2021版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.3圆的方程教学案苏教版

1、第三节圆的方程最新考纲1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.课前自主回顾打除双基方点-10 -必备知识项充:11.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x a) 2+ (y b) 2= r 2( r > o)圆心(a, b),半径r一般方程x2+ y2+ Dx+ Ey+ F= o, (E2+ E2- 4F>o)D E 圆心二U 一 2 ,半径支D2+ E2 4F2.点与圆的位置关系点 M(x0, yo)与圆(x a)2+(y b) 2= r2 的位置关系： (1)若 Mx0, yo)在圆外，

2、则(xoa)2+ (yob)2>r2. (2)若 Mxo, yo)在圆上，贝U (xoa)2+ (yo b)2= r2. (3)若 Mx。，yo)在圆内，则(xoa)2+(yob)2<r2.常用结论圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线.学情自测验收一、思考辨析(正确的打，错误的打“X”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2 + y2 = a2表示半径为a的圆.()A= Cw o, B= o, D2+E2-(3)方程 x2+y2+4mx- 2y+ 5m= o 表示圆.()(4)方程

3、A弋+ Bxy+ Cy2 + Dx+ Ey+ F= o表示圆的充要条件是4AF>o.()答案(1)，(2) X (3) X (4) V、教材改编221 .圆x+y 4x + 6y=0的圆心坐标和半径分别是 ()A. (2,3) , 3B. ( -2,3),艰C. (2, 3), 13D. (2, 3), #D 圆的方程可化为(x2)2+(y+3)2= 13,所以圆心坐标是(2, 3),半径=产.2.已知点A(1 , 1), B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是()A. x2+y2=2B. x2+y2= 2C. x2+y2=1D. x2+y2=4A AB的中点坐标为(0,0),|

4、AB=JT二一二1一百一-1-1 2 =242，所以圆的方程为 x2 + y2=2.3.过点A(1 , 1), B( 1,1),且圆心在直线 x+y 2=0上的圆的方程是()A. (x-3) 2+(y+1)2=4B. (x+3)2+(y- 1)2=4C. (x1)2+(y1)2=4D. (x+1)2+(y+ 1)2=4C 设圆心C的坐标为(a, b),半径为r.因为圆心C在直线x + y2=0上，所以b = 2 一a.又| CA = | CB ,所以(a- 1) +(2 a+1) = (a+1) +(2 a- 1),所以 a=1, b=1.所 以 r = 2.所以方程为(x1)2+(y1)2=

5、4.4.在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0) , (1,1) , (2,0)的圆的方程为 .x2+y2-2x=0 设圆的方程为 x2+y2+Dx+ Ey+ F= 0.二.圆经过点(0,0) , (1,1) , (2,0),F=0,D= 2,. 2+D+ E+ F=0,解得 E= 0,4+2D+ F=0,F=0.，圆的方程为x2+y22x=0.总结常考考点 课堂考点探究 敏解高当疑堆考点1圆的方程鼠通法求圆的方程的2种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a, b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出 a, b, r的值

6、；选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E, F的方程组，进而求出D E, F的值.|同典例(1) 一题多解已知圆E经过三点A(0,1) , B(2,0) , C(0 , 1),且圆心在x轴的 正半轴上，则圆 E的标准方程为()+ 2 253B. x+4+ 2 253 C. x 42+ y2-253 D. x-42+,_25(2) 一题多解已知圆C的圆心在直线 x+y = 0上，圆C与直线x y=0相切，且在直线 x-y-3=0上截得的弦长为 平,则圆C的方程为(1) C (2) (x-1)2+(y+1)2=2(1)法一：(待定系数法)设圆E的一般方程为x2+y2+ Dx+ Ey+ F=

7、 0( D2+ E2-4F>0)1+ E+ F=0, 则由题意得4+2D+ F= 01 E+ F=0,3 D=2,解得E= 0,F=- 1,所以圆E的一般方程为x +y -2x-1 = 0,3 22 25即 x4 +y=而.法二：(几何法)因为圆E 经过点 A(0,1) , B(2,0),所以圆E的圆心在线段1AB的垂直平分线 y-=2(x 1)上.又圆E的圆心在x轴的正半一 3轴上，所以圆E的圆心坐标为所以圆E的标准方程为x4则圆E的半径为| EB| =+ y =后(2)法一：由圆C的圆心在直线x + y=0上，.设圆C的圆心为(a, a).又圆C与直线xy=0相切,，半径 r = ,

