高中数学5.2含有绝对值的不等式5.2.2含有绝对值的不等式的证明知识导航学案苏教版选修4-5

1、含有绝对值的不等式的证明自主整理1. 对于任意两个实数a、 b, 设它们在数轴上的对应点分别为A、 B, 那么 |a-b|的几何意义是_, 即线段 AB的 _.2. 绝对值不等式的性质 .(1)|a+b|_|a|+|b|,当且仅当 _时取“ =”.(2)|a|-|b|_|a+b|,当且仅当 _时取“ =”.(3)|a-b|_|a|+|b|,当且仅当 _时取“ =”.(4)|a-b|_|a|-|b|,当且仅当 _时取“ =”.3. 三个实数的绝对值不等式 .|a- c| |a -b|+|b-c|,当且仅当 _时取“ =”.高手笔记1. 含有绝对值的不等式的性质定理推广:(1)|a1+a2+a3|

2、 |a 1|+|a 2|+|a 3|;(2)|a+a +a + +a | |a1|+|a|+ +|a|.123n2n2. 在应用含有绝对值的不等式求某些函数的最值时, 一定要注意等号成立的条件 .名师解惑对绝对值不等式的几何意义的理解.剖析 : 绝对值不等式 |a|-|b| |a ±b| |a|+|b|的实质是两个实数的和、差的绝对值与绝对值的和、差的关系. 用向量 a、 b 替换实数 a、b 时, 问题就从一维扩展到二维. 当向量 a、 b不共线时 , a+b、 a、 b 构成三角形 , 有 | a+b| | a|+| b|. 当向量 a、 b 共线时 , 若 a、 b 同向 (

3、相当于 ab0),| a+b|=| a|+| b|; 若 a、 b 异向 ( 相当于 ab 0),| a+b| | a|+| b|. 这些都是利用三角形的性质定理, 如两边之和大于第三边等. 这样处理 , 可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆和利于定理的应用. 绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握, 如不等式 |a|-|b| |a|- |b|a+b| |a|+|b|也成立, 因为 |a|-|b| 不一定是正数.讲练互动【例 1】若 a b 0, 则下列结论中正确的是()A. 不等式和均不成立B. 不等式和均不成立C.不等式和 (a+) 2 (b+) 2

4、 均不成立D.不等式和 (a+) 2 (b+) 2 均不成立解析 : a b0, 成立 .1 / 5|a| |b|.,即不成立 .故 A错.由 a b 0, 得 -b 0, a-b a.又a-b 0,a 0,即不成立.故B正确.由 a b 0, 得 0, a+ b+ 0.|a+| |b+|, 即 (a+ ) 2 (b+) 2.故 C、D错.答案:B绿色通道本题利用不等式的基本性质及绝对值的定义进行推导判断.变式训练1. 设 ab 0, 下列四个不等式 : |a+b| |a|, |a+b| |b|,|a+b| |a- b|,|a+b| |a|-|b|中正确的是 ( )A. B. C.D.答案:C

5、【例 2】设 m等于 |a| 、 |b| 和 1中最大的一个 , 当|x| m时 , 求证 :| 2.分析 : 本题的关键是如何使用“m等于 |a| 、 |b| 和 1 中最大的一个”这一条件, 而 |a| 、|b| 、 1哪一个最大 , 会有三种不同的情况, 较复杂 , 但不管谁最大 , 总有 m|a|,m |b|,m 1成立,而| +| | |+|, 只需比较 |a| 与 |x| 的大小和 |b| 与 |x2| 的大小关系即可 .证明 : 由题意 , 知 m|a|,m |b|,m 1,又 |x| m,|x| |a|. |1.|x| m|b|,| | 1.|x| m1, 1.|+| |+|=

6、|+| ·1+1=2 成立 .绿色通道分析题目时 , 题目中的语言文字是我们解题的信息来源与依据. 而解题时的数学符号语2 / 5言也往往需要从文字语言中“翻译”转化过来, 准确地理解题目中的文字语言, 适当地进行转化也就成了解题的关键. 如本题题设条件中的文字语言“m等于 |a| 、 |b| 和 1 中最大的一个”转化为符号语言“ m|a| 、|m| |b| 、m1”是证明本题的关键, 但如果分情况讨论就太麻烦了 .变式训练2. 已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a 、b R) 的定义域为 -1,1 .(1) 设 |f(x)| 的最大值为 m,求证 :m ;(2) 在 (1)

7、中, 当 m= 时, 求 f(x) 的表达式 .2(1) 证明 : f(x)=x+ax+b,x -1,1 且 |f(x)|m,4m2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)|=2|b|+|1+a+b|+|1-a+b| |(1+a+b)+(1 -a+b)-2b|=2.m.(2) 解 : 由 m=, 得|f(0)|=|b|,-b.同理 ,-1+a+b ,-1- a+b .两式相加 , 得 - 12+2b1,-b -.由得 b=- .当b=-时,由-1+a+b,得- 1a0;由-1- a+b,得0a1.由得 a=0.f(x)=x2- .【例 3】已知 a、b R,a 0, 求证 :.分析 : 本题要

8、证的不等式包含|a+b|、 |a-b|、 |a|-|b|和 2|a|.因而需要利用绝对值不等式的性质将2|a|化为 |a+b+a-b| |a+b|+|a-b|, 这是一种常用的拼凑法. 其次 , 观察不等式的3 / 5右边含有 |a|-|b|,而|a|-|b|可能为正值 , 也可能为负值, 需分情况进行讨论.证 明 : (1) 若 |a| |b|,左 边 =,+.左边=右边 .(2) 若 |a| |b|,左边 0, 右边 0,原不等式成立. 综上可知 , 原不等式成立 .绿色通道分析所要证的不等式的结构, 抓住特点进行构造, 运用绝对值不等式的性质进行适当的放缩变换 , 从而证出 .变式训练3

9、. 已知 0,|x-a| ,|y-b| , 求证 :|2x-3y+3b-2a|5.证明 : |2x -3y+3b-2a|=|2(x-a)-3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5.2【例 4】设 f(x)=x-x+3, 若 |x-a| 1, 求证 :|f(x)-f(a)| 2|a|+2.分析 : 本题为函数与不等式的综合问题, 实质是用函数表述的不等式, 可将不等式的左边代入“翻译” , 再根据绝对值不等式的性质进行变换.证 明 : f(x)=x 2- x+3, |f(x) -f(a)|=|x 2-x+3-(a 2-a+3)|=|(x 2-a 2)-

10、(x-a)|=|(x-a)(x+a-1)|=|x- a| ·|x+a -1|.|x -a|1, |f(x)-f(a)|x+a-1|=|(x-a)+(2a- 1)| |x -a|+|2a-1| 1+|2a-1| 1+|2a|+1=2|a|+2成立 .绿色通道不等式常与函数相结合, 将所涉及的函数值“翻译”出来, 并逐步变形 , 构造出能用绝对值不等式性质的新不等式. 本题中 , 由 |x+a-1|改写为 |(x-a)+(2a-1)|这是关键的一步变形,这是因为 |x+a-1|中含有x, 而不等式的右边为2|a|+2不含 x, 而有 x 的信息只有 |x-a| 1,所以“变形”“构造”在解本题时是关键.变式训练4. 函数f(x)的定义域为0,1 , 且 f(0)=f(1),当x1、 x2 0,1 , 且x1x2 时 , 都有|f(x2)-f(x1)|x 2-x 1|, 求证 :|f(x2)-f(x1)|.证明 : 不妨设 0x1 x21,4 / 5若 x2-x 1, 则 |f(x2)-f(x1)