高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)教学案新人教B版选修1-1

1、21.2椭圆的几何性质 ( 一) 学习目标 1. 根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2. 根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图 知识链接 观察椭圆 x2y2 1 (> >0) 的形状，你能从图中看出x和y的范围吗？它具有怎样的对称a2b2a b性？椭圆上有哪些特殊点？答案(1) 范围： a xa， b y b；(2) 对称性：椭圆关于x 轴、 y 轴、原点都对称；焦点的位置图形标准方程范围顶点(3) 特殊点：顶点 A1( a, 0) ， A2( a, 0) ， B1(0 ， b) ， B2(0 ，b) 预习导引 1椭圆的几何性质焦点在

2、x 轴上焦点在 y 轴上x2y21( > >0)y2x2 1(> >0)a2b2a ba2b2a b a x a， b y b b xb， ay a1( a,0)， 2(a,0) ，1(0， )， 2(0， )，AAAa AaB1(0 ， b) ， B2(0 ， b)B1( b, 0) ， B2( b, 0)轴长长轴长 2 ，短轴长 2ba焦点( ± a2 b2，0)(0 ，± a2 b2)焦距2c | F F | 2 a2 b212对称性对称轴： x 轴、 y 轴对称中心：原点c离心率ea (0,1)1 / 62. 离心率的作用当椭圆的离心率越接近

3、1，则椭圆越扁；椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆.要点一椭圆的几何性质例 1求椭圆 9x2 16y2 144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标x2y2解已知方程化成标准方程为16 9 1，于是 a 4， b 3， c 16 9 7，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a 8 和 2b 6，c7x 轴上，离心率 e ，又知焦点在a4两个焦点坐标分别是1( 7，0) 和2(7，0) ，FF四个顶点坐标分别是A(4,0)，A (4,0)，B(0 ， 3)和 B(0,3) 1212规律方法解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据标准方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，

4、c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量跟踪演练 1 求椭圆22 42 21(>0) 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心mxmym率解椭圆的方程22 42 21(>0) 可转化为mxmymx2y21. 2211，11m<4m， >m2 4m2m24m2椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长1b13a ，短半轴长，半焦距c .m2m2m椭圆的长轴长22b12 ，短轴长 ，amm33焦点坐标为 ( 2m， 0) ， ( 2m， 0) ，顶点坐标为 (1111， 0)，( ，0)，(0 ，)，(0，) mm2m2m3c2m3离心率 e .a12m要点二由椭圆的几何性质求方程例

5、 2求满足下列各条件的椭圆的标准方程2 / 6(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为1，焦距为 8.2(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.c41解 (1) 由题意知， 2c 8， c 4， ea a 2， a 8，222y2x2从而 b a c 48，椭圆的标准方程是 1.(2) 由已知 a 2c， a c3， a 23，c 3.从而 b2 9，x2y2x2y2所求椭圆的标准方程为12 9 1 或 9 121.规律方法在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列

6、方程( 组 ) 确定 a， b.跟踪演练2 椭圆过点 (3,0)，离心率 e6，求椭圆的标准方程3解 所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点 (3,0)，点 (3,0) 为椭圆的一个顶点当椭圆的焦点在x 轴上时， (3,0)为右顶点，则a 3，c666e a 3 ， c 3 a 3 ×3 6，b2 a2 c2 32 (6) 2 9 6 3，x2y2椭圆的方程为931.当椭圆的焦点在y 轴上时， (3,0)为右顶点，则b 3，c66e a 3 ， c 3 a， b2 a2 c2 a2 2a2 1a2，33 a2 3b2 27，椭圆的方程为 y2 x2 1. 27 9x2y2y2x2综上可

7、知，椭圆的标准方程是9 31或27 91.要点三求椭圆的离心率x2y2例 3设 F1，F2 分别是椭圆E： a2 b2 1( a>b>0) 的左、右焦点，过点F1 的直线交椭圆E 于A， B 两点， | AF1| 3| F1B|.(1) 若 | AB| 4， ABF2的周长为 16，求 | AF2| ；3(2) 若 cos AF2B 5，求椭圆 E 的离心率解 (1) 由 | AF1| 3| F1B| ， | AB| 4，得| AF1| 3，| F1B| 1.3 / 6因为 ABF2 的周长为 16，所以由椭圆定义可得4a 16，| AF1| | AF2| 2a 8.故| AF2|

8、 2a| AF1| 83 5.(2) 设 | F1B| k，则 k>0 且 | AF1| 3k， | AB| 4k.由椭圆定义可得| AF2| 2a 3k，| BF2| 2a k.在 ABF中，由余弦定理可得2| |2|2| 2|2|2 2|2| ·| 2|cos 2 ，ABAFBFAFBFAFB2226即(4 k) (2 a 3k) (2 a k)5(2 a 3k)·(2 a k) ，化简可得 ( )(a3 )0.a kk而 a k>0，故 a 3k.于是有 | AF2| 3k | AF1 | ， | BF2| 5k.因此 | BF2|2 | F2A| 2 |

9、 AB| 2，可得 F1A F2A，故1 2 为等腰直角三角形AFF2从而 c 2 a，c2所以椭圆 E的离心率 e a 2 .规律方法求椭圆离心率的方法：cb2直接求出 a 和 c，再求 ea，也可利用 e1 a2求解若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到ac和 c 的齐次等式关系，然后整理成a的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解x2y2跟踪演练3 设椭圆 C： a2 b2 1( a>b>0) 的左右焦点为F1， F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C相交 于 A， B 两 点 ， F1B 与y 轴 相 交 于点D， 若ADF1B， 则 椭

10、 圆C 的 离 心 率 等 于_答案33解析直线：，代入 x2 y2 1，得y± b2.AB xca2b2ab2b2A( c， a ) ， B( c， a ) b2b2 a 0 ab2kBF1 c c 2c 2ac .4 / 6b2直线 BF1： y 0 2ac ( xc) 令 x 0，则 y b2， 2ab2b2b2a2a3b2D(0 ， 2a) ， kADc 2ac.b2·3b2由于 AD BF1， 1，2ac2ac3 442 2，ba c 3b2 2ac，即 3( a2 c2) 2ac， 3e2 2e 30，2± 44× 3× 32

11、77;4e3.2232423 e>0， e 2 3 2 3 3 .1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是( 10,0) ，则焦点坐标为()A( ±13,0) B (0 ，± 10)C (0 ，± 13) D (0 ，±69)答案D解析由题意知椭圆焦点在y 轴上，且 a 13，b 10，则 c a2 b2 69，故焦点坐标为 (0 ，±69) 2如图，直线l ： x 2y 2 0 过椭圆的左焦点F1 和一个顶点B，该椭圆的离心率为()12A. 5B. 5525C.D.55答案D5 / 6解析 x 2y 20，1 y

12、 2x1，b1而 c 2，即a2 c2 1， a25c25c2，.2c24a53若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()43A. 5B. 521C.D.55答案B解析由题意有 2a2c 2(2 b) ，即a2 ，又c222，cbab消去 b 整理得5c2 3a2 2ac，即 5e2 2e 30，3 或 1(舍去)e5ex2y2P 为直线x 3a4 设 F ， F 是椭圆 E： a2 b2 1( a b 0) 的左、右焦点，2 上一点，12 F PF 是底角为30° 的等腰三角形，则E 的离心率为 ()2112A.B.2334C. 4D. 5答案C解析由题意可得 | PF| | F F | ， 2