五矩阵运算与方程组求解

1、工程五 矩阵运算与方程组求解实验3线性方程组实验目的熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica命令各类求线性方程组的解.理解计算机求解的实用意义.根本命令1. 命令NullSpace A 1给出齐次方程组 AX =0的解空间的一个基.2. 命令LinearSolve A, b ,给出非齐次线性方程组AX =b的一个特解.3. 解一般方程或方程组的命令Solve见Mathematica入门.实验举例求齐次线性方程组的解空间设A为m n矩阵,X为n维列向量,那么齐次线性方程组 AX =0必定有解.假设矩阵A的 秩等于n,那么只有零解;假设矩阵A的秩小于n,那么有非零解,且所有解构成

2、一向量空间.命令NullSpace给出齐次线性方程组 AX二0的解空间的一个基f X1 X2 -2X3 _X4 0,例3.1 教材 例3.1求解线性方程组1 3X1 -X2 -X3 “2X4 =0,5x2 - 7x3 3x4 =0,2X1 3x2 _5x3 - X4 0.输入ClearA;A=1,1, -2,-1,3, 21,2,0,5,7,3,2, -3,-5,-1;NullSpaceA那么输出 -2,1,-2,3说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量,1,3是解空间的基注:如果输出为空集 ,那么说明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.X! x2 ' 2x3 x4 =

3、0 例3.2求解线性方程组3X1 _2X2 _3X3 2X4 =0| 5X2 ' 7X3 3X4 =0J 2X1 -3X2 -5X3 -X4 =0输入ClearA;A=1,1,2,-1,3,-2,-3,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1;NullspaceA输岀为 因此解空间的基是一个空集,说明该线性方程组只有零解.例 3.3 (教材 例 3.2)向量组=(1,1,2,3), -.2 =(1,_1,1,1), ：.3 =(1,3,4,5), ：.4 =(3,1,5,7)是否线性相关？根据定义,如果向量组线性相关,那么齐次线性方程组X1：1 *2用2=°有非零解.输入Cl

4、earA,B;A=1,1,2,3,1,4,1,1,1,3,4,5,3,1,5,7;B=TransposeA;NullSpaceB输岀为 2-1,0,1说明向量组线性相关,且_：.2亠展4 =0非齐次线性方程组的特解捲 x2 2x3 % =4例3.4 教材 例3.3求线性方程组% 2X2 X3 +2X4 =2的特解.5x2 亠7x3 亠3% =-22X1 _3x2 -5x3 -X4 =4输入ClearA,b;A=1,1, -2,-1,3, -2,-1,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1;b=4,2, -2,4LinearSolveA,b输岀为1,1, -1,0注：命令LinearSolve

5、只给出线性方程组的一个特解| xi -X2 _2冷X44例3.5求线性方程组 严-2X2 -x3 +2沧=2的特解.5x2 十7x3 +3x4 =22x, 3x2 5x3 x4 =4输入ClearA,b;A=1,1,2,-1,3,-2,-1,2,0,5,7,3,2,-3,-5,-1;b=4,2,2,4LinearsolveA,b输岀为Linearsolve:nosol:Linear equation encountered which has no solution.说明该方程组无解.例3.6向量=(2, -1,3,4)是否可以由向量冷=(1,2,3,1), ：-2 =(5,5,12,11),

6、:-3 二 1, -3,6,3线性表示？根据定义,如果向量B可以由向量组 8,0(2,.3线性相关,那么非齐次线性方程组x1 冷X2 ： 2 X3： 3 二：有解.输入ClearA,B,b;A=1,2,-3,1,5,-5,12,11,0,5,7,3,1,-3,6,3;B=TransposeA;b=2,-1,3,4;LinearsolveB,b输岀为1 1 1,1,03 311说明p可以由 耳笑,码 线性表示,且卩=-8 +- a233例3.7 (教材 例3.4)求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式ax2 bx c,并画岀其图形.0 日 +0 b +c =7根据题设条

7、件有*1 a +1 b +c =6 ,输入4 a 2 b c =9Clearx;A=0,0,1,1,1,1,4,2,1y=7,6,9p=LinearSolveA,yCleara,b,c,r,s,t;a,b,c.r,s,tfx_=p.xA2,x,1;Plotfx,x,0,2,GridLines>Automatic,PlotRange ->AII;那么输出a,b,c的值为2, -3,7并画出二次多项式2x2 _3x 7的图形(略).非齐次线性方程组的通解用命令Solve求非齐次线性方程组的通解例3.8求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足f ( V) =20,

