高考数学练习题---文科圆锥曲线

1、决战高考高考数学练习题 -文科圆锥曲线 含答案一、选择题1.【 2017 高考新课标文4】设FF是椭圆 E : x2y21(ab 0) 的左、右焦点， P 为直12a2b2线 x3aF2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形，则E 的离心率为（）上一点，2(A) 1(B)2(C )( D )23【答案】 C【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题 .【解析】F2 PF1 是底角为 30 0 的等腰三角形，PF2 A 600 ， | PF2 | | F1F2 | 2c ， | AF2 |= c ， 2c3 a ， e=3，故选 C.242.【 2017高考新课标文10】等轴双曲

2、线C 的中心在原点，焦点在x 轴上， C 与抛物线y216x的准线交于A, B 两点， AB4 3 ；则 C 的实轴长为（）(A) 2(B)22(C )(D )【答案】 C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.【解析】 由题设知抛物线的准线为：x4 ，设等轴双曲线方程为： x2y2a2 ，将 x 4代入等轴双曲线方程解得y =16a2，| AB|=43，2 16a2= 4 3 ，解得 a =2， C 的实轴长为 4，故选 C.3.【 2017 高考山东文11】已知双曲线 C1 ： x2y21(a0,b 0) 的离心率为2.若抛物线a2b2C2 : x22 py

3、( p0) 的焦点到双曲线C1 的渐近线的距离为2，则抛物线 C2 的方程为(A) x28 3y(B)x216 3y(C) x28y(D) x216 y33【答案】 D考点：圆锥曲线的性质解析：由双曲线离心率为2 且双曲线中 a， b， c 的关系可知 b3a ，此题应注意 C2 的焦点在 y 轴上，即（ 0， p/2）到直线 y3x 的距离为 2，可知 p=8 或数形结合，利用直角三角形求解。4.【 2017 高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为 x4 ，则该椭圆的方程为决战高考（A ） x2y21（ B） x2y211612128（C） x2y21（ D） x2y21841

4、24【答案】 C【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数a, b, c ，从而得到椭圆的方程。【解析】因为 2c 4c2 ，由一条准线方程为x4可得该椭圆的焦点在x 轴上县a24a24c8 ，所以 b2a2c28 44。故选答案 Cc【2017高考全国文10】已知F1、F2为双曲线C : x2y22的左、右焦点，点P在C上，5.|PF1|2| PF2 | ，则cos F1 PF2（A） 1（B） 3（C） 3（D） 44545【答案】 C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定

5、义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】解：由题意可知，a2b,c2，设 |PF1 |2x,| PF2 | x ，则|PF1|PF2|x2a22，故 |PF1 |42,| PF2 |2 2 ， F1 F2 4 ，利用余弦定理可得 cosF PFPF12PF22F1F22(42) 2(22) 2423 。122PF1PF22224 246.【 2017 高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N 是双曲线的两顶点。若M ，O，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2C.3D.2【答案】 B【命题意图】 本题主要考查了椭

6、圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的决战高考关系 .【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为2a，由 M ， O， N 将椭圆长轴四等分，则2a 22a ，即 a2a，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为 ec ， ec ，ea2 .aaea7.【 2017高考四川文9】已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为3，则 |OM | （）A、2 2B、2 3C、 4D、2 5【答案】 B 解析 设抛物线方程为y2=2px(p>0), 则焦点坐标为（p ,0 ），准线方程为

7、x=p ,22M在抛物线上，M到焦点的距离等于到准线的距离，即p 22（2p23（2 -）y0）22解得： p1, y022点M（），根据两点距离公式 有：2,2 2|OM |22(22) 223 点评 本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点， d为点 M 到准线的距离 ).8【. 2017 高考四川文11】方程 ayb2 x2c 中的 a, b, c 2,0,1,2,3，且 a, b, c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A、28 条B、32 条C、36 条D、48 条【答案】 B 解析 方程 ay22c 变形得 x

