第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型

1、Financial Engineering 授课人：王正文 讲 师 武汉大学经济与管理学院 邮箱： 1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black & Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。 一、一、B-S-MB-S-M期权定价的思路期权定价的思

2、路 我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。一、一、B-S-MB-S-M期权定价的思路期权定价的思路 因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。一、一、B-S-MB-S-M期权定价的思路期权定价的思路 市场有效理论与随机过程一、一、B-S-MB-S-M期权定价的思路期权定价的思路市场有效理论的三种形式一、弱式

3、效率市场假说弱式效率市场假说 该假说认为在弱式有效的情况下，市场价格已充分反映出所有过去历史的证券价格信息，包括股票的成交价、成交量，卖空金额、融资金额等；推论一：如果弱式效率市场假说弱式效率市场假说成立，则股票价格的技术分析失去作用，基本分析还可能帮助投资者获得超额利润。一、一、B-S-MB-S-M期权定价的思路期权定价的思路二、半强式效率市场假说半强式效率市场假说 该假说认为价格已充分反映出所有已公开的有关公司营运前景的信息。这些信息有成交价、成交量、盈利资料、盈利预测值、公司管理状况及其它公开披露的财务信息等。假如投资者能迅速获得这些信息，股价应迅速作出反应。推论二：如果半强式效率假说成

4、立，则在市场中利用技术分析和基本分析都失去作用，内幕消息可能获得超额利润。一、一、B-S-MB-S-M期权定价的思路期权定价的思路三、强式效率市场假说强式效率市场假说 (Strong-Form Market Efficiency)强式效率市场假说强式效率市场假说认为价格已充分地反映了所有关于公司营运的信息，这些信息包括已公开的或内部未公开的信息。推论三：在强式有效市场中，没有任何方法能帮助投资者获得超额利润，即使基金和有内幕消息者也一样。一、一、B-S-MB-S-M期权定价的思路期权定价的思路马尔科夫随机过程 只有变量的当前值才与未来的预期有关,变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来

5、的预测无关。一、一、B-S-MB-S-M期权定价的思路期权定价的思路 市场有效理论与随机过程一、标准布朗运动一、标准布朗运动 一、标准布朗运动一、标准布朗运动 从特征1可知， 本身具有正态分布特征，其均值为0，标准差为 ； 从特征2可知，遵循标准布朗运动额变量具有独立增量的性质。 概念：概念： 独立增量：设Z=Z（t），tT为一随机过程，若对任意的自然数n，及任意的 ，有 及 均相互独立。 zt01nttt1( )()iiZ tZ t0( )Z t一、标准布朗运动一、标准布朗运动 结论结论： 服从均值为0，标准差为 。 由结论可以看出： （1）在任意长度的时间间隔T-t中，遵循标准布朗运动的变

6、量的变化值服从均值为0，标准差为 的正态分布； （2）在任意长度的时间间隔 中，方差具有可加性，总是等于时间长度，不受 如何划分的影响，但是标准差就不具有可加性。N tTt ( )( )z Tz tTtTtt一、标准布朗运动一、标准布朗运动 结论结论2：当 时，就可以近似得到极限的或者说连续的标准布朗运动0t d zd t二、普通布朗运动二、普通布朗运动 将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布朗运动： 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0，方差为1的普通布郎运动。dxadtbdzxa tbt 三、伊藤过程与伊藤定理三、伊

7、藤过程与伊藤定理 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到 这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。( , )( , )dxa x t dtb x t dz三、伊藤过程与伊藤定理三、伊藤过程与伊藤定理 在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。 bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222三、伊藤过程与伊藤定理三

8、、伊藤过程与伊藤定理 在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。 bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222同普通全导数有什么区别三、伊藤过程与伊藤定理三、伊藤过程与伊藤定理 bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222GGGG()xtxtdGdxdtadtbdzdtGGG()xtxad tb d z三、伊藤过程与伊藤定理三、伊藤过程与伊藤定理 假设变量S服从令G=lnS， 则SdSdtSdz2ln( -)2dGdSdtSdz( , )S, b(x,t)= S

9、a xt三、伊藤过程与伊藤定理三、伊藤过程与伊藤定理 假设无收益资产价格S服从令 ,则这说明,期货价格的漂移率比股票小r，这是因为股票投资需要现金投入，所以投资回报中包含时间报酬和风险报酬，而期货投资不需要现金投入。SdSdtSdzF( - )dr FdtFdzr(T-t)F=Se四、股票价格的变化过程：几何布朗运动四、股票价格的变化过程：几何布朗运动 一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为S、方差率为S2的伊藤过程（即几何布朗运动）来表示： 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率

10、服从正态分布，这与实际较为吻合。 dSSdtSdz四、股票价格的变化过程：几何布朗运动四、股票价格的变化过程：几何布朗运动 从案例11.1我们已经知道，如果股票价格服从几何布朗运动，则有 从自然对数的定义域可知，S不能为负数。另外从上式可以看出，股票价格的对数服从普通布朗运动，因为它具有恒定的漂移率 和恒定的方差率 。2ln()2dGdSdtdz2/22四、股票价格的变化过程：几何布朗运动四、股票价格的变化过程：几何布朗运动 由前文的分析可知，当一个变量服从普通布朗运动 时，其在任意时间长度T-t内的变化值都服从均值为 、方差为 的正态分布。也就是说， (11.9)因此证券价格对数服从正态分布

