固体物理 04-02一维周期场中电子运动的近自由电子近似

1、固体物理 Solid State Physics西南科技大学固体物理Solid State Physics4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似一维周期场中电子运动的近自由电子近似 第四章第四章 能带理论能带理论固体物理 Solid State Physics西南科技大学04_02 一维周期场中电子运动的近自由电子近似一维周期场中电子运动的近自由电子近似 模型和微扰计算模型和微扰计算 近自由电子近似模型近自由电子近似模型 假定势场的起伏较小假定势场的起伏较小 金属中电子受到原子金属中电子受到原子 实周期性势场的作用实周期性势场的作用固体物理 Solid State Physics西南科技

2、大学零级近似零级近似 用势场平均值代替原子实产生的势场用势场平均值代替原子实产生的势场 周期性势场的起伏量周期性势场的起伏量 可以作为微扰来处理可以作为微扰来处理)(xVV VVxV)(固体物理 Solid State Physics西南科技大学一，零级近似下电子的能量和波函数一，零级近似下电子的能量和波函数 空格子中电子的能量和波函数空格子中电子的能量和波函数金属的线度金属的线度零级近似下：零级近似下：VdxdmH22202薛定谔方程：薛定谔方程：00020222EVdxdm波函数和能量本征值波函数和能量本征值VmkEk2220ikxkeLx1)(0NaL 固体物理 Solid State

3、Physics西南科技大学波函数和能量本征值波函数和能量本征值VmkEk2220mkEk2220固体物理 Solid State Physics西南科技大学满足正交归一化满足正交归一化Nalk20*00Lkkkkdx l 为整数为整数周期边界条件周期边界条件0()11( )ikxik x NakxeeLL2lkNa 电子的波矢取值电子的波矢取值 能量能量VmkEk222001固体物理 Solid State Physics西南科技大学二，微扰下电子的能量本征值二，微扰下电子的能量本征值 哈密顿量哈密顿量0HHH22022( )dHVm dxHV xVV 根据微扰理论，电子的能量本征值根据微扰理

4、论，电子的能量本征值.)2()1(0kkkkEEEE固体物理 Solid State Physics西南科技大学一级能量修正一级能量修正(1)011( )LikxikxkEeV xe dxVLL(1)011 ( )LikxikxkEeV xVe dxLL0(1)|kEkHk|( )|k V xV k能量本征值能量本征值.)2()1(0kkkkEEEE固体物理 Solid State Physics西南科技大学二级能量修正二级能量修正002)2(| | kkkkEEkHkE()0(1/ )( )Li kk xLeV x dx|( )|kHkk V xV k 按原胞划分按原胞划分1(1)()01(

5、 )Nnai kk xnaneV x dxNa kk|( )|k V xk固体物理 Solid State Physics西南科技大学10)1()()(1| )(| NnannaxkkidxxVeNakxVk 引入积分变量引入积分变量 nax势场为晶格周期性函数势场为晶格周期性函数)()(naVVdxd:0a 固体物理 Solid State Physics西南科技大学1( )( )0011|( )|( )Nai kki kk a nnk V xkeVdeaN2kkna1110)(NnnakkieN2kkna()1()()011 11i kk NaNi kk a ni kk aneeNNe1)

6、 2) 22klNaklNa0固体物理 Solid State Physics西南科技大学2|( ) |( )2|( ) |0kknk V xkV nakknk V xka V(x)的第的第n个个 傅里叶系数傅里叶系数2|( )2|0kknkHkV nakknkHka()01|( )|( )ai kkkHkk V xkeVda1( )( )0011|( )|( )Nai kki kk a nnk V xkeVdeaN固体物理 Solid State Physics西南科技大学二级修正项二级修正项22022022kkkEVmkEVm002)2(| | kkkkEEkHkE2(2)222(2 )

7、2nknVEnkkma|( )kHkV n2kkna固体物理 Solid State Physics西南科技大学0(1)(2)kkkkEEEE220(1)2(2)222( )0,02(2 ) 2( )(1/ )( )kknknai kkkEVEmVEnkkmaV naeVd 电子的能量本征电子的能量本征值值2222222(2 ) 2nknVkEVnmkkma固体物理 Solid State Physics西南科技大学三，微扰下电子的波函数三，微扰下电子的波函数 电子的波函数电子的波函数.)()()()1(0 xxxkkk波函数的一级修正波函数的一级修正0( )(1/)ikxkxL e000)1

