正项级数收敛的判别方法

1、数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书 设计题目： _ 正项级数收敛的判别方法 _ 指 导 教 师 评 成绩： 指导教师： 语 时 间: _ 答 辩 小 组 意 设计成绩： _ - 答辩组长： _ 见 审 定 系主任： _ 摘要: 各项都由正数组成的级数称为正项级数， 它是数项级数的特例。 本文主要考虑正项级数 的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方 法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数收敛比较原则比式判别法根式判别法积分判别法 1基本概念 1.1数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数

2、的基本性质， 下面介绍数项 级数以及级数敛散的定义。 定义1 ：给定一个数列(Un,对它的各项依次用“ +”号连接起来的表达式 Ui +U2 +HI +Un +IH (1) 称为数项级数或无穷级数(简称级数) ，其中un称为数项级数的通项。 n 数项级数(1)的前n项之和，记为Sn = uk ,称为(1)的前n项部分和。 k=1 定义2：若(1)的部分和数列(Sn收敛于S (即lim Sn =S)，则称数项级数(1)收 n . Q0 敛，并称S为(1)的和，记为S= un，若(Sn为发散数列，则称数列(1)发散。 n d 根据级数(1)的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的

3、柯西收敛准则 级数(1)收敛的充要条件是： Vs 0 , ：3NA0, VnN , VpZ有 |Un 1 Un 2 ,山.Un.p 卜 oO (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 Un收敛，则limUn=0. n n ： (iii) 去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和(正项级数 也满足)。 (v) 运算性质： 若级数z un与 vn都收敛，cd是常数，则 (cun +dvn)收敛，且满足 QO QO oO 、(CUn _dVn)= C Un _d d* n 4 n A n 4 1.2正项级数及其收敛的判

4、别方法 QO QO 设级数Z Un的各项Un芝0 ( n=1,2,3|),则称级数Z Un为正项级数. 显然，正项级数的部分和数列 SJ是单调增加的，即 5&一山一&顼| 由数列极限存在准则知：如果这个数列有上界，则它收敛；否则它发散 .根据这一基本 事实，可以得到正项级数收敛的基本定理。 0 定理1(基本定理)正项级数Z Un收敛的充要条件是：部分和数列 Sn有界，即存在某正 数M，对一切正整数n，有S M . 证：由于Ui A0 (i =1,2,111)，所以Sn是单调递增数列，而单调数列收敛的充要条件是该 数列有界(单调有界定理) .即上述定理得证。 QO Q0 定理2(

5、比较原则)设 Un与 Vn均为正项级数，若存在常数C0，或者N A 0对于 寸nN都有 Un 壬 CVn, ( n =1,2, 3, )1 I,) QO QO O0 CO 则(1)当级数Z Vn收敛时，级数Z Un也收敛；当级数 Un发散时，级数 Vn发散. O cd oO 证：设:Z Un和 Vn的部分和分别为Un和崎，于是有：U CV”，当 Vn收敛时，虬有 O oO oO 界，故Un亦必有界，得知 Un收敛.当 Un发散时，Un无上界，于是Vn无上界，故 Vn 发散. 下面给出比较判别法的极限形式，它在应用中较为方便。 比较判别法的极限形式: QQ QQ 给定正项级数 Z-un与:Z v

6、n，若有 QO 当00 ,三N A0，当n A N时，恒有 Un I -I Vn 对于（iii）,当I = e，对寸M a 0，存在相应的正数 N ,当n a N时，都有 Un M Vn oO QO 由比较原则可得，若 Z vn发散，则Z un发散. 定理3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法 ） 设 Un为正项级数，且存在某正整数 N。，以及常数q（0 q N0都有不等式 - Mq, Un 0 (2) (3) 由定理2以及（3）式可得：当0 I E （这里设& | ）时, cO QO Z Un和 Vn具有相同的 敛散性。 对于（ii）,当I =0时，由（3）式右半部分以及比较原则：若 Q

7、0 Z Vn收敛，则 n m OO 云Un收敛. n d (4) 则级数Z Un收敛。 n =1 (ii)若对于/n a No都有不等式 X , Un oO 则级数z un发散。 n 4 证：(i )不妨设(4)对一切n Z1都成立，于是有 也血 |f Un 1 . JL, -q, -q,|l| - -q)L Ui U2 Un 把前n -1个不等式按项相乘后得到 U2 U3 Un i . nJ 一 一 .| -q Un oO 即Un、U1qn，由于当0q 1时，等比级数z qn收敛，由比较原则及上述不等式可证。 n -1 (ii)由于nN 0时不等式(5)恒成立，既有Un好芝Un芝UN .当n