8、f(1) =9的4次多项式 f (x).解 设 f (x) =ax4 - bx3 cx2 dx e,那么有|e =0a b cd e =1a -b - c -d e =3-4a 3b -2c d =204a亠3b亠2c亠d =9输入Cleara,b,c,d,e;qx_=a*xA4+b*xA3+c*xA2+d*x+e; eqs=qO= =0,q1= =1,q-1= =3,q'1= =20,q '1= =9;A,y=LinearEquationsToMatriceseqs,a,b,c,d; p=LinearSolveA,y;fx_=p.xA4,xA3,xA2,x,1; Plotfx

9、,x,-1,1,GridLines->Automatic,PlotRange->AII;那么输岀所求多项式f (x)19 4x435x,4非齐次线性方程组的通解用命令solve求非齐次线性方程组的通解fXix2 亠2x3 亠x4 =1例3.9解方程组2xi X2 X3 - 2x4 =3捲x3 +x4 =23xi X2 +3x4 =5输入solvex-y+2z+w=1,2x-y+z+2w=3,x-z+w=2,3x-y+3w=5,x,y,z,w输岀为x ； 2-w+z,yr 1+3z即X1 =2 -X4x3 , x2 =1 3x3 .于是,非齐次线性方程组的特解为2,1,0,0.对应的

10、齐次线性方程组的根底解系为1,3,1,0与-1,0,0,1.又一2x2 +3x3 4x4 =4例3.10解方程组1 X2 - X3 x 4 - -3X! +3x2 +% =1解法1用命令solve输入solvex-2y+3z-4w=4, y-z+w=-3,x+3y+w=1,-7y+3z+3w=-3,x,y,z,w输岀为x r -8,y r 3, z 6, w 0 即有唯一解 x1 = -8 , x23 , x3 =6 , x4 =0 .解法2这个线性方程组中方程的个数等于未知数的个数,而且有唯一解,此解可以表示为x二Ab.其中A是线性方程组的系数矩阵,而b是右边常数向量.于是,可以用逆阵计算

11、唯一解.输入ClearA,b,x;A=1,-2,3,-4,0,1,-1,1,1,3,0,1,0,-7,3,1;b=4,-3,1,-3;x=lnverseA.b输岀为-8,3,6,0解法3还可以用克拉默法计算这个线性方程组的唯一解.为计算各行列式,输入未知数的系数向量,即系数矩阵的列向量.输入Cleara,b,c,d,e;a=1,0,1,0;b=-2,1,3,-7;c=3,-1,0,3;d=-4,1,1,1;e=4,-3,1,-3;Dete,b,c,d/ Deta,b,c,dDeta,e,c,d/ Deta,b,c,dDeta,b,e,d/ Deta,b,c,dDeta,b,c,e/ Deta,

12、b,c,d输岀为-8360bxt +x2 +x3 =1例3.10 教材例3.5当a为何值时,方程组峽+ax2 +x3 =1无解、有唯一解、有无穷Jxix2 ax3 =1多解？当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求a,使行列式等于0.输入Cleara;Deta,1,1,1,a,1,1,1,a;Solve% =0,a那么输出a ； 2,a ；1,a ；1当a =-2,a -1时,方程组有唯一解 输入Solvea*x y z=1,x,a*y z =1,x'y,a*z =1,x,y,z那么输出x- , y- , z- 2 +a2 +a2 +a当a亠2时,输入Solve -2x+y+z=

13、1,x -2y+z=1,x+y -2z=1,x,y,z那么输出 说明方程组无解.当a =1时,输入Solvex+y+z=1,x+y+z=1,x+y+z=1,x,y,z那么输出x ； 1 -y -z说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为1,0,0,对应的齐次线性方程组的根底解系为为二,1,0与,0,1.2X1 +X2 X3 +X4 =1例3.11 教材 例3.6求非齐次线性方程组3为_2x2 +x32x4 =4的通解Jx1 ._4x2 _3x3= -2解法1输入A=2,1, -1,1,3, 21,用,1,4,5;b=1,4, /;particular=LinearSolveA,bnullsp

14、acebasis=NullSpaceA generalsolution=t*nullspacebasis1+k*nullspacebasis2+Flattenparticular generalsolution/MatrixForm解法2输入B=2,1, -1,1,1,3, -2,1,书,4,1,4, £,5,-2RowReduceB/MatrixForm根据增广矩阵的行最简形,易知方程组有无穷多解.其通解为X2X31/71/76/7+k5/7-9/7-5/7k,t为任意常数实验习题2x1 -X2 +3X3 =0,1. 解方程组2Xt +x2 +x3 =0,4X1 亠X2 亠2X3 =0.2xt 4x2 +5x3 +3x4 =0,2. 解方程组丿 3X1 -6X2 +4X3 +2X4 =0,4x1 一8x2 ' 17x3 11x4 =0.fX1 2x2 +3X3 4X4 =4,3. 解方程组"X2卞3 *X4 =£,X1 x3 -2x4 - -2Xi +2X2 +X3 X4 =2,4.