高考数学线性规划常见题型及解法

1、高考数学线性规划常见题型及解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。现就常见题型及解决方法总结如下：一、求线性目标函数的最值；例题： (2012 年广东文5) 已知变量 x, y 满足条件Ayxy1xy1 ，则 zx2 y 的最小值为x10O BCxA.3B.1C.-5D.-6解析 :利用线性规划知识求解。l 0 : y1可行域如图阴影所示，先画出直线x ，平移直线 l 0 ,2当直线过点 A 时， zx 2 y 的值最小，得x 1x11, 2),zmin12(2)5x y 1 0, yA(2,

2、探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想及运算求解能力，难度适中。二、求目标函数的取值范围；y例题：(2012 山东文则目标函数z3xA.3,6 B.2x2 y2A6)设变量 x, y 满足约束条件2xy4 ,4xy1y 的取值范围是BxOC3, 1 C. 1,6D.6, 322解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线3xy 0 ，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取x2 y10得;由4xy10得B1得最小值，由,A(2,0),(,3)2xy402xy402zmax 3 2 06, zmi

3、n313，z3x的取值范围是-3，32y6221 / 4探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围三、求约束条件中参数的取值；xy-30例题： (2012 福建文 10)若直线 y2x上存在点 (x, y) 满足条件x-2y-30 , 则实数 m 的最xm大值为（）A.-1B.1C. 3D.22解 析 ： 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 函 数 y2x 的 图 像 及xy30，所表示的平面区域图阴影部分所示。由图可x2 y30知，当 m1时，函数 y2x 的图像上存在点 ( x, y) 满足约束条件，故 m 的最大值为1.探究提高

4、： 本题是线性规划的综合应用，解决这类问题的关键是利用树形结合的思想方法，给目标函数赋予一定的几何意义。四、求线性规划问题的整点问题；例题：设等轴双曲线y 2x21的两条渐近线与直线x 2 围城的三角形区域(包含边界 )为MMz 2xy 的最小值 _.， p( x, y) 为内的一个动点，则目标函数解析：等轴双曲线的渐近线为x y0 和 x y0 .它们和xy0x 2共同围城的三角形区域为xy0 ，即图中阴影部分，x2y=xYCx=2Xy=-x由图像可知当直线经过点C 时， Z 最大，点 C 的坐标为 ( 2,2) ，此时 z2222 。探究提高：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验

5、证法或排除法是最效的方法。五、求可行域的面积；2 / 42 xy 6 0例 题 、 不 等 式 组 xy 3 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为y2（）YA、4B、1C、 5D、无穷大2x+ y-6= 0解：如图，作出可行域，ABC的面积即为所求，由梯形OMBCx+ y-3= 0AB y= 2M的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选BCX探究提高：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。六、 (2012 年咸阳模拟 ) 求非线性目标函数的最值；xy 10y例题：实数 x ， y 满足x0，（ 1）若 z，求 z 的取值围

6、；y2x（ 2）若 zx2 +y2，求 z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围 .xy10解析：由x0，作出可行域如图中阴影y2部分所示(1) z yyx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此x的取值范围为直线OB 的斜率到直线xy 10OA 的斜率 (OA 斜率不存在 )而由2，得得 B(1,2)，y2则 kOB 12. zmax 不存在， zmin 2， z 的取值范围是2， )(2) z x2 y2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方因此 x2 y2 的范围最小为 |OA |2(取不到 )，最大为 |OB|2.x y 1 002 12)21， |OB|2 (12 2

7、2)2 5.，得 A(0,1)， |OA|2 (x 0 z 的最大值为 5，没有最小值 故 z 的取值范围是 (1,5 探究提高：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。3 / 4七、求线性规划的简单应用；例题：（ 2012.江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:年产量 /亩年种植成本 /亩每吨售价黄瓜4 吨1.2 万元0.55 万元韭菜6 吨0.9 万元0.3 万元总利润为使一年的种植(总利润 =总销售收入 -总种植成本 )最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积 (单位：亩 )分别为（）A.50 ， 0B.30， 20C.20， 30D.0， 50解析 ：设种植黄瓜 x 亩，韭菜 y 亩，则由题意可知，求x y50目标函数 z x0.9 y 的最大值1.2 x0.9y54 ，根据x, yN题意画可行域如图阴影所示。当目标函数l 向右平移，移至点 A(30,20)处时，目标