三角函数解三角形练习题

1、三角函数及解三角形练习题一 解答题(共16小题)1.在ABC 中，3sinA+4cosB=6 , 4sinB+3cosA=1 ，求 C 的大小.2 .已知 3sin 6tan 0=8，且 0 v Bv n(I)求 cos 0(U)求函数f (x) =6cosxcos (x - 0)在0 ,匹上的值域.43 .已知斗是函数f (x) =2cos 2x+asin2x+1 的一个零点.(I)求实数a的值；(U)求f (x)的单调递增区间.4 .已知函数 f (x) =sin (2x+) +sin 2x.(1) 求函数f (x)的最小正周期；(2) 若函数g (x)对任意x R,有g (x) =f (

2、x+)，求函数g (x)在- 丄，一上的值域.b £5 .已知函数f (x) =2sin xcos wx+cos2 wx ( w>0 )的最小正周期为 n(1) 求w的值；(2) 求f (x)的单调递增区间.6.已知函数f (x) = .sin ( wx+妨(w>0，-丄)的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为n(I)求w和©的值；/tt、卄 £/口、/ 开2 兀、+/3 兀、砧 /古(U)若 f (迈-)=帀-(飞-< aVj)，求 cos ( a+飞一)的值.7 .已知向量 3= (cosx，sinx)，右=(3，-J5)，x

3、 0， n .(1)若J ：、,求x的值;(2)记f (x)二币求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的值.8.已知函数 尊4二治53計9)(11>山 WI烤)的部分图象如图所示.(1) 求函数f (x)的解析式；(2) 在KBC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a,b , c，若(2a - c) cosB=bcosC , 求f (魯)的取值范围.9 .函数f (x) =2sin ( 3X+ ©) ( w> 0 , 0 < <)的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y轴交于点F (0，问,与x轴交于点B , C,且AMBC的 面积为n(I)求函数

4、f (x)的解析式；(U)若 f ( a-0)= J 5，求 cos2 a 的值.45IT10 已知函数二(I)求f (x)的最大值及相应的x值；(U)设函数，如图，点P, M , N分别是函数y=g (x)图象的零值点、最高点和最低点，求 cos ZMPN的值.7T)+sin ( 3X -7T)，其中0 v CD< 3 ,已知f (n)将函数y=f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)， 再将得到的图象向左平移十个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在- 上的最小值.12 .在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知2 (tanA+tanB )

5、_ tanA , tanB=.cosB cosA(I)证明：a+b=2c ;(n)求cosC的最小值.13 .如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.证明：tan 4；(n )若 A+C=180 °， AB=6 ， BC=3 ， CD=4 ， AD=5 ，求 tan +tan 丄+tan 二+tan 亘 的值.14 .已知函数 f (x)=丄sin2x - ；：£cos2x.(I)求f (x)的最小周期和最小值；(n)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变,得到函数g (x)的图象当x 善，兀时，求g (x)的值域.15 .已知函数 f

6、 (x) =sin (-x) sinx - ':cos2x .(I) 求f (x)的最小正周期和最大值；(II) 讨论f (x)在俘，菩上的单调性.6 316.已知函数 f (x) =sin (3x+).4(1)求f (x)的单调递增区间;值.(2)若a是第二象限角,)C0S2 a,求 cos a- Sin a 的-可编辑修改-17 .设 f (x) =2 :;sin ( n- x) sinx -( sinx - cosx ) 2(I)求f (x)的单调递增区间;2倍(纵坐标不变)，的图象，求g(U)把y=f (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的再把得到的图象向左平移个单位，得到函

7、数y=g (x)3的值.18 已知函数f (x) =sin(x- ), g (x) =2sin 鼻.(【)若a是第一象限角，且f (a)=-，求g ( a)的值;(U)求使f (x) >g (x)成立的x的取值集合.19 .已知向量生(m， cos2x )，b = (si n2x，n)，函数 f (x)=力？b，且 y=f(x)的图象过点(，'鳥)和点(一，-2).(I)求m，n的值；(n)将y=f (x)的图象向左平移© (0 v X n)个单位后得到函数y=g (x ) 的图象，若y=g (x)图象上的最高点到点(0 ,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递