8、(| | kkkkkEEkHk(2 / )|0kknakHk(2 / )|( )kknakHkV n固体物理 Solid State Physics西南科技大学2(1)2221(2 ) 2nixikxnaknVeenLkkma 计入微扰电子的波函数计入微扰电子的波函数xaninnikxikxkeankkmVeLeLx2222)2(211)(000)1(| | kkkkkEEkHk0( )(1/)ikxkxL e固体物理 Solid State Physics西南科技大学)2(211)(2222xaninnikxkeankkmVeLx令令xaninnkeankkmVxu2222)2(21)(可以

9、证明可以证明()( )kkuxmaux( )(1/)( )ikxkkxL e ux电子波函数电子波函数 布洛赫函数形式布洛赫函数形式 晶格周期性函数晶格周期性函数固体物理 Solid State Physics西南科技大学xaninnikxikxkeankkmVeLeLx2222)2(211)( 电子波函数的意义电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波电子波函数和散射波 前进的平面波前进的平面波 势场作用产生的散射波势场作用产生的散射波散射波的波矢散射波的波矢相关散射波成份的振幅相关散射波成份的振幅2ankk)2(2222ankkmVn固体物理 Solid State Physics西南科技

10、大学散射波散射波(2)2221(2 ) 2ni kxnanVenLkkma(2)ni kikaeenak22na 2电子入射波波长电子入射波波长 布拉格反射条件在正入射时的结果布拉格反射条件在正入射时的结果kk nka 如果相邻原子的散射波有相同的相位如果相邻原子的散射波有相同的相位222 ）（ankk固体物理 Solid State Physics西南科技大学波函数一级修正项波函数一级修正项222(2 ) 2nVnkkma 散射波成份的振幅散射波成份的振幅22221(2 ) 2nixikxnanVeenLkkma 微扰法不再适用了微扰法不再适用了ank入射波波矢入射波波矢固体物理 Solid

11、 State Physics西南科技大学2) 电子波函数和不同态之间的相互作用电子波函数和不同态之间的相互作用xaninnikxikxkeankkmVeLeLx2222)2(211)(在零级波函数在零级波函数 中掺入其它零级波函数中掺入其它零级波函数ikxkeLx1)(0 能量差越小掺入部分越大能量差越小掺入部分越大xankikeLx)2(01)(固体物理 Solid State Physics西南科技大学当当 时时ankanankk2xaninnikxikxkeankkmVeLeLx2222)2(211)(VmkEk22202202kkEVm两个状态具有相同的能量两个状态具有相同的能量 导致

12、了波函数的发散导致了波函数的发散00kkEE固体物理 Solid State Physics西南科技大学 电子能量的意义电子能量的意义nnkankkmVE)2(22222)2(2)kE ,nnkkaa 二级能量修正二级能量修正当当 电子的能量是发散的电子的能量是发散的 k和和k两个状态具有相同的能量两个状态具有相同的能量 _k和和k态简并态简并固体物理 Solid State Physics西南科技大学 电子波矢在电子波矢在 附近的能量和波函数附近的能量和波函数 ank简并微扰简并微扰 波函数由简并波函数线性组合构成波函数由简并波函数线性组合构成状态状态)1 (ank 是一个小量是一个小量 主

13、要影响的状态主要影响的状态2(1)nnkkaa 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响0 固体物理 Solid State Physics西南科技大学)1 (ank状态状态 对状态对状态 的影响的影响)1 (ank固体物理 Solid State Physics西南科技大学简并波函数简并波函数00( )kkxab0(1/)ikxkL e0(1/)ikxkL e薛定谔方程薛定谔方程)()()(0 xExHxHVdxdmH22202( )HV xVV 考虑到考虑到00000000kkkkkkHEand HE0000()()0kkkka EEVb EEV固体

14、物理 Solid State Physics西南科技大学分别以分别以 和和 从左边乘方程，对从左边乘方程，对 x 积分积分*0k*0 k利用利用0kVkkVk线性代数方程线性代数方程0*0()0()0knnkEE aV bV aEE ba, b有非零解有非零解00*0EEVVEEknnk0)()(0000kkkkVEEbVEEa*nnVk V kVk V k 固体物理 Solid State Physics西南科技大学1)nkkVEE00波矢波矢k离离 较远，较远，k状态的能量和状态状态的能量和状态k差别较大差别较大an200000021() 14/() 2kkkknkkEEEEEVEE200