8、T由时，品极限不可能 0 为零.由收敛必要条件可知级数 Z Un发散。 卜面给出比式判别法的极限形式 0 若w Un为正项级数且憬外1 =q， (6) Q0 当q 1时，Z Un收敛; cd (ii)当q1或q =E时，贝U Z Un发散. 证：由(6)式，对任意取定的正数 $(|1q|),三N0，当nN时，恒有 Un q - 一 ： q ； Vn od 当q 1 ,这里取&使q+s1，则取8使q-&1，由上述不等式的左半部分及定理 3可得 Un发散。 QQ 若q=kc，存在N,当nN时，*1，此时 un发散。 定理4（柯西判别法，或称根式判别法 ） O0 设 Un为正项级数，

9、且存在某正整数 N0，以及常数l （0 1 1） n 4 若对于WAN。都有不等式JU二彳1, 则级数z un收敛。 n日 （ii）若对于寸n a N。都有不等式 由二芝1, QQ 则级数Z Un发散。 n -1 cO 证：（i ）由（7）式有昂京，由于等比级数Z 1n当011时收敛，由比较原则, n A oO 级数Z Un收敛.对于（ii）由（8）式Un芝1n =1,当nT *时，Un极限不可能为零 n =1 oO 必要条件可知级数 z un发散。 n m 下面给出根式判别法的极限形式 QO 若 W un为正项级数且lim也7 = 1 , nm n 二, （i） 1 1时，级数Z un收敛；

10、 CO （ii） 1 X 时，级数 un发散； QO （iii） 1=1时，级数 un可能收敛也可能发散. 证：由（9）式，对任意取定的正数 W0，对一切n N时，恒有 由定理4即可得证。 定理5(积分判别法) QQ (7) (8) 此时 .由收敛 (9) 设f为1,+龙)上非负递减函数，那么正项级数 f (n)与反常积分 *f(x)dx同敛态. n 4 证：由假设f为1,E)上非负递减函数，对任何正数 A , f在1,A上可积，从而有 n f(n)壬 Luf(x)dxf(n1), 2,3,| 依次累加可得 m m m m A Z f(n) f(x)dx1,有 ni m - f(x)dxSm

11、f(n)=S (11) n m 由于f为1,E)上非负递减函数，对任何正数 A ,都有 A 0 0 , ,(2n-1)(2n 1) 2n 二 1 Z 1发散, n2n od 故级数z , ， 也 n.(2n-1)(2n 1) 1 解考虑到运用级数z -.由于 nW1 n 1 2 1 ln 一 n 1 ln2 i sin nF |ln i sin 、.nJ ln- lim nt, .1 In I sin .n ln1 ln sin x =lim - x0: ln x xm+ cosx sin x _d 1 T， 则有: 1 1 1 ln I sin n 1 2 1 ln - n 1 .2 ln

12、n 又当n1时，0lnnjn，故 ln n 皿，八二 1 用 故级数 发散, n =2 2 1 ln 0 从而、 n : 2 1 - 发放。 . 1 sin n 0 收敛. 0 =vn,瓦vn收敛（0 q = a 1）,所以原级瓦 收敛. 10n 例9. （1）讨论级数Z 一的敛散性。 （2）判断级数lim 也敛散性。 7.已知 a2收敛，判定予 的敛散性； n z! ng .n2 1 由题意 an 1 2 1 -二 an n 1 :-1 . :- a一 . 与，_2均收敛，从而 收敛（绝对收敛） n4 n 2 8.讨论正项级数Z 亓（a0）的敛散性. n顼 a （1）当 a=1 时，Z 2n

13、 n1 a 二 1 =w 1发散. 2 n -4 （2）当a1时，令vn n a 2n a lim 也=lim 2n n T a =1 :二 1 Z vn 收敛（0 q = a 1）， 所以原级数Z 2n n1 a 收敛. 2n 1 a 2n a 1 . =vn ,则 vn收敛（0 q = 1）,所以原级数 a n =1 （3）当a 1时，令vn un lim = lim 2n n .；：1 . a2n =1 : .二 CO Z vn 收敛（0 q oO 1）,所以原级数z 2n ndV a 收敛. 2n nd V a 综上所述 2n nd1 a 2n nd1 a 收敛. 2.3比式判别法 （

14、达朗贝尔判别法）的应用 二 nn n F： n!nd n! 0 n (1) lim 仁 nf (n!) =0 (2)nm*0 d) 证 （1）设 Un n n (n!)2 ，由于lim虹=lim3 n n Un n -(n 1)!2 n =0 (2)设 z n =1 n 上收敛，由柯西收敛性的推论可知 lim （n!） n Un n =lim 2=0 n(n!) 斗二甲，由于lim=lim4叫-寸 n a nun n 二 a =m(2n g 2) (2n)! n := 、 （2收敛，由柯西收敛性的推论可知 lim U =lim nm an! s n n!）2 =0 u (2)由于lim上 n

