大学物理第五章

1、rR+q例例1 均匀带电球壳的电场，球面半径为均匀带电球壳的电场，球面半径为R,带电为带电为q。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为作同心且半径为r的高斯面的高斯面. r R时，高斯面无电荷，时，高斯面无电荷，24drESES0E0q解：解：20r4qE 高斯定理的应用高斯定理的应用r0ER+R+rqr R时，高斯面包围电荷时，高斯面包围电荷q，204rqEEr 关系曲线关系曲线204Rq均匀带电球面的电场分布均匀带电球面的电场分布2r 高斯定理的应用高斯定理的应用EE 例例3 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场.电场分布也应有面

2、对称性，电场分布也应有面对称性，方向沿法向。方向沿法向。解：解： 高斯定理的应用高斯定理的应用 作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距离相同。，两底面到带电平面距离相同。ESEESEEs2dd 两底SS圆柱形高斯面内电荷圆柱形高斯面内电荷Sq由高斯定理得由高斯定理得0/2SES 02E 高斯定理的应用高斯定理的应用Rr例例4 均匀带电球体的电场。球半径为均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为，体电荷密度为 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。电场分布也应有球对称性，方向沿径向。作同心且半径为作同心且半径为r r的高斯面的高斯

3、面24drESES0qa.r R时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷3r34Vqdr3E0b.r R时，高斯面内电荷时，高斯面内电荷334Rq20313rRE解：解：204rqE 高斯定理的应用高斯定理的应用EOrRRRrr03RrrR20313E均匀带电球体的电场分布均匀带电球体的电场分布03REr 关系曲线关系曲线2r 高斯定理的应用高斯定理的应用例. 点电荷q内外半径分别为R1，R2。 ，处在导体球壳的中心，壳的求：1. 静电平衡后，球壳内表面和外表面的电荷量；2.球壳内的场强；3. 球壳外的场强；2004rSqqE dSEer内内12012220404rrqrREerRrREqrREer时

4、时时解：（1）由静电感应知识知 球壳内表面带电量为q, 球壳内表面带电量为q（2）由分析知空间电场具有球对称性，选半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理0vPPVE dl22200244PRRqqVE dldrrR根据电势定义知，球壳的电势为：（3）取 5-2 在边长为在边长为2cm的等边三角形的顶点的等边三角形的顶点上，分别放置电荷量为上，分别放置电荷量为q1=1.010-6C、 q2=3.010-6C、和和q3=-1.010-6C、的点的点电荷。电荷。 （1）哪一个点电荷）哪一个点电荷所受的力最大？所受的力最大？ （2）求作用在）求作用在q2上上力的大小和方向。力的大小和方向。q2q1q3

5、q1=110-6q3=-110-6q2=310-6aq.F2F3F1已知已知: a = 2cm, q1 =1.010-6 C, q2 =310-6 C, q3 = -1.010-6 C,求求: (1) F1 , F2 , F3 , 解解: (1) q1 , q2 , q3a240=F12F21q1 q267.5N= 91091310-12410-4受力方向如图受力方向如图(2) F2a240=F23F32q2 q367.5N=a240=F13F31q1 q322.5N= 91091110-12410-4259.5 N6020+=()=F1F13F13F232()F23cosq3受力最大受力最大

6、67.5 N=F2(2)281.1 N6020+=()=F3F31F31F322()F32cos267.5 N6020+=()=F2F12F12F232()F23cosaq=2600 5-3 在正方形的两个相对的角上各放置在正方形的两个相对的角上各放置一点电荷一点电荷Q，在其他两个相对角上各置一点，在其他两个相对角上各置一点电荷电荷q 。如果作用在。如果作用在Q上的力为零。求上的力为零。求Q与与q 的关系。的关系。已知：已知：Q, q, FQ=0求：求：q , Q 解：设边长为解：设边长为 a45Q0cosqa240+=FQ45Q0cosqa2400+=Q402()a222=Q402a2q2Q

7、402a22q=22Q.aQqaQq 5-5在直角三角形在直角三角形 ABC 的的 A点，放置点点，放置点电荷电荷 q1 =1.810-9C、 在在 B 点点 放放 置点电荷置点电荷q2= -4.810-6C、已知已知 BC = 0.04m，AC =0.03m。试求直角顶点。试求直角顶点C 处的场强处的场强E 。 BCAq2q1已知：已知： q1 =1.810-9C,q2= -4.810-6C、 BC = 0.04m，AC = 0.03m。求求:Ec 。 BCAq2q1E1ECE2=1.8104 V/mAC2q140E1=()2=()91091.810-93.010-2BC2q240E2=()