8、= 42|a|.又圆C在直线xy 3=0上截得的弦长为6|2 a3|圆心(a, a)到直线x-y-3=0的距离d=f一,2，d2+ 停22a 3 2 32=r ,即2+ 2= 2a ,解得a=1,圆 C的方程为(x1)2+(y+ 1)2=2.法二：设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+ Ey+ F= 0, 则圆心为 一D, E ,半径r =/仃+：-4F, 丁圆心在直线x+y=0上，D E r 2 2= 0,即 D+ E= 0,又圆C与直线xy=0相切，D EM-L 刖 JF，,22即(D E) 2= 2( E2+ E2-4F),D2+ E2+2DE- 8F=0.D E又知圆心一2, 2到直线x

9、 y3= 0的距离D E一尹 2一 3d =7=2由已知得d2+ -26 2=r2,(D- E+ 6)2+12 = 2( D2+E24F),D= -2,联立，解得E= 2,F=0,故所求圆的方程为 x2+y2-2x + 2y=0,即(x 1)2+(y+1)2= 2.|点评 几何法与待定系数法是解答圆的有关问题的两种常用方法，求解圆的方程时， 可采用数形结合的思想充分运用圆的几何性质，达到事半功倍的效果.|电嚓题1.若不同的四点A(5,0) , B( - 1,0) , C( - 3,3) , Ra, 3)共圆，则 a的值为.D= - 4,25 解得E=,3F= - 5.7 设圆的方程为x2+y2

10、+Dx+ Ey+ F= 0(C2+E2-4F>0),分别代入 A, B, C三点坐标， 得25+5D+ F= 0,1-D+ F=0,9+9-3D+ 3E+ F=0,所以A, B, C三点确定的圆的方程为x2+y24x y 5=0.3因为D(a, 3)也在此圆上，所以 a2+9 4a255=0.所以a = 7或a= 3(舍去).即a的值为7.2.已知aCR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是 半径是.(2, 4) 5 由已知方程表示圆，则 a2=a + 2,解得a = 2或a= 1.当a=2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当 a= 1 时，原方程为

11、x2+ y2+ 4x+ 8y- 5 = 0,化为标准方程为(x+2) 2+(y+4)2=25,表示以(一2, 4)为圆心，半径为 5的圆.考点2与圆有关的最值问题考向1|斜率型、截距型、距离型最值问题|唳通法 与圆有关的最值问题的3种几何转化法, y b ，一，.，,、，一，(1)形如w=y一形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题. x-a(2)形如t = ax +by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如mr (x-a)2+ (y b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.题典例 已知实数x, y满足方程x2+ y2-4x+ 1= 0.y(1)求上的最

12、大值和最小值； x(2)求y x的最大值和最小值；(3)求x2+y2的最大值和最小值.解原方程可化为(x2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.(1) y的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, x所以设x= k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2号£| 二也,解得k= ±73 k +1(如图1).所以x的最大值为 小,最小值为 乖.图1图2图3(2) y x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2 0+ b|，3,解得 b= 2±，6(如图 2).所以

13、y x的最大值为2 + 46,最小值为2 46.(3) x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2+y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).又圆心到原点的距离为 q 20 2+ 0-0 2= 2,所以 x2+y2 的最大值是(2+43)2=7+4*, x2+y2 的最小值是(2 -73) 2=7-473.|点评与圆有关的 斜率型、截距型、距离型最值问题一般根据相应几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.|昵质题 已知点A(-1,0) , R0,2),点P是圆C： (x 1)2+y2=1上任意一点，则 APAB面积的最大值与最小值分别是()A. 2

14、,2-5C.5, 4邓B. 2+ 手,2 当 疑+1,11B 由题意知 | AB =q71 2+ -2 2=乖,Iab： 2x-y+2=0,由题意知圆 C的圆心坐标为(1,0),圆心到直线l AB的距离d =|2 -0+2|4.55，&pab的最大值为 2xq5x 4-5+1 =2+*,Sapab的最小值为J5x 4-5 1 = 2 、g.2152考向2|利用对称性求最值|唳通法 求解形如|PM + |PN(其中M N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的 基本思路：(1) “动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离.(2) “曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段

