1991考研数三真题及解析解析

1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题此题总分值15分，每题3分.把答案填在题中横线上.设曲线f x =x3+ax与gx=bx2+c都通过点1,0,且在点1,0有公共切线,(2)(4)设f (x) = xex,那么f(nx)在点处取极小值设A和B为可逆矩阵,X =0IB为分块矩阵，那么X设随机变量X的分布函数为0, 0.4,F(x)=PXx=a,1,x -1,-1 _ x : 1,1 x:二3,x_3.那么X的概率分布为二、 选择题此题总分值15分,每题 把所选项前的字母填在题后的括号内3分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，.卜列各式中正确的选项是(2)(4)(A)

2、lim/Hix Q x(C)lim 11-x4.xj(B)(D)lim1 1 xf.x1.设0 WanWn =1,2,HI那么以下级数中肯定收敛的是nCO(A)ann =1QO _(C) n1(B)(D)(-1)nann1(-1)na2n1. . .一 . . _ . . *设A为n阶可逆矩阵，九是A的一个特征根，那么A的伴随矩阵A(A)An(B)(C)(D)的特征根之一是设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,那么以下结论中肯定正确的选项是(C)P AB = P A P B(D)P A - B = P A 对于任意两个随机变量X和Y,假设E(XY) = E(X) ,E(Y),那么()(A)

3、D(XY) =D(X) D(Y)(B)D(X Y) = D(X) D(Y)(C)X和Y独立(D)X和Y不独立三、(此题总分值5分)1ex+ e2x+ enx x求极限lim e一e一.e，其中n是给定的自然数.四、(此题总分值5分)计算二重积分I = JJydxdy,其中D是由x轴，y轴与曲线D域，a 0,b 0.五、(此题总分值5分)求微分方程xy dy = x2+ y2满足条件y x - = 2e的特解.dxx=e六、(此题总分值6分)假设曲线L1： y=1-x2(0 x x轴和y轴所围区域被曲线L2： y = ax2分为面积相等的两局部，其中a是大于零的常数，试确定a的值.七、(此题总分

4、值8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和p2；销售量分别为q1和q2；需求函数分别为q =24 0.2p1和q2=100.05P2,总本钱函数为 C C =35=35 + + 40(40(q+qq+q2)试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(此题总分值6分)1 V一试证明函数f(x)=(1+一)x在区间(0,+*)内单调增加.x九、(此题总分值7分) 设有三维列向量(A)A与B不相容(B)A与B相容1十九- 1 1- 1 1一01仪1 =1,32二1十儿03二1,p =九11i111+132J问九取何值时,(1)P可由5,S3线性表

5、示,且表达式唯一？(2)P可由1 ,2,3线性表示,且表达式不唯一？(3)P不能由1,% ,3线性表示？十、(此题总分值6分)2一2一2考虑一次型f =x1+4x2+4x3+2九x1x2-2x1x3+4x2x3.问九取何值时，f为正定次型.十一、(此题总分值6分)试证明n维列向量组1,0(2,| n线性无关的充分必要条件是1T11T2IIIiTna：% a2a2IIIaTan .D =.00,+d+iTTiUTna1na2IIIann其中aiT表示列向量叫的转置，i =1,2,HI,n.十二、(此题总分值5分)一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 ，每个信号灯为红或绿与 其他

6、信号灯为红或绿相互独立 ，且红绿两种信号显示的时间相等 ，以X表示该汽车首次遇到 红灯前已通过的路口的个数 .求X的概率分布.十三、(此题总分值6分)222假设随机变量X和Y在圆域x +y (n+1),函数g(x)严格单调递增;故x = (n +1)是函数g(x)= f(nx )的极小值点，极小值为g(-n -1) = f(n)(-n -1) = (-n -1 - n)e_nJ- -e0.【解析】利用分块矩阵，按可逆矩阵定义有0 AX1X21E 0B0人X3X4广10 E/BX2= E.从A和B均为可逆矩阵知X3= A,，X4=0,Xi=0,X2=B.故应填【答案】x-113PX =x0.40

