高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一1不等式的基本性质同步配套教学案新人教A版选修4-5

1、1不等式的基本性质对应学生用书P11实数大小的比较(1) 数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小在数轴上，右边的数总比左边的数大(2) 如果 a b0，则 ab；如果 a b 0，则 a b；如果 ab 0，则 a b.(3) 比较两个实数a 与 b 的大小，归结为判断它们的差a b 的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号2不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1) 如果 a b，那么 b a；如果 ba，那么 a b. 即 ab? b a.(2) 如果 a b，b c，那么

2、 a c. 即 a b， b c? a>c.(3) 如果 a b，那么 a c>b c.(4) 如果 a b，c>0，那么 ac>bc；如果 a>b， c<0，那么 ac<bc.(5) 如果 a>b>0，那么 an>bn( n N， n2) (6) 如果 a>b>0，那么 n a n b( n N， n2) 3对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1) 等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c( 或代数式 ) 结果有三种： c

3、0 时得同向不等式；c 0 时得等式； c<0 时得异向不等式(2) a b， c d? a c>b d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0， c>d>0? ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除(3) 性质 (5) 、 (6) 成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n N， n2，否则结论不成立而当n取正奇数时可放宽条件，> ? n> n(n2 1，N)， > ?n a>n b(na b a bkka b 2k 1， k N) (4) 在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑

4、关系有两种：“? ”与“ ? ”，即推出1/10关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”这要求必须熟记与区别不同性11质的条件如a b， ab 0? a b，而反之不成立对应学生用书P1实数大小的比较114例 1已知 x， y 均为正数，设m x y，n x y，试比较 m和 n 的大小 思路点拨 变形转化为因式与0比较两式作差 乘积形式 判断正负，得出大小1 14x y4xy 2 4xyx y2 解 m n x y x y xy x yxy x y xyx y， x，y 均为正数， x>0， y>0， xy>0， x y>0， ( xy) 20. m n0，

5、即 m n.( 当 x y 时，等号成立 ) 比较两个数 ( 式子 ) 的大不，一般用作差法，其步骤是：作差变形判断差的符号结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等44331已知 a，b R，比较 a b 与 a bab 的大小33 a ( a b) b ( b a) ( a b)222( a ab b ) ( a b) 2 ab23b2024( 当且仅当ab 时，取“”号)2/10所以 a4b4 a3b ab3.6a22在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为9 a4， B 点对应的实数为 1，试判别 A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？6a2a2 32解：因为 9 a4 1

6、9 a40，6a2所以1.9 a4当且仅当 a ±3时取 “ ” ，所以当 a±3时， A点在 B 点左边，当a ±3时， A 点与 B点重合不等式的证明 例 2已知 a>b>0， c<d<0， e<0.e e求证： a c>bd. 思路点拨 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明证明eee bd a c法一：ac b da cb de ba c da c，b d a>b>0， c<d<0， b a<0， c d<0. b a c d<0.又 a>0， c<0， a c&g

7、t;0.同理 b d>0， ( ac)( b d)>0. e<0，e ba c deea cb d>0. 即 a c>bd.c<d<0? c> d>0法二：?a>b>03/1011ac>b d>0? a c<b d ?ee.acb de<0进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件3判断下列命题的真假，并简述理由(1) 若 a>b， c>d，则 ac>

8、;bd；a b(2) 若 a>b>0， c>d>0，则 c>d；(3) 若 a>b， c<d，则 ac>b d；(4) 若 a>b，则 an bn， n a>n b( n N 且 n2) 解： (1) 取 a3， b 2，c 2， d 3，即 3>2， 2> 3. 此时 ac bd 6. 因此(1) 为假命题ab(2) 因同向不等式不能相除，取a6， b 4，c 3， d2，此时 c d 2. 因此 (2) 为假命题(3) c<d， c> d，因此 (3) 为真命题(4) 当 a>b>0 时，才能成

9、立，取a 2，b 3，当 n 为偶数时不成立，因此(4) 为假命题4已知 ，y11>，都是正数，且 > ，a bxa bx yxy求证： x a>y b.证明：因为 a， b， x， y 都是正数，1 1x y且 > . x>y，所以> ，a ba ba b所以 x<y.4/10ab故 x1<y 1，x a y bxy即x< y . 所以 x a>y b.利用不等式的性质求范围例 3(1) 已知：2 < 2 ，求 的范围(2) 已知： 1 a b1,1 a 2b3，求 a 3b 的范围 思路点拨 求代数式的范围应充分利用不等式的