15、Un O _ 级数 （也-军）（也（垣-之脂收敛 n m 11.利用正项级数收敛的必要条件，证明下列等式 n n ，由于 lim = lim(1 + )n = e a 1, -发散. n! J： un J： n nj n! (2)令 Un 10-，由于:=lim 必 =lim - n! n，二 un n，二(n 1)! ,二 10n 级数Z、收敛 n 4 n! 10.判断下列正项级数的收敛性 2.2-2 2 一、(1!) (2!) (3!) . (n!) Jt (1) 2 24 2 2n (2)(72扬)(72一福)iii(V22n扼) n 4 (n 1)!2 (1)由于lim史 n7 Un

16、=lim 22 (n!)2 n! 10 lim - =01, 10n n ：n 1 (n 1)2 (n - 1)2 , . . =nmM=o 1,故原级数收敛 lim( .2 -2n 3 2) n i: =龙-1 1, 2.4利用柯西判别法（根式判别法）判断下列正项级数 例12.判断下列正项级数的收敛性 2 n 二 ncos 3 2- o0 (3) 、- n 4 二 n 所以级数 （ - ）n收敛. n/2n 1 n n 壬二，对于级数X r，利用根式判别法: 2“ cn 级数Z ()n发散. n/n 1解（1）令un 2n 1 因为 lim n un = lim n n . nr ： u，2

17、n 1 n . n 1 =lim - = 0）的敛散性. nd n 1 （切堂）“ =lim 妄 =a ,由根式判别法知 n 1 n . “ 1 当0 a1时，级数发散； 当a =1时， nmun 胡m(藉)n 皿(土) 1 1八 - =0 (1)n e T ncos 2n (1) Z n4 2n 1 2 n /T? I2+- f I n (2)由于Un 2 n 二 ncos _ 3 2n 1 综上可得：0 a 1时原级数收敛；a芝1时原级数发散 例14.考察级数 1 b bc b2c b2c2 b3c2 HI bncnJ bncn IH 的敛散性，其中0 b c. 解：由于 lim 2n#b

18、nc口 = Vbc , lim bV = 4b , n ： n i: 根据柯西根式判别法： 当bc1时，级数发散； 当bc0时在1,危)上是非负减函数。由与反常积分 了 在 p 1时收敛，P 1时发散。根据积分判别法：Z 4在P A1时收敛，当0 P壬1时 np 发散。当p1收敛，根据积分判别法: 1 - 当 n=2 n ln p n p1收敛。 例18.利用积分判别法判断下列级数敛散性 QO z- , n 造 n In n ln(ln n) 1 2)匕 n(lnnf(ln(lnn)厂 解：(1)函数 1 f (x)= xln xln(ln x) f (x)在3, )上是非负减函数。并且 根据

19、积分判别法: (2)设 f (x) = 3 f (x)dx = 3 dx 二 du f - = ( 一 = e 3 x ln x ln(ln x) lnln3 u 1 Z - 1 - 发散。 n=3 nln nln(ln n) p q,不论p , q为何数，当x充分大时，f(x)为负, x lnx ln(ln x) 则f (x)非负减函数。 i)当p =1时，则 q 二牛(q_1)(lnln3)q(q 1) xlnx ln(ln x) q lnln3 uq dx (q1) 当q1时收敛，q 1时收敛，p=1, q壬1时发散。 ii)当p。1时，则 3几种判别法的总结 本文主要通过几种常见的正项

20、级数判别法对具体问题进行分析，下面对上述判别方法进 行如下总结。 1.当正项级数的部分和Sn可以通过裂项求和，或者通项为等差、等比数列的级数可 以直接判断 Sn 极限是否存在来判定正项级数的收敛性 2.当通项较容易通过不等式的放缩，或者等价无穷小而找到已知敛散性质的级数，可 以使用比较判别法.比较判别法需要熟悉调和级数、几何级数、 p级数（例15）的敛 散性。 lim 凸1 = q ,当 un a 0时，必有 lim i un nL 为正项级数，则可以得到凡是比式判别法可以鉴别收敛的级数，也可用根式判别法 判断，并且根式判别法较之更有效。如例 14中的级数 2 2 2 3 2 nn n n 1bbcbcbc bc |lbc bc 其中0 b c.若用比式判别法。由于 un .1 b, n