8、2ayca0,b0b xb2b2 ，若表示抛物线，则所以，分 b=-2,1,2,3四种情况：a1, c0,或 2,或3a2, c0,或1,或3（1）若 b=-2，a2,c0,或1,或3;（ 2）若 b=2,a1, c2, 或0,或3a 3， c0,或1,或2a 3， c2,或0,或1以上两种情况下有4 条重复，故共有 9+5=14 条；同理 若 b=1，共有9 条；若 b=3 时，共有 9 条 .综上，共有 14+9+9=32 种 点评 此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4 条抛物线 . 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用 .9. 2017高考上海文

9、16m、n，“ mn 0 ”是“方程mx2ny21的曲线是【】对于常数椭圆”的（）决战高考A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】 B.m0,【解析】 方程 mx2ny21 的曲线表示椭圆，常数常数m, n 的取值为n0, 所以，由mn,mn0 得不到程 mx2ny21 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 mn 0，因而必要 .所以答案选择 B.【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数m, n 的取值情况 .属于中档题 .10.【 2017 高考江西文x

10、2y21(a b 0) 的左、右顶点分别是A，B，左、右8】椭圆b2a2焦点分别是F1， F2。若 |AF 1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为151A.B.C.D.5-2452【答案】 B【解析】 本题着重考查等比中项的性质， 以及椭圆的离心率等几何性质， 同时考查了函数与方程，转化与化归思想 .利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知： AFa c ， F F22c ，11F1 Ba c . 又已 知 AF1， F1F2 ， F B 成等比数列，故 ( ac)(ac)(2c)2 ， 即1a2c24 c2，则 a25c2 .故 ec5.即椭圆的离心率为5.a55

11、【点评】 求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关a,c 的方程， 然后化为有关a, c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质 . 来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.x2y 211.【 2017 高考湖南文6】已知双曲线C ： a2- b2 =1 的焦距为 10，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则C 的方程为A x2y2x2y2=1x2y 2=1x2y2=120-=1 B.-C.-D.-552080202080【答案】 A决战高考： x2- y2【解析】设双曲线C22=1 的半焦距为 c ，则 2c10,

12、c5 .ab又C 的渐近线为 yb x ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，1b 2 ，即 a 2b .aa又 c2a2b2 ，a25,b5 ， C 的方程为 x2- y 2=1.205【点评】 本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.12.【 2102 高考福建文x2y2=1 的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率5】已知双曲线2 -5a等于31432C34AB42D143【答案】 C.考点： 双曲线的离心率。难度： 易。分析： 本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率c即可。ea解答： 根据焦点坐标(3,0) 知

13、c3 ，由双曲线的简单几何性质知a25 9 ，所以 a2 ，因此 e3.故选 C.2二 、填空题13.【 2017 高考四川文x2y25) 的的左焦点为F ，直线15】椭圆1(a 为定值，且 aa25x m 与椭圆相交于点A 、 B ， FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_。【答案】2 ，3 解析 根据椭圆定义知：4a=12, 得 a=3 , 又a2c 25cc22, e3a 点评 本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.14. 【 2017高考辽宁文15】已知双曲线x2y 2 =1,点 F1,F 2 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若 PF

14、 PF, 则 P F + P F 的值为 _.1212【答案】 23【命题意图】 本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适决战高考中。【解析】 由双曲线的方程可知a1,c2,PF1PF22a 2,22 PF1PF2PF224PF1PF1PF2 ,2PF22(2c)28,2 PF1PF24,PF1( PF1PF2 )28412,PF1 PF22 3【点评】 解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差积和的转化。15. 【 2017 高考江苏 8】（ 5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2y2mm21的离4心率为5 ，则 m 的值为【答案】 2。【考点】 双