8、增区间.三角函数及解三角形练习题参考答案与试题解析一 解答题(共16小题)1. (2017?遂宁模拟)在厶ABC 中，3sinA+4cosB=6 , 4sinB+3cosA=1 ，求 C 的大小.【分析】对已知式平方，化简，求出sin (A+B )，确定A+B的值，利用三角形的内角和求出C的大小.【解答】解：两边平方(3sinA+4cosB ) 2=36得 9sin2A+16cos 2B+24sinAcosB=36 (4sinB+3cosA ) 2=1得 16sin 2B+9cos 2A+24sinBcosA=1 + 得：(9sin 2A+9cos 2A )+( 16cos 2B+16sin

9、2B )+24s in AcosB+24s in BcosA=37即 9+16+24sin(A+B ) =37所以 sin (A+B )=丄，所以A+B二字或者学6 6若 A+B= 2-，贝U cosA >& 23cosA >3 : > 1，贝U 4sinB+3cosA > 1 这是不可能的2所以A+B=匹6因为 A+B+C=180 °所以C= 【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题.2 . (2017?浙江模拟)已知 3sin etan 0=8，且 0 v 9< n(I)求 cos 0(U)求函数 f (x) =6c

10、osxcos (x - 0)在0，上的值域.4【分析】(I)利用同角三角函数的基本关系求得 cos 0的值.(U)禾I用三角恒等变换化简函数f( x)的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数在0，上的值域.o- 2 Q【解答】解：(I)：3sin 0an 0=3=8，且 0 < 0< n，.'.cos 0>0， 0 为锐cos y角.=8，求得 cos 0=ccs 91_，或 cos 0= - 3 (舍去)，.sin 0=.，综上可得,cos 0=二.(U)函数 f (x) =6cosxcos (x- 0) =6cosx ? (cosxF=2cos 2x+4

11、_sinxcosx=cos2x+1+2：】sin2x=3 (一cos2x+ 二 sin2x )=3cos (2x - 0)，在0，气-上, 2x - 0 - 0, -0，f (x)在此区间上先增后减,当2x - 0=0时，函数f (x)取得最大值为3，当2x - 9= -B时，函数f (x )取得最小值为 3cos (- 0) =3cos 0=1 ,故函数在0 ,上的值域为1 , 3.4【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题.3. (2017?海淀区一模)已知 是函数f (x) =2cos 2x+asin2x+1 的一个零点. 3(I)求实数a的值；(U)求f (

12、x)的单调递增区间.【分析】(I)利用函数的零点的定义，求得实数 a的值.(II)利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f (x) 的单调递增区间.【解答】解：(I)由题意可知f(冷-)二°，即£()二衣口 £丄厶+1二Q， 即)2 4乡自+1=0，解得于.由(I)可的递增区间为k Z.k Z,函数y=sinx-；=巳f 暑一 ，由洙兀手 2卄罟 SknA， 得k冗兀弓，k 乙 所以，f (x)的单调递增区间为k兀上兀卡,k 乙【点评】本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等变换、正弦函数的单调性, 属于中档题.4. (2017?衡阳三模)已知

13、函数f (x)=sin (2xT) +sin 2x.(1)求函数f (x)的最小正周期;(2)若函数g (x)对任意x R,有g (x) =f (x+),求函数g (x)在-兀2 1【分析】(1 )利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数f (x),再由周期公式计算得答案;(2)由已知条件求出g (x) =sin (2x+兀山弩332x+上的值域.7V)+寺，当 x -,由正弦函数的值域进一步求出函数g (x)在-旦，些时，则7T育，兀2【解答】解：(1) f (x) =sin (2x+= (-sin2x4-<os 2x)+5 in3 x2=sin2x+ cos2x+sin 2x2

14、27T)+sin 2xin 2x+122in 2x+1'f (x)的最小正周期T=(2)v 函数 g (x)对任意 x R,有 g (x) =f (x+),si n2(x+ ')+丄=sin(2x+ ')+丄2| 522| 52兀匚，一时，则2x+当 x -则-y-<sin (2x+7T)<1,x_<g (X)，解得<g (x)<1.综上所述，函数g (x)在-TVTV ._，T'上的值域为:,1.【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法， 考查了函数值域的求法，是中档题.5. (2016?北京)已知函数 f (x) =2sin

15、®xcos ®x+cos2 wx(3>0)的最小正 周期为n(1) 求w的值；(2) 求f (x)的单调递增区间.【分析】(1 )利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得(的值；(2)直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x的取值范围得f (x)的单调递增 区间.【解答】解：(1) f (x) =2sin wxcos wx+cos2 wx=sin2 wx+cos2 wx= (牙si迪® 計旁83 J =&win(2黏q-).由T=二,得w=1 ；(2)由(1)得，f (x)=逅日.再由兀牛弓7匪兀，得-3, +k冗兀* kE Z .