15、0021()42kkkknEEEEEV将将 按按 展开展开200 214/()nkkVEE20024/()nkkVEE)1 (ank)1 (ank能量本征值能量本征值固体物理 Solid State Physics西南科技大学2000000221()12()nkkkkkkVEEEEEEE22002002214/()1()nnkkkkVVEEEE 20002000nkkknkkkVEEEEVEEE(/ )(1)kna (/ )(1)kna000kkEE固体物理 Solid State Physics西南科技大学00kkEE k和和k能级相互作用的结果能级相互作用的结果 是原来能级较高的是原来能级

16、较高的k提高提高;原来能级较低的原来能级较低的k下压下压 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级 总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了20002000nkkknkkkVEEEEVEEE 能级间能级间“排斥作用排斥作用” EE固体物理 Solid State Physics西南科技大学00kkEEEE 原来能级较高的原来能级较高的k提高提高_ 原来能级较低的原来能级较低的k下压下压20002000nkkknkkkVEEEEVEEE固体物理 Solid State Physics西南科技大学2)00k

17、knEEV波矢波矢k非常接近非常接近 ，k状态的能量和状态的能量和k能量差别很小能量差别很小an200002121() /42kknkknEEEVEEV将将 按按 展开展开20021() /4kknEEV2002() /4kknEEV2000021()42kkkknEEEEEV)1 (ank(1)nka 固体物理 Solid State Physics西南科技大学00200222()1 ()11244kkkknnEEEEVV 002001()224kkkknnEEEEEVVVmkEk22202202kkEVm)1 (ank(1)nka 22)(2anmTn2022220222() (1)(1)

18、2() (1)(1)2knknnEVVTmanEVVTma 固体物理 Solid State Physics西南科技大学 结果分析结果分析 ) 12() 12(22nnnnnnnnnnVTTVTVVTTVTVE1) 两个状态两个状态k和和k微扰后，能量变为微扰后，能量变为E+和和E-原能量高的态原能量高的态 ，能量提高；原能量低的态，能量提高；原能量低的态 能能量降低量降低0 k0k)1 (ank(1)nka 22)(2anmTn0 固体物理 Solid State Physics西南科技大学两个相互影响的状态两个相互影响的状态k和和k微扰后，能量变为微扰后，能量变为E+和和E-) 12(2n

19、nnnnVTTVTVE) 12(2nnnnnVTTVTVE固体物理 Solid State Physics西南科技大学22(2/1)(2/1)nnnnnnnnnnVTVTTVEVTVTTV 2) 当当 0 时时nnVTVE(1)nka (1)nka 固体物理 Solid State Physics西南科技大学nnVTVE两种情形下完全对称的能级两种情形下完全对称的能级)1 (ank)1 (ank A和和B0 0 两个状态作用后的能级两个状态作用后的能级 C和和D0 0 两个状态作用后的能级两个状态作用后的能级00and 固体物理 Solid State Physics西南科技大学3) 能带和带

20、隙能带和带隙_禁带禁带零级近似，电子能量曲线为抛物线零级近似，电子能量曲线为抛物线 VmkEk2220nkkVEE00k状态不计二级能量修正状态不计二级能量修正nnankkmV)2(22222微扰情形，电子的微扰情形，电子的k不在不在 附近附近/na固体物理 Solid State Physics西南科技大学3) 能带和带隙能带和带隙_禁带禁带VmkEk222 抛物线抛物线2222222(2 ) 2nknVkEVnmkkma0固体物理 Solid State Physics西南科技大学nak电子的一个状态波矢电子的一个状态波矢nak存在一个存在一个 状态状态 两个态的能量相同两个态的能量相同k

21、na电子的一个状态波矢电子的一个状态波矢 kna存在一个存在一个 状态状态 两个状态的能量相近两个状态的能量相近固体物理 Solid State Physics西南科技大学由于周期性势场的微扰由于周期性势场的微扰能量的突变能量的突变2nV 微扰只考虑两个态的作用微扰只考虑两个态的作用kna 能量本征值在能量本征值在 处断开处断开222(1)2(1)nnnnnnnnnnTVTVTVETVTVTV 禁带宽度禁带宽度固体物理 Solid State Physics西南科技大学电子波矢取值电子波矢取值Nalk2VmkEk222 一个一个l，有一个量子态，有一个量子态k能量本征值能量本征值 当当N很大时

22、，能量视为准连续很大时，能量视为准连续 由于晶格周期性势场的影响由于晶格周期性势场的影响 晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带能量本征值在能量本征值在 处断开处断开nak固体物理 Solid State Physics西南科技大学4) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲5) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处1 221 421 62kaaa 禁带宽度禁带宽度122, 2,2gnEVVV 取决于金属势场形式取决于金属势场形式固体物理 Solid State Phys

23、ics西南科技大学 能带及一般性质能带及一般性质 自由电子的能谱自由电子的能谱mkEk222 晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界),3,3(),2,2(),(aaaaaa产生了宽度产生了宽度 的禁带的禁带,2,2,2321VVVEg发生能量跃变发生能量跃变 远离布里渊区边界，近自由电子的能谱远离布里渊区边界，近自由电子的能谱 _抛物线抛物线固体物理 Solid State Physics西南科技大学),(),(),(321kEkEkE 每个波矢每个波矢k有一个量子态有一个量子态 原胞的数目趋于无限大时，波矢原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得

24、非常密集变得非常密集 能级的准连续分布形成了一系列的能带能级的准连续分布形成了一系列的能带 各能带之间是禁带各能带之间是禁带 在完整的晶体中在完整的晶体中 禁带无允许的能级禁带无允许的能级固体物理 Solid State Physics西南科技大学能带序号能带序号k的范围的范围k的长度的长度布里渊区布里渊区第一布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第二布里渊区第三布里渊区第三布里渊区 一维布喇菲格子一维布喇菲格子能带序号、能带涉及波矢能带序号、能带涉及波矢k的范围和布里渊区的对应的范围和布里渊区的对应关系关系)(1kEaaa2)(2kEaa2aa2a2)(3kEaa23aa32a2固体物理 Soli

25、d State Physics西南科技大学一维布喇菲格子，能带序号、波矢一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系和布里渊区对应关系固体物理 Solid State Physics西南科技大学 每个能带中包含的量子态数目每个能带中包含的量子态数目波矢波矢k的取值的取值Nalk2Nalk2 k的数目的数目kkk(/2 )lNak 每个能带对应每个能带对应k的取值范围的取值范围2 /ka 各个能带各个能带k的取值数目的取值数目NaNa22 原胞的数目原胞的数目 计入自旋，每个能带中包含计入自旋，每个能带中包含2N个量子态个量子态量子态数目量子态数目固体物理 Solid State Phys

26、ics西南科技大学 电子波矢和量子数电子波矢和量子数简约波矢简约波矢的关系的关系 aa 第一布里渊区第一布里渊区电子的波矢电子的波矢Nalk2在一维情形中在一维情形中 m为整数为整数kmak2的取值范围的取值范围k 平移算符本征值量子数平移算符本征值量子数k 简约波矢，计为简约波矢，计为 简约波矢简约波矢和电子波矢和电子波矢k之间的关系之间的关系 k l 为整数为整数简约波矢简约波矢k固体物理 Solid State Physics西南科技大学xaninnikxikxkeankkmVeLeLx2222)2(211)( 电子的波函数电子的波函数可以表示为可以表示为)()(xvexikxk)2(2

27、1 (1)(2222xaninneankkmVLxv 晶格周期性函数晶格周期性函数固体物理 Solid State Physics西南科技大学kmak2将将 代入代入)()(xvexikxk)2(211()(22222xaninnmxaixk ikeankkmVLLeex)2(211()(22222xaninnmxaieankkmVLLexu 晶格周期性函数晶格周期性函数 固体物理 Solid State Physics西南科技大学)()(xuexxk ik晶体中电子的波函数晶体中电子的波函数 利用电子波矢和简约波矢的关系利用电子波矢和简约波矢的关系 电子在周期性势场中的波函数为布洛赫函数电子

28、在周期性势场中的波函数为布洛赫函数)2(211()(22222xaninnmxaieankkmVLLexu固体物理 Solid State Physics西南科技大学 用用简约波矢简约波矢来表示电子的能量来表示电子的能量 电子的能量电子的能量2222222(2 )2nknVkEVnmkkmakmak2 m为整数，对应于不同的能带为整数，对应于不同的能带固体物理 Solid State Physics西南科技大学第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢2nGna移到简约布里渊区移到简约布里渊区 每一个能带在简约布里渊区都有各自的每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像图像 所有能带在简约布里渊区的图像所有能带在简约布里渊区的图像 简约波矢简约波矢的取值被限制在简约布里渊区的取值被限制在简约布里渊区 要标志一个状态需要表明要标志一个状态需要表明 1) 它属于哪一个能带它属于哪一个能带(能带标号能带标号