7、.40.2【解析】因为随机变量X的分布函数F(x)在各区间上的解析式都与自变量x无关，所以在F (x)的连续点，P X = x = 0,只有在F (x)的间断点处X取值的概率才大于零，且PX =x =PX x -PX x =F (x) F(x0)，那么PX - -1 =F(-1) -F(-1 -0) =0.4,PX =1 =F(1)-F(1-0) =0.8-0.4 =0.4,PX =3 = F(3) - F(3 -0) =1-0.8 =0.2.因此X的概率分布为x-113由对应元素或块相等AX4BX1=E,=0,=0,0A二、选择题(此题总分值【答案】(A)【解析】由重要极限1x -lim(1

8、 +-)=e可知,x1)x1.(-0-x(-1)1ee-x1: lim(1 -)- xx()4二e而极限lim(1x 01)xxln(1 1)=lim exx0lim ln(1 1)x0;x=e lim xln(1 1)_ x_0 _x二e 1lim x ln(1 ): Jimln(1 t)、，-1管m的=0,PX =x0.40.40.215分,每题3分.)11lim xln(1一)八lim(1 )x= ex0 x= e = 1.x-0 x应选项(A)正确.(2)【答案】(D)(-1)na2=a2工，由J 4收敛及比拟判别法可知nn 4n即(D)正确.1.另外，设an= (n =1,2|),那

9、么可知2n二丁11二1(A)an八一一-,(C)n1n12n2n 4n都不正确.51设a2n=0,a2n =(n =1,2 I ),那么可知(B)不正确.4n【答案】(B).【解析】由 九为A的特征值可知，存在非零向量X,使得AX =?“X.* . . * . *=A AX,由公式A A= A得到KA X = A X.于按特征值定义知 人A是伴随矩阵A*的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵，假设存在数九及非零的n维 列向量X使得AX = KX成立，那么称人是矩阵A的特征值，称非零向量X是矩阵A的特征 向量.(4)【答案】(D)【解析】A B =AUB

10、，如果AU B=C，那么A B=0,即A与B互不相容；如果AU B,那么A B # 0,即A与B相容.由于A、B的任意性，应选项(A)(B)均不正确.任何事件A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和.又因AB =0,从而A - B = AB = A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念，不要错误地把A、B互不相容等同于A、B相互独立而错选(C).A,B不相容，P(A),P(B)均不为零，因此P AB)；=P：Q )=0,P AB ; P A P B .即(C)不正确.用排除法应选(D).事实上，PA-B=PA-PAB=PA.所以QQ (1)na2绝对收敛n1【解析】因为两端同时乘以_ *

11、 *A,有A (KX)(5)【答案】(B)【解析】由于E(XY) = E(X)E(Y),因此有cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) =0,D(X Y) =D(X) 2cov(X,Y) D(Y) = D(X) D(Y).故应选(B).【相关知识点】假设两个随机变量X,Y的方差都大于零，那么下面四个命题是等价的:1)E(XY) =E(X)E(Y)；2)D(X +Y) =D(X) + D(Y);3)cov(X,Y)=0;4)X和Y不相关，即X和Y的相关系数P =0.三、(此题总分值5分)【解析】方法一：这是10型未定式极限.limx_01%x+e2x+|+enx、xn /,nexe

12、2xHenx-X1mlexe2x,-enxnx 0 xn=lim e= ex )0ln(ex-e2xi|, -enx)nn lim=ex 0 x其中指数上的极限是0型未定式，由洛必达法那么，有0 x 2xnx、ln(e e HI e ) -ln nlim-x0 x_ex+2e2x+|l| + nenx_ 1 +2 +IH + n _ n(n + 1) _ n +1一xm0exe2xI enx-n _ 2n一2所以limx 01%x+e2x+|十en公n方法二：由于1%x+e2x+川+enxxn1x . 2xjLI , nx-e +e + l+e .x1 +-1nJx 2xe e明enx一1,那

13、么当XT0时yt 0,从而/ x_L2x,IL-. nxe +e+川+e= lim(1+y)m：x_x_3(ex-1) (e2x-1) HI (enx-1)nxl0.x，1xf (x) = (1 ) = exxln1x,两边对x求导，得xln(1 1)f (x) = e,1，ln(1+_) x1 v1二(171n(1?人11令g(x) =ln(1+ )，为证函数f(x)为增函数，只需f(x)0在(0,+*)上成x 1 x立,，即g (x) 0, x w (0,也).方法一：利用单调性1g,(x)=ln(11一代=1x一一.1且xw (0,十比)，故g (x) = -50, x w (0,).从

