概率论与数理统计作业山东建筑大学作业纸

1、1概率论与数理统计作业4 ( 2.1 2.3 )一、填空题1.一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品。安装机器时从中任取 1 个。如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前 已取出的废品数的概率分布。解：设 X 表示取得合格品以前已取出的废品数，概率分布表如下X0123P(Xi)912944922012202对一目标进行射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为p ,求射击次数的概率分布。解： 设 X 表示射击次数，1 _k则X=12 3；P(X = k) = p(1 p ).概率分布表如下X123-n-P(Xi)ppq2pq* - n-1pq*3. 20 个产品中有 4 个次品，(1)

2、不放回抽样，抽取 6 个产品，求样品中次品数的概率分布;(2)放回抽样，抽取 6 个产品，求样品中次品数的概率分布。解： (1)不放回抽样，设 X 表示样品中次品数，则 X=0, 1, 2, 3, 4;XH(6,4,20)(1)放回抽样，设 X 表示样品中次品数，则 X=0, 1, 2, 3, 4;XB (6,0.2)P(X =k) =C： 0.2k0.86t概率分布表如下1.常数 b=1 时,Pk =bk(k 1)(其中k =1,2,.)可以作为离散型随机变量的概率分布2. 同时掷 3 枚质地均匀的硬币，则至多有 1 枚硬币正面向上的概率为 .23.X P(2)则P( X M2) =0.59

3、4 =1 -3e-2二、选择题设随机变量X是离散型的，则【D】可以成为X的分布律iloXiX2(A)( p是任意实数)(B)00 3e，3n(C)P(X =n =(n =1,2,.)(D)P(X =n三、计算题X3X4X50. 3 0. 2_n0. 23(n =0,1,2,.)则 X=0, 1, 2, 3;P(X=k)=k 1P3P9PI；1P(X = k)C：C4-k16概率分布表如下X01234p(Xi)0.20660.45080.28170.05780.0031C602X0123456P(Xi)0.26210.39320.24580.08190.01540.00150.00014. 一批

4、产品分一，二，三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个检验质量，设X表示抽出产品的级数，写出它的概率函数.解： X=1,2,3;概率分布表如下X123P(Xi)4 72 71 7概率论与数理统计作业5 ( 2.4 2.7 )一、填空题XI1.设随机变量X的密度函数f (x) = 2 x0.2.设随机变量X的密度函数为则k = 2_二、判断题1函数- 厂可否是连续随机变量1 x2(1) (_ 气+由)；- 一一1一一解：不可以.因F(+ * )= lim - = 0 , 1.X1 x(2)(-气0)解：可以.11F - lim -7 =0；F 0i = l

5、im- =1.X1：1X2X .01 X2且F(X推(一8,0单调非减,X _ 0一 .一X可以是连续随机变量 X 的分布函数X 01 .已知随机变量X只能取-1，0，1, 2 四个值，相应概率依次为13 572c4c8c16c1)确定常数解：,12cc；35+ + +4c 8c371, c =16c160三x三11壬x苴2则P(X 1.5)=其它0.875“、jkf(x)=1三x土2其它X 的分布函数，如果 X 的可能值充满区间:故令F X= 1 X2，.1三、计算题P X 1PX=1 PX=1 PX=232)计算P(X 1| X #0)；,、P(X1门X#0)解P(X1X#0)=-=P(X

6、。0)4=2T+ +2c 8c 16c3)求 X 的分布函数并做出其图像x ： -1解:+ -arcsinx；冗当x二1时,解：F (x )=372037303711x 20 x ：-10.4一住X : 10.71 x :：31x _ 3的分布函数为F (x),求X的分布列。X-113p(xi)0.40.30.3当X 1w= f X = . 1 - x20当x_1求：(1)系数 A ;1A解由 dx = 1 n 2Aarcsinx-1一.一1I_I 内的概率；2,21v 1X22(3)随机变量 X 的分布函数。解：当x笠-1时，F x =0;当 一1 ： x : 1时，(2)随机变量 X 落在

7、区间解：P0=1 =1201-dx2xxF x = f tdt-4_0dtx1*1.F (x)=JI0,arcs in-1 x 1252.设离散型随机变量X3.随机变量 X 的概率密度为xFx=顼tdtA一0dt5(3)随机变量X的分布函数。3)概率密度函数f (x).方程x2+2Xx+5X 4= 0有实根=4X24 5X 4 =4 X25X 4 = 4 X 4 X 1 _ 0二X _ 4或X - 1.11007.某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f (x) = x2I 0样的电子管，求电子管使用 150 小时都不需要更换的概率.1501001解：每个电子管使用 150 小