8、2=()9109-4.810-94.010-2= -2.7104 V/m=ECE1E2+22104+=(1.8)(2.7)22=3.24104 V/m23qtg=E1E21.8102.710433.70q= 5-6 长长 l =15cm的直导线的直导线AB上均匀地上均匀地分布着线密度为分布着线密度为 l = 510-9 C/m：的电荷：的电荷（如图）（如图） 。求：。求： （1）在导线的延长线上与导线一端）在导线的延长线上与导线一端 B 相相距距 d = 5cm处处P 点的场强；点的场强； （2）在导线的垂直平分线上与导线中点）在导线的垂直平分线上与导线中点相距相距 d =5cm处处Q点的场强

9、。点的场强。 .QPBAddl1xl x240dEd=xl x240dE=dd+l()l 40=dd+l11=()10291095.010-95.02011=6.75102 V/m已知：已知：l =15cm， l = 510-9 C/m, d =5cm求求：EP解解：(1).PBAdlxxdx1qxlcosr240=dEdEy=drd1 2=+()qcosdx22d.1xl40dEd=+()dx221 2+()dx22d.1xl40d=3 2+()dx22d(2)由对称性由对称性Ex =0.QdlEdxdrqEd.1xl40d=3 2+()dx22dl 40E=- l/2dxd3 2+()dx

10、22l/2l 40=dl1 2+()ld210-2+=()()5.010-90.1591095.010-2 221 2=1.50103 V/mayxoq 5-7 有一半径为有一半径为a的均匀带电的半圆环，的均匀带电的半圆环，带电量为带电量为q。试求：圆心处的电场强度。试求：圆心处的电场强度。Ey=0Ex= dEqsin=Eda=dlqddEda40=q2a=lqda40=2alqd0qsin=a40lqd0qsin=a40lqdqcos=a40l0=a20l=a2022qql=adq=ldl解：解：由对称性由对称性aEdqdqyxo 5-9 设点电荷分布的位置是：在设点

11、电荷分布的位置是：在 (0 ,0)处为处为 510-8C 在在 ( 3,0 ) 处为处为 410-8C以在以在 (0 ,4 ) 处为处为 -610-8C 计算通过以计算通过以( 0 ,0 )为球心，半径等于为球心，半径等于5m的球面上的总的球面上的总E 通量。通量。 eE.dS=s=q0310-88.8510-12=3.4103 V.m已知已知：q1 = 510-8C; q2 = 410-8C q3 = -610-8C; 求求：e 5-13 在半径分别为在半径分别为10cm和和20cm的两层的两层假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度为为 =0.52910

12、-9 C/m3的正电荷。求离球的正电荷。求离球心心5cm、15cm、50cm处的电场强度。处的电场强度。 R1R2O2E.dS =sq013r0r24E2=()043R13=0E1r =0.15cm=4V/mE23E.dS =sq013R2r24E3=()043R13r =0.50cm=1.05V/mE3r =0.05cm解解: 5-15 一层厚度为一层厚度为d =0.5cm的无限大平的无限大平板，均匀带电，电荷体密度为板，均匀带电，电荷体密度为 =1.010-4 C/m3 。求。求: （1）这薄层中央的电场强度；）这薄层中央的电场强度； （2）薄层内与其表面相距）薄层内与其表面相距0.1cm

13、处的电处的电场强度；场强度； （3）薄层外的电场强度。）薄层外的电场强度。dd解：解：Sd1E2E2=0E1Sd1+=E2SE2S02d1=E20=1.010-40.310-228.8510-12=1.69104 V/mddE3E3S2d=E30=1.010-40.510-228.8510-12=2.83104 V/mSd+=E3SE3S0 5-16 点电荷点电荷q 、 q2 、 q 、 q的电荷的电荷量各为量各为 410-C ，放置在一正方形的四个，放置在一正方形的四个顶点上，各顶点距正方形中心顶点上，各顶点距正方形中心 o 点的距离均点的距离均为为5cm。 （1）计算）计算 o 点处的场强