16、9;f (x)的单调递增区间为- "J十圧兀, (k Z).1-1 冗.w©v）的【点评】本题考查 y=Asin ( wx+ ©)型函数的图象和性质，考查了两角和的正 弦，属中档题.6. (2014?重庆)已知函数 f (x)=二sin (应+ 妨(w>0，兀图象关于直线X=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为(I)求w和©的值;若f )=(-a<3),求 COS ( a+37T)的值.【分析】(I)由题意可得函数f (x)的最小正周期为n求得3=2 .再根据图象关于直线x=对称，结合-(n)由条件求得sin ( a 兀2三.再根据4呵可得&

17、#176;的值.a_的范围求得COS ( a-6的值，再根据COS ( a+)=sin a=sin ( a| &)+，利用两角和的正弦公式计算求得结果.【解答】解：(I)由题意可得函数f (x)的最小正周期为n =再根据图象关于直线x=对称，可得27T2,k z.结合-兀2可得©=-7T(n)vf(< a<7T2&)，7T；sin再根据'cos (=sin a=sin ( a7T 'COS ( a+3JT=sin ( a7TT)COS+COS ( a.兀 sin 1 V3W15【点评】本题主要考查由函数 y=Asin ( ®x+

18、©)的部分图象求函数的解析式, 两角和差的三角公式、的应用，属于中档题.7. (2017?江苏)已知向量 a= ( cosx，sinx )，b = (3，礦)，x 0， n .(1) 若J /，求x的值；(2) 记f (x) =； &求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx= -L,问题得以解决,(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：(1 )"= (cosx , sinx ), b= (3 ,-71),已/b , - :'；cosx=3sinx ,tanx=誓 x=5兀6

19、(2)f(x)=丨 I =3cosx -：；sinx=2 - (cosx -sinx ) =2 - ；cos (x+7TT),x 0 , n, -I <cos (x+)6 2 5当x=0时，f (x)有最大值，最大值3 ,当x=,f (x )有最小值，最小值-2 -【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数 的性质，属于基础题8. (2017?锦州一模)已知函数二Usin(怕計(P)0C>a|<)的部分图U象如图所示.(1) 求函数f (x)的解析式；(2) 在KBC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a,b , c，若(2a - c) cos

20、B=bcosC ,求的取值范围.3和氛即可求函数f ( X)的解析式;(2)利用正弦定理化简，求出B,根据三角内角定理可得 A的范围，利用函数 解析式之间的关系即可得到结论【解答】解：(1 )由图象知A=1 ,卜二乳 -一)二兀，二3=2 ,12 6.'f (x) =sin (2x+ ©).图象过厂，1),将点(j|j 1)代入解析式得占i口二1,T ,木兀故得函数 f(K)=sin(2z4-) (2)由(2a - c) cosB=bcosC , 根据正弦定理，得：(2sinA - sinC) cosB=sinBcosC2sinAcosB=sin( B+C ),2s in A

21、cosB=s inA 'A ( 0, n,°sinA 丸),cosB= ，即 B= A+C=爭，即 0<AV 弩那么：OVAV爭，罟<吩«晋 皿(A+罟)(号，I故得嗚冗(苏!【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质， 根据图象求出函数的解析式是解 决本题的关键.同时考查了正弦定理的运用化简.利用三角函数的有界限求范围, 属于中档题.TT9. (2017?丽水模拟)函数 f (x) =2sin (®x+ ©) ( w> 0 , 0 < <)的部分图象如图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点F (0，近)，与x轴交于点