8、时需要更换的概率为P(X*9。1X|fx岌e爵0,1 -内-的概卷:二.，-二：X：: 二，eXdx - 1 edx =02A=1,X一Ae dx =A1A =2(2)随机P0 X 1=11/dX022e解：当X0时，FX= f t dt =J皿X1tWdt二-201 .-etdt-21Xe ;2X 1.11edt =1_e。;0221X2e,1二二5.设连续型随机变蕙1X2勺易布函数h( x)X :0;:0 x :1_11)解:2)解:求系数 A;1 = F 1 = F 1 -0 = A, A =1.P(0.3 : X : 0.7);P 0.3 X : 0.7 = F 0.7 -F 0.3

9、=0.72- 0.32= 0.4.解f (X)= F (X )=，2X,00 X 1其他6 设XU(0,6),求方程解X U 0,6+ 2Xx +5X 4 = 0有实根的概率二概率密度为f(x)=；,0其他即求P X一成X -1 = 1一P 1 X 4 = 1-16413dx = 1 -6x -100,某一个电子设备内配有 3 个这其它6P30=勇12=.一、填空题2E(X) =1/3,E(X ) =1/6E(X)= 11二、计算题故由上两式解得 k=3,a=2.2.对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。 如果发现次品， 则立即停止检查而认为这批产品不合格； 如果连续检查 都是合格品，则也停止检

10、查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为p,求每批产品抽查样品的平均数。解：设随机变量 X 表示每批产品抽查的样品数，则：P( X =m) = pqmj(m =1,2,3,4) P(X =5) = pq4q5=q4( p q=1)X的概率分布表如下：X12345P(X =m)ppq2pq3pq4q234234EX = p 2 pq 3 pq 4pq 5q =5T0p10p - 5 p p3.设二维随机变量(X , Y)的联合密度函数为2122.、x y x切y W 1 f x, y = 40其它概率论与数理统计作业8 ( 3.1 3.3 )X01P1/32/35_4则P X Y 1 i=5,

11、E XY 1=4.992 2.设X的密f(x)=性x)0 ：x :： :1其它3.随机变量X的分布率为-202E(3X25)=13.42,则0.4 0.3 0.3E(X)-0.24.已知随机变量X的分布列为 P( X =m)m=2,4, ,18,20,则105.对两台仪器进行独立测试， 已知第一台仪器发生故障的概率为 发生故障的仪器数，则E X = p1p2p1，第二台仪器发生故障的概率为p2.令X表示测试中1.连续型随机变量X的概率密度为f (x) =0值。解: 由j f (x dx = J kxadx = 1,得kxa0 x 1 (k,a 0)又知其它E(X) = 0.75 ,求k和a的=

12、1,a 1:1E(X) =0.75，则有(xf (x dx= x kx dx = 0.75，得,二二0= 0.75,5 个产品,i.X,Y独立同分布71)求E(X ) E(Y )M E(XY )2)求X与Y的边缘密度函数；1.1212 .12137 .解i)EX = xf x,y dxdy = dx2 2x一x2ydy =一x3_ x7dx = 0；EY = i兰i竺yf x,y dxdy = :dx ： y21x2ydy =二x2- x8dx =;- -x4 -149心f112121739E XY = i-xyf x,ydxdy=1dxx2xy x ydy = x -x dx = 0;121

13、22126x ydy x x ;x48y21272x ydx y2;-y42当y 1或y 0时，fYy =0.概率论与数理统计作业 9 ( 3.4 3.7 )一、填空题1、，“1.设随机变量X1, X2,乂3相互独立，其中X1在0, 6上服从均匀分布，X2服从e(), X3服从参数为九=3 的2泊松分布，记Y =X 一2X2+3X3，则D(Y) =4612.随机变量X,Y相互独立，又X P 2 )Y B 8,测E X 2Y =-2, D X 2Y =8I 4J一1 _3.随机变量X B(10,0.6), Y P(0.6),相关系数R(X,Y) =，Cov(X,Y) =0.3 .414 4、若X

14、B(n,p)ME(X)=12D(X)=8则n=4p=-二、选择题n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于A)-1B) 0 C) 1/2D) 15 设随机变量D(X) =2 ,D(Y) =2,而且X与Y不相关， 令U=aX+Y, V= X+ bY， 且U与V也不相关， 则有(C )A)a=b=0； B)a=b#0；C)a+b = 0；D)ab = 02)当x 1时，fx(x)= f (x,ydy =_ 1时，fxx =0.空&2-X6) x 1;二fx(x)=f8 x J 1;当0 _ y _ 1时,fY0y =J xx1y dx1.设随机变量 X 和 Y