14、和电势；点处的场强和电势； （2）将一试探电荷）将一试探电荷q0 =410-C从无穷远从无穷远移到移到 o 点，电场力作功多少？点，电场力作功多少？ （3）问（）问（2）中所述过程中）中所述过程中q0的电势能的的电势能的改变为多少？改变为多少？ 已知：已知： q1= q2= q3= q4= 410-9 C, d=5cm, q0= 1.010-9 C求求：(1)E0,U0; (2)A; (3)W+=140q1r+q2r+q3rq4rU0=44qr10= 9.010944.010-95.010-2=2.88103 V解解：(1)E0=0=-1.010-92.88103 V(2)=Aq0UU0()=

15、q0U0=-2.8810-6 J=2.8810-6 J=WWW0(3) 5-19 两个同心球面，半径分别为两个同心球面，半径分别为10cm和和30cm。小球面均匀带有正电荷。小球面均匀带有正电荷10-8C大球大球面带有正电荷面带有正电荷1.510-8C 。求离球心分别为。求离球心分别为20cm、50cm处的电势。处的电势。r1r2q2q1=900(V)r12q40+=r2q40U1=9.01092010-210-8+9.01093010-21.510-8r1q40+=2qU2=9.01095010-2(1.5+1)10-8=450(V)已知：已知：r1=10cm, r2=30cm, q1=10

16、-8 C, q2=1.510-8 C 求：求：U1，U2 解：解：r1r2q2q15-23. 已知某空间的电势函数22Vxxy求（1）：电场强度函数； （2）：坐标（2,2,3）处的电势，及其与原点的电势差解：由电势和电场强度之间的关系：2()2VVEijxy ixjxy 在坐标（2,2,3）处电势：22,2,3022 2 212V,0V12VVVV 5-24一半径一半径R = 8cm的圆盘，其上均匀的圆盘，其上均匀带有面密度为带有面密度为 = 210-5C/m2 的电荷，的电荷，求：求： （1）轴线上任一点的电势（用该点与盘）轴线上任一点的电势（用该点与盘心的距离心的距离 x 来表示）；来表

17、示）； （2）从场强和电势的关系求该点的场强；）从场强和电势的关系求该点的场强； （3）计算）计算 x = 6cm处的电势和场强。处的电势和场强。R.Px2 r=drdq40=dU+x2r22 r dr20=+x2r2r drR0U20=+x2r2r drx()20=+R2r2.PxRr drx已知：已知：R、。 求：求：(1)U,(2)E解：解：(1)=4.52104V=2.010-528.8510-12(6.0)2 +(8.0)210-26.010-2=ExdUdxx20=+R2r21=4.52105V/m=2.010-528.8510-12(6.0)2 +(8.0)26.010-2110

18、-25-26. 点电荷Cq10100 . 4内外半径分别为R1=2.0cm，R2=3.0cm，处在导体球壳的中心，壳的求：1.导体球壳的电势；2.离球心r=1.0cm处的电势；3.把点电荷移开球心1.0cm后球心o点的电势及导体球壳的电势解：静电平衡时，内外球带电分别为-q和+q，利用高斯定理可以得到静电平衡时各区域的电场分布：22032121201 4 0 4RrrqERrRERrrqE1.导体球壳的电势：V1204420203222RqdrrqrdEVRRR2.离球心r=1.0cm处的电势:V30011142103212211RRrqrdErdErdEVRRRRrr3.把点电荷移开球心1.

19、0cm，仍然在导体球壳内部，导体球壳外表面的电荷分布没有变化，故球壳的电势与1.情况相同，为120V球心o点的电势，由叠加原理得：V30011142103212211RRrqrdErdErdEVRRRRro5-29.有直径为16cm及10cm的非常薄的两个铜质球壳，同心放置时，内球的电势为2700V，外球有电荷量为8.0 x10-9 C。现把内球和外球接触，两球的电势各变化多少？解：已知内球的半径为5cm，外球的半径为8cm，.设内球带电q1,外球带电q2，由高斯定理可以得到两球壳间和外球外部的场强E1和E2:220211212011 4 4RrrqqERrRrqEV27004441144420210120212102021201212212211RqRqRqqRRqdrrqqdrrqrdErdEVRRRRRRR由电势的定义，可以写出内球的电势为：得内球所带电量为：CRqRVRq82211101100 . 14外球的电势为：V202544202120212222RqqdrrqqrdEVRRR内球和外球接触，内外两球的电势相等：V2025420212RqqVV