22、B, C,且AMBC的面积为 n(I)求函数f (x，的解析式;，求COS2 a的值.n可求得其周期T=2 n=，【分析】(I)依题意，由Szmbc=丄X2X|BC|=|BC|=解得3=1，再由f (0) =2sin ©=勿5，可求得氛从而可求函数f (x，的解析式;(U)由f ( a ) =2sin a= 5，可求得sin a，再利用二倍角的余弦即可求得COS2 a的值.【解答】解：(I)因为 Szmbc=£X2X|BC|=|BC|= n所以周期T=2 n=，解得3=1，由 f (0) =2sin ©=打；|，得 sin(t= '，因为0 < &#

23、169;< ，所以©=，所以 f (x) =2sin (x+)；4(U)由 f (a)=2s in a=-，得 sin -455所以 C0S2 a=1 2sin2 a=.5【点评】本题考查由y=Asin ( wx+ ©)的部分图象确定其解析式，求得3与©是关键，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.JT10 . (2017 ?延庆县一模)已知函数二sic劄七.(I)求f (x)的最大值及相应的x值；(U)设函数 皿斗(晋门，如图，点P，M，N分别是函数y=g (x)图象的零值点、最高点和最低点，求 cos ZMPN的值.【分析】(I)化简函数(x)为正弦型

24、函数，利用正弦函数的图象与性质求出它的最大值以及此时对应的x值；(U)化简函数g (x )，过D作MD丄x轴于D，根据三角函数的对称性求出/PMN=90 ° 再求 cos ZMPN 的值.【解答】解：(I)函数-y -r V=sin 2x+cos2x sin2x - （1 分）;（3分）'f （x）的最大值为f （x） max =1，- （4 分）此时一 7-J： " +-, -（ 5 分）解得尸k兀亠I"k2; （6分）（U）函数 血二f （晋沪sin2 （专x） + 牛=sin （今x+召）,- （7 分） 过D作MD丄x轴于D，如图所示；.PD=DM

25、=1 ,zPMN=90 ° （9 分）计算 PM=.爲 MN=2PM=2/, PN=-：' 匕.'i, - （11 分）：口二_匕" （13 分）V105【点评】本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的计算问题， 是综合题.TTI JF11 . （2017 ?山东）设函数 f （x） =sin （ wx -） +sin （ wx -）,其中 0 v 3 2jrv3,已知 f （） =0 .6（I）求 3；（n）将函数y=f （x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变）， 再将得到的图象向左平移十个单位，得到函数y=g （x）的图象

26、，求g （x）在- 丁上的最小值.【分析】（I）利用三角恒等变换化函数f （x）为正弦型函数，根据f二）=06求出w的值;(U)写出f (x)解析式，利用平移法则写出g (x )的解析式，求出x ,4时g (x)的最小值.4TTI TT【解答】解：(I)函数 f (x) =sin ( 3X -)+sin ( wx =sin wxcos-cos wxsin-sin (L-wx)=sin=.sin3 cos wx2(_ TV、 (wx，wx -=0 ,3 -又 f () =:;sin (bw-=k nk z.解得 w=6k+2 ,又 0 v wv 3 , w=2 ;(U)由(I)知，f (x) =

27、 ：sin (2x ),J将函数y=f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)，得到函数 y=E；*sin (x-)的图象;兀y*个单位，得到 y=Lfsin (x+函数 y=g (x) = ；sin (x -再将得到的图象向左平移-丄)的图象,'sin (x 当 x=-KTJT12兀时，x -) -12,1,7T12);时，g (x)取得最小值是-【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档 题.12 . (2016?山东)在ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知2(tanA+tanB )二一J+ cosB cosA

28、(I)证明：a+b=2c ;(U)求cosC的最小值.【分析】(I)由切化弦公式戈迪f边二迪,带入 ccsAcosB2tanMt anB)吧 +tanB 并整理可得 2(sinAcosB+cosAsinB ) =sinA+cosB , COST cosA这样根据两角和的正弦公式即可得到sin A+s in B=2si nC ，从而根据正弦定理便 可得出a+b=2c ;(H)根据a+b=2c ,两边平方便可得出 a2+b 2+2ab=4c 2,从而得出a2+b 2=4c22-2ab，并由不等式a2+b 2 >2ab得出c2>ab，也就得到了 ，j ，这样由余弦ab定理便可得出，.,，