14、而x : x 1 x1 Vf (x) =(1)xg(x) 0,x (0,二)，x于是函数f (x)在(0,十无)单调增加.方法二：利用拉格朗日中值定理.人1 x 1令ln(1 ) = ln(-) = ln(1 x) -ln x = u(x 1) - u(x),x x所以在区间(x, x+1)存在一点 之使得.1u(x1)-u(x)=u( )(x1-x)=u()=一,11.111 ,即ln(1 +)=2.又因为0cxe - 1 + x,所以- 0.函数f (x)在(0,收)单倜x x 1 x增加.九、(此题总分值7分)【解析】设xq +x2a2+x3% = p,将分量代入得到方程组(1 +九)x

15、+乂2+乂3=0,也+(1+九区+乂3=九，-1_12二2(1 x) x(1 x)由于11(1才-1:一.x1+ x2+ (1 +九)x3=九2.对方程组的增广矩阵作初等行变换第一行分别乘以有(-1)、-(1十九)加到第二行和第三行上,有1 11 ： 01 11011十九1巾 T 一九 九0；K ,111+九九2-2九一九0；? j再第二行加到第三行上，所以有1 11： 0T 九00鼠22_ 2-一一九一3九0 0：九十九假设九第0且九2十3九#0,即#0且九#3,那么r(A产r(A ) = 3,方程组有唯一解，即P可由巴,二2。3线性表示且表达式唯一.假设九=0,那么r(A)=r(A) =

16、10,A2 =1乳=2K2 + K0,A3= A =4九一1九十2 0.九41 1解出其交集为2,1，故九w2,1时，f为正定二次型.【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量为？2,|, xn的二次齐次多项式即每项都是二 次的多项式n nf x1,X2，川,Xn= aijXiXj, 其中aj=aji,i 4 j 4称为n元二次型，令x = X1,X2,|,Xn T,A=aj，那么二次型可用矩阵乘法表示为f X1,X2,|,Xn=XTAX,其中A是对称矩阵AT= A,称A为二次型fX1,X2,|,Xn的矩阵.卜一、此题总分值6分【解析】记人=%,%,|,%,那么%,%,川，%线性无关的充分必要条

17、件是A =0.由于_Xm有非零解.特另地，n个n维向量01户2,|,cn线性相关的充分必要条件是行列式：1,：2,HI, ：-n|0.ATA =h；1pT1町。1%1。1%2IIICt1T产2%iT hIIICtTcfn14T%巴T 4%IIIotT nan一从而取行列式，有D = ATA = AT|A =由此可见巴,口2，|,口口线性无关的充分必要条件是D :0【相关知识点】m个n维向量,。2Hlpm线性相关的充分必要条件是齐次方程组一XJ：1二2 HI二mX2匕1；2,用，、1 =十二、此题总分值5分【解析】首先确定X的可能值是0,1,2,3，其次计算X取各种可能值的概率设事件A =汽车在

18、第i个路口首次遇到红灯，i =1,2,3，且A相互独立.1P(A尸p(A ).事件A发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为i -1.所以有Pix =0.P A )=12，pix =1P A1A2=PA1PA2=122,pix =2)= PA1A2A3= P APA2PA3= 123,Pix =3)= PA1A2A3=PA1PA2P A= 123.那么X的概率分布为x0123PX =x1212T1了121注：此题易犯的一个错误是将px =3计算为%4 ,这是由于该街道仅有三个设有红绿信 号灯的路口，x = 3仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯，而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(此题

19、总分值6分)1I 【解析】二维均匀分布(x ,Y)的联合密度函数为f (x,y) = SD0,SD是区域D的面积，SD=叮2,所以(x,Y)的联合密度1f(x, y)=: r20,由连续型随机变量边缘分布的定义，x和Y的概率密度f1(x)和f2(y)为二dy=2k7(xEr),Tr -xn r2(x, y) D,(x,y) D,22 .2xyrr222x y rf1(x)二一、，1二一f(x, y)dy=-2.r2-22f2(y) = J - f (x, y)dx :2, r -y ( ysr).r由一维连续型随机变量的数学期望的定义：x f (x)dx,E lg(X) .1 - g(x) f(x)dxr假设f (x)为奇函数， 积分区间关于原点对称， 那么积分为零， 即是f f (x)dx=