15、之和，一般要通过对称性解 决.翻典例已知圆 C： (x2)2+(y3)2=1,圆 G： (x3)2+(y 4)2=9, M N分别是 圆Ci,。上的动点，P为x轴上的动点，则|PM+|PN的最小值为()A. 5s/24B.卢1C. 6 24D.卢A (图略)P是x轴上任意一点，则1PM的最小值为| PC| 1,同理| PN的最小值为| PC| 3,则| PM + | PN的最小值为| PC| + | PC| 4.作G关于x轴的对称点 C 1(2 , 3) .所以 | PC| 十 | PC| = | PC' | 十 | PC| 刁 C' C2| =轮，即 | PM+ | PN =

16、 | PC| + | PC| -4>5>/2-4.I屣点评 本题在求解中要立足了两点：(1)减少动点的个数，借助圆的几何性质化圆上任 意一点到点(a, b)的距离的最大(小)值为圆心到点(a, b)的距离加(减)半径问题；(2) “曲化 直”，即借助对称性把折线段转化为同一直线上的两线段之和的最值问题解决.教师备选例题(1)设点P是函数y=小二x 1 2图象上的任意一点，点Q坐标为(2 a,a3)( aCR), 则|PQ的最小值为.(2)已知 A(0,2)，点 P 在直线 x + y+2=0 上，点 Q在圆 C： x2+y24x 2y= 0 上，则 | PA 十 | PQ的最小值是

17、.(1)45 2 (2 )21/5 (1)函数 y=x-1 2 的图象表示圆(x1)2+y2=4 在 x 轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x, y),x = 2a, y = a- 3x得 y= 23,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,由于圆心(1,0)到直线x2y6=0的距离d=|1 2X0 6|52+22=m>2,所以直线x-2y6= 0与圆(x1)2+y2=4相离，因此| PQ的最小值是J5 2.(2)因为圆C: x2+y2-4x-2y=0,故圆C是以Q2,1)为圆心，半径r = >/5的圆.设点m 0 n + 2222=Q,n 2mv 0A(0,2)关于直线x+y+2=0

18、的对称点为 A' (m n),故m= 4,解得n= 2,故 A' ( 4, 2).连接A C交圆C于Q图略)，由对称性可知| PA +1 PQ = | A P| + | PQ 刁 A' Q = | A' C r = 2曲|史典跋(2019 上饶模拟)一束光线从点 A( -3,2)出发，经x轴反射到圆C： (x-2)： + (y 3)2=1上的最短路径的长度是()A. 4B. 5C. 5 ：21D. 2 ,;6-1C 根据题意，设 A与A关于x轴对称，且A(3,2),则A的坐标为(3, 2), 又由A C= 25+25 =5小，则A'到圆C上的点的最短距离

19、为 5>/2 1.故这束光线从点 A( 3,2)出发，经x轴反射到圆C： (x 2)2+(y 3)2=1上的最短路径的长度是 矫一1,故选C.'阖考点3与圆有关的轨迹问题|唳通法求与圆有关的轨迹问题的4种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解.(2)定义法：根据圆的定义列方程求解.(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.(4)代入法(相关点法广 找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.|觑典例(2019 衡水调研)已知直角三角形 ABC勺斜边为AR且A(- 1,0) ,B(3,0) 求: (1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹

20、方程.解(1)法一：设C(x, y),因为A, B, C三点不共线，所以 yw0.因为ACL BC所以kAC kBC= 1,又 kAC= ykBC= Jx + 1' x3'所以： E =- 1,化简得 x2+y2-2x-3 = 0.x+1 x-3因此，直角顶点 C的轨迹方程为x2+y2 2x3=0(yw0).1法二：设AB的中点为D,由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角二角形的性质知|CD=2|AB =2.由圆的定义知，动点 C的轨迹是以 口1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A, B, C三点不共 线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点 C的轨迹方程为(x1)2 + y2

21、=4(yw0).(2)设Mx, y) , qx0, yo),因为B(3,0) , M是线段BC的中点，由中点坐标公式得xo+ 32Vo+ 022.,y=L2,所以 xo=2x-3, y°=2y.由知，点 C的轨迹万程为(x1) +y =4(yw 0),将 xo= 2x 3, yo= 2y代入得(2x 4)2+(2 y) 2=4,即(x2) 2+y2= 1.因此动点 M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(yW0).|庭点评此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误. 教师备选例题已知过原点的动直线l与圆G： x2+y26x+5=0相交于不同的两点 A B(1)求圆C的圆心坐标；(2)求线段A