BD= 2DC可信 ME"飞 所以 ABT-FP7=3n7' 因为 AM= mAB 所以 m n+丁2n3n1142 1整理可得十 =3.m n法二：因为 M D, N三点共线，所以AD= xAk（1 入） AN又AM= mABAhJ= nAC；所以AD= XmAB+ （1 入） nAC又BD= gDC 所以Ab-AB= 2ac-2aD所以Ab= 3AC+ 3AB比较系数知 入m=3，（1 入）n=3，所以m: