平面向量基本定理课件

1、平面向量基本定理平面向量基本定理2.3.12.3.1平面向量的基本定理平面向量的基本定理平面向量基本定理 设设 、 是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共1e2e线的向量，线的向量，a 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，1e2e我们研究我们研究 a 与与 、 之间的关系。之间的关系。1ea2e研究研究平面向量基本定理OC = OM + ON =OC = OM + ON =21OA + OBOA + OB11e2e2即即 a = + .= + .1ea1eA A2eO OaC CB B2eN NM M M MN N平面向量基本定理平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数

2、 、 使21共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不1e2e11ea = + 2e2示这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量 、 叫做表1e2e平面向量基本定理（1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E平面向量基本定理思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ 21（可以不同，也可以相同）O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC = 2OB + ON OC = 2OB + ON OC = 2OA +

3、OEOC = 2OA + OEOC = OF + OE OC = OF + OE 平面向量基本定理特别的，若特别的，若 a = 0 ，则有且只有，则有且只有 ： 可使可使 0 =11e2e2+.21= 0？若若 与与 中只中只有一个为零，情有一个为零，情况会是怎样？况会是怎样？21特别的，若特别的，若a与与 （ ）共线，则有）共线，则有 =0（ =0），使得），使得: a = + .121e22e2e11e平面向量基本定理已知向量 求做向量-2.5 +3 例3： 、 1e2e1e2e1e2e15 .2e23eOABC平面向量基本定理1eOABC?MMDMCMBMAbabADaABABCD、表示

4、、，用，且，的两条对角线相交于点如图所示，平行四边形例4D DC CB BA AM M平面向量基本定理 例 ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，试判断AE,CF是否平行？FBADCE平面向量基本定理FBADCEE、F分别是DC和AB的中点,AE= AD+ DE = b+ a2121CF= CB+ BF = -b - aAE= - CFAE与CF共线，又无公共点AE,CF平行.解：设AB= a,AD= b.平面向量基本定理 例5、 如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 请大家动手,在图中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。ANMCDB

5、平面向量基本定理解析：BC = BD + DC = MN = DN-DM 21=(AN-AD)- DC(ADAB)+DCANMCDBDC = AB =21211e设AB = ,AD = ,则有：1e2e41= - .2e1e1e2e1e21= - + = 2141= - - 2e1e1e2e211e- -+平面向量基本定理 评析评析 能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示，再利用有关知识解决问题。平面向量基本定理 设 a、b是两个不共线的向量，已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b,CD = 2a b,若A、B、D三点共线，求k的值。 A、B、D三点共线解：

6、AB与BD共线，则存在实数使得AB = BD.使得AB = BD.思考思考平面向量基本定理k = 8 .= a 4b由于BD = CD CB =(2a b) (a +3b)则需 2a + kb = (a 4b ) 由向量相等的条件得2 =k = 4平面向量基本定理则需 2a + kb = (a 4b ) 2 - = 0k 4 = 0此处可另解：k = 8 .即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0平面向量基本定理 本题在解决过程中用到了两向量共线的充要条件这一定理，并借助平面向量的基本定理减少变量，除此之外，还用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好

7、。评析评析平面向量基本定理 2. 在实际问题中的指导意义在于找到表示一个平面所有向量的一组基底（不共线向量 与 ），从而将问题转化为关于 、 的相应运算。1e2e1e2e平面向量基本定理 1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。课堂总结课堂总结平面向量基本定理思考思考 在梯形在梯形ABCDABCD中，中，E E、F F分别时分别时ABAB、CDCD的中点，用向量的方法证明：的中点，用向量的方法证明： EF/AD/BC,EF/AD/BC,且且EF

8、= (AD+BC)EF = (AD+BC)21平面向量基本定理2.3.2 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1在平面内有点在平面内有点A和点和点B，向量怎样，向量怎样 表示？表示？AB2平面向量基本定理的内容？什么叫基底？平面向量基本定理的内容？什么叫基底？a =xi + yj有且只有一对实有且只有一对实数数x、y，使得，使得3分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作能否作为基底？为基底？Oxyij任一向量任一向量a ，用这组基底可表示为，用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记

9、作a=xi + yj那么那么i =（ ， ） j =( ， )0 =（ ， ） 1 00 10 0平面向量基本定理2.3.2 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示OxyijaA(x, y)a1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?aOA 由由a 唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？两者相同两者相同向量向量a坐标（坐标（x ，y）一一 一一 对对 应应概念理解概念理解3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？2121yyxxba 且且平面向量基本定理2.3.2 平面向量的坐标

10、表示平面向量的坐标表示解：由图可知解：由图可知jiAAAAa3221 )3 , 2( a同理，同理，)3 , 2(32 jib)3, 2(32 jic)3, 2(32 jid例例1如图，用基底如图，用基底i ，j 分别表示向量分别表示向量a、b 、c 、d ，并，并求它们的坐标求它们的坐标AA2A1平面向量基本定理2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知已知a ， b ，求，求a+b，a-b),(11yx ),(22yx 解：解：a+b=( i + j ) + ( i + j )1x1y2x2y=（ + )i+（ + )j1x2x1y2y即即)

11、,(2121yyxx a + b同理可得同理可得a - b),(2121yyxx 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差平面向量基本定理2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：解：OAOBAB ),(),(2211yxyx ),(1212yyxx 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标应坐标),(yx a平面向量基本定理2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例例2已知已知a=（2，1），），b=（-3，4），求），求a+b，a-b，3a+4b的坐标的坐标解：解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）平面向量基本定理2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例例3 已知已知 ABCD的三个顶点的三个