15、曲线的性质。【解析】 由 x 2y 21得 a=m， b=m24， c= mm24 。mm24cmm245 ，即m24m4=0 ，解得 m=2 。 e=m=a16.【 2017 高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 米，水面宽4 米，水位下降 1米后，水面宽米 .【答案】 2 6.【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（ 0,0），设 l 与抛物线的交点为A、 B ，根据题意，知A（ -2，-2），B （2， -2）设抛物线的解析式为yax2 ，则有 2 a2 2 ， a1 2抛物线的解析式为y1 x2 2水位下降 1 米，则 y-3，此时有 x

16、6 或 x6 决战高考此时水面宽为 2 6 米17.【 2017 高考重庆文 14】设 P 为直线 ybx2y21(a 0, b 0) 左支的x 与双曲线a2b23a交点， F1 是左焦点， PF1 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率e18.【2017高考安徽文】过抛物线y24x的焦点 F的直线交该抛物线于A, B两点，若14| AF | 3 ，则 | BF |=_ 。【答案】 32【解析】设AFx(0)及 BFm ；则点 A 到准线 l : x1的距离为3得：3 23coscos1又 m 2m cos()m2331cos2x 2y 219. 【 2017高考天津文科11 】 已 知 双 曲 线

17、 C1 : a 2b 21(a0, b0)与双曲线C 2: x 2y 21 有相同的渐近线，且C1 的右焦点为 F (5,0),则 ab416【答案】 1， 2【解析】双曲线的x 2y21 渐近线为 y2x ，而 x2y21 的渐近线为 yb x ，416a 2b2a所以有 b2 ， b2a ，又双曲线x 2y 21的右焦点为(5,0) ，所以 c5 ，又aa 2b 2c 2a 2b2 ，即 5a24a 25a2 ，所以 a 21, a1, b2。三、解答题决战高考20. 【 2017 高考天津 19】（本小题满分 14 分）已知椭圆（ a>b>0） ,点 P（,）在椭圆上。（I

18、）求椭圆的离心率。（II ）设 A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足 |AQ|=|AO| 求直线 OQ 的斜率的值。【解析】 ( )点 P( 5 a,2 a) 在椭圆上521 a21 a225b236521b21ea2b2a28ea284( )设 Q(a cos,b sin )(02) ；则 A(a,0)AQAOa2 (1cos )2b2 sin2a23cos216cos50cos13bsin5直线 OQ 的斜率 kOQacos21. 【 2017 高考江苏 19】（ 16 分）如图，在平面直角坐标系 xoy中，椭圆 x2y21(a b 0)a2b2的左、右焦点分别为 F1

19、 (c，0) ， F2 (c ，0) 已知 (1，e) 和 e，3 都在椭圆上， 其中 e 为椭圆2的离心率（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点， 且直线 AF1 与直线 BF2 平行， AF2 与 BF1 交于点 P（ i ）若 AF1 BF26，求直线 AF1 的斜率；（ ii ）求证： PF12PF2 是定值决战高考【答案】 解：（ 1）由题设知， a2 =b2c2，e= c ，由点 (1，e) 在椭圆上，得a12e21c 2222 22222a2b2 1a2a 2b2 =1bc=a ba= abb=1， c2 = a21。由点e， 3在椭圆上，得2

20、232322222e1c1a131 a44a 24=0a2 =2b21a2a4a44椭圆的方程为x2y21 。2（2）由（ 1）得 F1 ( 1，0) ， F2 (1，0) ，又 AF1 BF2 ，设AF1、BF2的方程分别为my=x1，my=x 1，A x1，y1 ，B x2，y2 ，y1 > 0，y2 > 0。x 2221y11222my1 1=0m2m22。m2 y1y1 =2my1=x11m222222m 2m22 2 m2 1 m m2 1AF=x 1y1 0 =myy1 = m 1。111m22m22同理， BF2 =2 m21m m21m22。（ i ）由得，AF1B