10、基本性质 解 <(1) ，22 2 2 ， 2 2 . 且 . 且 0. <0. 即 的范围为 ， 0) (2) 设 a 3b1( a b) 2( a 2b) ( 12) a ( 1 2 2) b.解得 15， 22.3355522 3 3( a b) 3， 2 3( a 2b) 3.1111 3 a 3b1. 即 a 3b 的范围为，1.3求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和x5若 8x 10,2 y 4

11、，则 y的取值范围是_解析： 2 y 4，5/10111 4y 2. 又 8x 10，x 2 y 5.答案： (2,5)6已知 1 4， 2 1，求 2 的取值范围解：设 2 m( ) n( ) ，1m n 2，m 2，?mn 1.n 3.2又 1 4， 2 1112，2233 32 2，51? 22 2.51 2 的取值范围为 2， 2对应学生用书P31已知数轴上两点，B对应的实数分别为x，若<<0，则 | | 与| 对应的点Ayx yxyP，Q的位置关系是 ()B P 在 Q的右边AP 在 Q的左边D 不能确定C P， Q两点重合解析： x<y<0， | x|>

12、;| y|>0. 故 P 在 Q的右边答案： B2下列命题中不正确的是 ()33A若a>b，则 a>bB若 a>b，c>d，则 a d>b c6/10a bC若 a>b>0， c>d>0，则 d>cD若 a>b>0， ac>bd，则 c>d解析：当 c>0， d>0 时，才有 a>b>0， ac>bd? c>d.答案： D3已知 a>b>c，则下列不等式正确的是()B ac2>bc2A ac>bcD |ac|>| |C ( )>()b

13、cb abca b解析： a>b>c? a b>0? ( a b) b>( a b) c.答案： Ccab4已知 a， b， c (0 ， )，若 ab b c c a，则 ()B b caA c a bD c baC a b ccabcaba bca b c解析：由 a b b cc a，可得 a b 1b c 1 c a1，即ab b ca b c c a ，又 a， b， c (0 ， )，所以 a b b c c a. 由 a b b c 可得 a c；由 b c c a 可得 b a，于是有 c a b.答案： A125已知 0 a1，则 a，a， a 的大小

14、关系是 _1a1a1解析： a aa 0，1 a .a又 2 (1) 0，a aaa2 . a2 1.aaaa21答案： a aa6给出四个条件：b>0>a， 0>a>b， a>0>b， a>b>0.7/1011能得出 a b成立的有 _1 11 1b a1 1解析：由 a<b，得 a b<0， ab<0，故 可推得 a<b成立答案：7设x2 25，2 24 ，若>，则实数a，b应满足的条件为 _a byab aax y解析： x>y， x y a2b2 52ab a2 4a( 1) 2(a 2) 2>0

15、.ab ab10或 a20.即 ab1或 a 2.答案： ab1或 a 28若>0， >0，求证：b2a2 .abababb2 a2ab证明： a b a b ( ab) b aa b2a b，ab( ) 20恒成立，且已知 0，b 0，aba a b>0， ab>0.a b2a bb2a2ab0. a b a b.9若 f ( x) ax2 bx，且 1 f ( 1) 2,2 f (1)4，求 f ( 2) 的取值范围解： f ( 1) ab， f (1) a b，f ( 2) 4a 2bAf ( 1) Bf (1)，则A B 4，?A 3，B A 2B 1. f (

16、 2) 3f( 1) f (1) 2 f (1) 4,1 f ( 1) 2，33f ( 1) 6，5 f (1) 3f ( 1) 10，5 f ( 2) 10.10已知 a>0， a1.8/10(1)比较下列各组大小a21与 ； 31 与2 ；a aaaa a5 1 与 a3 a2.(2) 探讨在 m， n N 条件下， am n 1 与 am an 的大小关系，并加以证明解： (1) a>0， a1， a2 1 ( a a) a2 1 2a( a 1) 2>0.a21>a a. a31 ( a2 a) a2( a 1) ( a 1)( a 1)( a 1) 2 0，a3 1>a2 a， a5 1 ( a3 a2) a3( a21) ( a2 1) ( a21)( a3 1) 当 a>1 时，a3>1， a2>1， ( a2 1)( a3 1)>0.当 0<a<1 时， 0<a3<1,0< a2<1， ( a2 1)( a3 1)>0.即 a5 1>a