11、。bdzadtdxa Tt22bTt),)(lnln22tTtTSST四、股票价格的变化过程：几何布朗运动四、股票价格的变化过程：几何布朗运动 如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以及符号的定义，我们可以得到 和)()(tTTSeSE 1)var()()(222tTtTTeeSS四、股票价格的变化过程：几何布朗运动四、股票价格的变化过程：几何布朗运动 实际上就是股票价格在Tt期间的连续复利收益率，则Tt期间年化的连续复利收益率可以表示为 ，从式（11.9）可知随机变量 服从正态分布SSTlnlnlnlnTSSTt

12、22(),Tt五、预期收益率五、预期收益率 与波动率与波动率 （一）对 的理解1、几何布朗运动中的期望收益率。 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率 是无关的。 五、预期收益率五、预期收益率 与波动率与波动率 （一）对 的理解3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。 2/ 2五、预期收益率五、预期收

13、益率 与波动率与波动率 （一）对 的理解1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。 六、衍生证券所服从的随机过程六、衍生证券所服从的随机过程 当股票价格服从几何布朗运动时，由于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)，根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程： SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222六、衍生证券所服

14、从的随机过程六、衍生证券所服从的随机过程 比较（11.1）和（11.11）可看出，衍生证券价格G和股票价格S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。一、衍生证券所服从的随机过程一、衍生证券所服从的随机过程 假设：1、证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数；2、允许卖空标的证券；3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；5、存在无风险套利机会；6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的；7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。 一、衍生证券所服从的随机过程一、衍生证券所服从的随机过程 由于证券价格S遵循几何

15、布朗运动，因此有：其在一个小的时间间隔 中，S的变化值 为： (1)设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理可得：SdzSdtdStSzStSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222一、衍生证券所服从的随机过程一、衍生证券所服从的随机过程 在一个小的时间间隔中，f的变化值 为： (2)为了消除风险源 ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则： fzSSftSSftfSSff)21(2222zSfffSx 一、衍生证券所服从的随机过程一、衍生证券所服从的随机过程 在 时间后，该投资组合的价值变化 为： (

16、3)将(1)和(2)带入(3),可得tffSS tSSftf)21(2222一、衍生证券所服从的随机过程一、衍生证券所服从的随机过程 中不含任何风险源，因 此组合必须获得无风险收益，即代入上式可得化简为B-S-M偏微分方程。tr22221()()2fffStr fSttSS rfSfSSfrStf222221二、风险中性定价原理二、风险中性定价原理 观察布莱克舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在对衍生证券定价时，

17、所在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。有投资者都是风险中性的。二、风险中性定价原理二、风险中性定价原理 尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：其中， 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行

18、贴现后的现值，即： )0 ,max(XSETE)0 ,max()(XSEecTtTr三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 其中，)()(2)(1dNXedSNctTrtTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln( 为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)，根据标准正态分布函数特性，我们有 。 )0 ,max()(XSEecTtTr)(1)(xNxN( )N x三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 对于布莱克舒尔斯期权定价公式的理解：在B-S公式中，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说

19、是欧式看涨期权被执行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1)是ST的风险中性期望值的现值 。 因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：)()(12)(dSNdNXeptTrSpXectTr)(三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不合理的，因此C=c，无收益资产美式看涨期权的定价公式同样是：()12( )()r T tCSN

20、dXeN d三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接套用公式:)()(12)(dSNdNXeptTr)()(2)(1dNXedSNctTr分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 因此，当

21、标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（SI）代替S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将 代替S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。)(tTqSe三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 一般来说，期货期权、股指期权和外汇期权都可以看作标的资产支付连续复利收益率的期权。其中，欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权；股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率，外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国的无风险利率。三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权

22、定价公式 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近 似处理方法。三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理，若不合理，则按欧式期权处理；若在 提前执行可能是合理的，则要分别计算在T时刻和 时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。 ntnt三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存在精确的平价关系，因此我们一般通过数值

23、方法来求美式看跌期权的价值。三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式 我们已经知道，B-S-M期权定价公式中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式的参数估计期权定价公式的参数估计 （一）估计无风险利率在发达的金融市场上，很容易获得无风险利率的估计值，但在实际应用时仍然需要注意几个问题。首先，要选择正确的利率。要注意选择无风险的即期利率（即零息票债券的到期收益率），而不能选择附息票债券的到期收益率，并且要转化为连续复利的形式，才可以在B-S-M公式中应用。三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式的参数估计期权定价公式的参数估计 一般来说，在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值，在中国过去通常使用银行存款利率，现在则可以从银行间债券市场的价格中确定国债即期利率作为无风险利率。其次，要注意选择利率期限。如果利率期限结构曲线倾斜严重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的利率作为无风险利率。三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式的参数估计期权