21、F22m m21 。解 2m m21 =6 得 m2 =2。m22m222决战高考注意到 m > 0 ， m=2 。直线 AF1 的斜率为1 =2 。m2（ ii）证明：AF1 BF2， PBBF2， 即PF1AF1PB1BF1PBPFBFAF。 1PF12PF 112AF1AF1AF1BF1 。 PF1=BF2AF1由点 B 在椭圆上知， BFBF22， PF =AF122BF。121 AFBF221同理。 PF =BF222AF。2AF1BF21 PF1+PF2 =AF122 BF2BF222 AF12 22 AF BF2AF1BF2AF1BF2AF1BF2由得， AF122 m21

22、， AF21BF =m22BF = m，m22 PF1+PF2 =2 22=3 2。22 PF1PF2 是定值。【考点】 椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】 （ 1）根据椭圆的性质和已知(1，e) 和e， 3都在椭圆上列式求解。2（ 2）根据已知条件 AF1 BF26，用待定系数法求解。222.【 2017 高考安徽文 20】（本小题满分13 分）x2+y2a b 0）如图， F1 ,F2 分别是椭圆 C ：22 =1（ab的左、右焦点， A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另决战高考一个交点， F1 AF2 =60°.（）求椭圆C 的离心率；（

23、）已知A F1B 的面积为403 ，求 a, b的值 .【解析】（ I）F1 AF260a2cc1e2a（）设 BF2m ；则 BF12am22F1 F222 BF2F1F2cos120在BF1F2 中， BF1BF2(2 a m) 2m2a2am m3 a5S1F2 F1ABsin 601a3a)322(a40 3AF1 B 面积52a10,c5,b5323.【 2017 高考广东文 20】（本小题满分14 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C1 ：x2y21 （ ab0 ）的左焦点为a2b2F1 ( 1, 0)，且点 P(0,1)在 C1上.（ 1）求椭圆 C1的方程；（ 2）设直线

24、 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 ： y24x 相切，求直线 l 的方程 .【答案】【解析】（ 1）因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (1,0) ，所以 c1，点 P(0,1)代入椭圆 x2y2 1，得11 ，即 b1，a2b2b2所以 a2b2c22 ，所以椭圆 C1 的方程为 x2y21.2（2）直线 l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为 ykxm ，x2y21 ，消去 y 并整理得 (12k 2 )x24kmx2m220 ，2ykxm决战高考因为直线 l与椭圆 C1 相切，所以16k 2m24(12k 2 )(2m22)0 ，整理得 2k 2m210y24xm，消去 y 并整理得

25、 k 2 x2(2km4)xm20。ykx因为直线 l与抛物线 C2 相切，所以(2km4)24k 2 m20，整理得 km1k2k222综合，解得或。m2m2所以直线 l 的方程为 y2 x2 或 y2 x2 。2224.【 2102 高考北京文19】 (本小题共 14 分 )已知椭圆C：x2y2=1（ a b 0）的一个顶点为A （ 2,0），离心率为2， 直线 y=k(x-1)a2 + 22b与椭圆 C 交与不同的两点 M,N（）求椭圆C 的方程（）当 AMN的面积为10 时，求 k 的值3【考点定位】 此题难度集中在运算， 但是整体题目难度确实不大， 从形式到条件的设计都是非常熟悉的，

26、相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。a2解：（ 1）由题意得c2解得 b2 .所以椭圆 C 的方程为 x2y21.a242a2b2c2yk( x1)得 (1 2k 2 ) x24k 2 x 2k 2（2）由x2y214 0 .42设点 M,N的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 )， 则 y1k( x11) ， y2k( x2 1) ，x1 x24k2， x1x22k24.12k212k 2所以 |MN|=( x2x1) 2( y2y1) 2=(1k2 )( x1x2 ) 24x1x2 =2 (1k2 )(4 6k 2 ).| k |12k2由因为点 A(2,0) 到直线 yk (x，1）的距离 d2k21决战高考所以 AMN的面积为S1| k | 46k 2| k | 4 6k210