29、从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最2ab小值.【解答】解：(I)证明：由' '得:cosB cosAkcosA严nBcosB_ sinA"cosAcosBcaeAcosB两边同乘以 cosAcosB 得，2 (sinAcosB+cosAsinB ) =sinA+sinB ；.'2sin (A+B ) =sinA+sinB ；即 sinA+sinB=2sinC(1)；根据正弦定理,ab©sink sinB sinC二I带入(1)得:'a+b=2c ;(n) a+b=2c ; (a+b ) 2=a 2+b 2+2ab=4c 2

30、76;a2+b2=4c2 - 2ab，且 4c2>4ab，当且仅当 a=b 时取等号;由余弦定理,72ab 2._a2+b2-c2cosGiZabn，以及二角cosC的最小值为【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，二角形的内角和为 函数的诱导公式，正余弦定理，不等式 a2+b2>2ab的应用，不等式的性质.13 . （2015?四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.证明：ta心；（U ）若 A+C=180 °， AB=6 ， BC=3 ， CD=4 ， AD=5 ，求tan +tan 鱼+tan +tan 丄的值2 22 2c【分析】（I）直接利用

31、切化弦以及二倍角公式化简证明即可.(U)通过 A+C=180 °，得 C=180 ° - A，D=180。- B，利用(I)化简D =22si nA'sinBtan 曲 F +tan，连结BD，在ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可.【解答】证明:tanAAS1I1292A2sin 71-cosA2A.A . A血日 2sinA等式成立.(U )由 A+C=180 °，得 C=180 ° - A，D=180。- B，由(I )可知：tan+ta n务 +tanl_cosA lcosB I-cdsCISO -A)

32、 l-cos(180 -B)2 sinksinbsin(180fl -A)sin(180fl -B)sinA sinB '连结BD ,在ABD 中，有 BD2=AB2+AD 2 -2AB ?ADcosA ,AB=6 , BC=3 , CD=4 ,AD=5 , 在经CD 中，有 BD2=BC2+CD2 - 2BC?CDcosC ,所以 AB2+AD 2 - 2AB?ADcosA=BC 2+CD 2 - 2BC?CDcosC ,连结AC ,同理可得：cosB=ab2+bc2-ad2-cd2624 32-52-42l2(AB-BC+AD-CD)2(6X3+5X 4)=19于是 sinB=19

33、*+ta n2D.-22=_ 2X72X191.WIo2sinAsinB2V10 + W103ab2+ad2-bc2-cd262+52-32-42=32(AB AD-bBC -CD)2(6X5十 3X4)7贝U: cosA=仁.*【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理简单的三角恒等变换，考 查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用.14 . (2015 ?重庆)已知函数 f (x) =£sin2x - V3cos2x.(I)求f (x)的最小周期和最小值；(n)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变, 得到函数g (x)的图象.当x 斗，兀时，求g

34、(x)的值域.【分析】(I)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f (x) =sin (2x,从而可求最小周期和最小值;由 x ,n时，可得x -的范围，即可求得g (x)的值域.(n)由函数y=Asin ( wx+ ©)的图象变换可得g (x) =sin (x【解答】解：(I)vf (x)=sin2x - Jtcos2x=sin2x (1+cos2x ) =sin2(2x-)'f (x )的最小周期n，最小值为：-1 呼汕.(U)由条件可知:g (x) =sin (x 7T3-的值域为：J :，；故g (x)在区间=，n上的值域是【I ， _ j.71当 x , n

35、 时，有 x ,，从而 sin (x 丄)的值域为,1,32那么 sin (x 'y=Asin ( ®x+ ©)【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数 的图象变换，属于基本知识的考查.15 . (2015?重庆)已知函数 f (x) =sin (x) sinx 厂fcos2x.(I) 求f (x)的最小正周期和最大值；(II) 讨论f(x)在t，弓L上的单调性.o 3(U)根据2x 7T 0，n，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得 f(x)在【分析】(I)由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的 周期性和最值求得f (x)的最小正周期和最大值.兀2兀,6，3上的单调性.【解答】解：(I)函数f (x) =sin (7LZx) sinx x=cosxs inx(1+cos2x )h/32in2xcos2x =sin (2x7L2X(U)当 x 号时，2x 故函数的周期为=冗，最大值为1 3Tr 0