15、的方差存在且不等于0,则D(X +Y)= D(X )+D(Y)是B)独立的必要条件，但不是充分条件；D)独立的充分必要条件A)不相关的充分条件，但不是必要条件；C)不相关的必要条件，但不是充分条件；2.设X - P(幻，且E (X _1)(X 2 ) = 1，则兀=_AA) 1,B) 2,C) 3,3.设X，X2,X3相互独立同服从参数1,2,3D) 0_一1.九=3的泊松分布，令Y = (X十X2+X3)，则E(Y2) =_A) 1.CB) 9.C) 10.D) 6.4.将一枚硬币重复掷(A )。8令x = sint,dx = costdtDX =EX2=2（sintfdt=Z ?1COS2

16、td-.-：0-：0223.二维随机变量（X,Y）在区域R：0 x壬1,0 y壬x上服从均匀分布，求:方差DX及DY； （3）协方差cov（X,Y）及相关系数R（X,Y）/.2, 0三x三1,0苴yx解：由题设得f （x, y）=，则0其它1x2EX!、！xf x,y dxdy = 2 dx xdy =;一 .一.0031 x1EY = = i-yf x,ydxdy = 2 dx ydy二;002，心心21 x216.若PX,Y表示二维随机变量（X, Y ）的相关系数，则“PX,Y=1”是“存在常数a、b（b#0）使得P =a +bX = 1的（C）A）必要条件，但非充分条件；B）充分条件，但

17、非必要条件；C）充分必要条件；D）既非充分条件，也非必要条件.三、计算题1、一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品，安装机器时从这批零件中任取1 个，如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的方差.解：设 X 表示取得合格品以前已取出的废品数，则 X=0 1 2 3;P(X =k)=概率分布表如下X0123p(xi)9124492201220P3P912922351EX =0.3,EX = ,DX = EX - EX =0.319.2211002、设随机变量1X的概率密度为f (x) = /Rj1x20| X卜：1，求D(X)|x|-11)1)EX1 1x-AEX21,1_

18、1_二1 - x22 2d dxx2dx x0.1dx, 1x2（1）数学期望EX及EY ；（2）9EX = = ：x f x,ydxdy = 2 dx x dy ;00:：21 x 21I , ； i y f x,y dxdy = 20dx0y dy ;6181E XY =： xyf x,y dxdy = 20dx0 xydy = 4.EY2DX = EX2- EX2= %; DY = EY2- EY2=-be -be104.设(X ,Y)的联合概率分布如下表所示，计算X与Y的相关系数，并判断X与Y是否独立？X-101P(Xi)3 8143 823332333EX2= = ,EY2= =,

19、8 8 488433DX = ,DY =.44RX,Y =COVX，Y=0.、DX DY 、，.1、一、1115. (X，Y)只取下列数组中的值：(0,0),(一1,1),(一1，一)，(2,0)且相应的概率依次为一，一，一，36 3 12cov X ,Y = E XY - EX EY36，R X,Y =cov X ,Y、DX DYY-101p(yj)3 8143 819_ _解: P( ，一1) =；# PX(-1疗(一1)=二，X ,Y不独里864EX =0,EY =0,51211求X与丫的相关系数，并判断X与丫是否独立? 解：由题设得1225/1200X-102P(Xi)51216512

20、Y011 3p(yj)7_1213112513EX ,EY , 1236EX2=类，EY2=近，12108275275一,DY .129613 36一 一36，135 13RX,Y=；Y=36一-X*12 36 =221-=-0.804.27535275X123635_：p( 1,0)=0。PX( 1 )PY(0 )=Q, X,丫不独立。1446.两个随机变量(X，Y)，已知D(X) =25，D(Y) =36，R(X,Y) = 0.4，计算D(X +Y)与D(X -Y).D X Y i= DX DY 2cov X ,Y i= DX DY 2R X ,Y - DX DY解：=25 36 2 0.

21、4 5 6 =85;D X -Y = DX DY -2cov X ,Y = DX DY -2R X ,Y DX DY=25 36 2 0.4 5 6 = 37.5.fY(y)=；y2, Wyf0, y1 或y0.概率统计作业 10 ( 3.8 4.2 )1.随机变量X的方差为 2,则根据切比雪夫不等式估计P(|XE(X )2). 2 1解P(X EX芝2)壬=.422.利用切比雪夫不等式估计随机变量与数学期望的差的绝对值大于三倍标准差的概率DX =1441E XY i= 313.、DX 1解P(X EX芝3。)三一=一上0.1111. g293.为了确定事件 A 的概率，进行 10000 次重

22、复独立试验，利用切比雪夫不等式估计：用事件 作为事件 A 的概率的近似值时，误差小于 0.01 的概率.解：设事件 A 在每次试验中发生的概率为p,在这 10000 次试验中发生了 X 次，则 EX=np=10000p=10000p,DX= 10000p(1-p),因此，所求事件的概率为_ f XP10000p.01户PQX 10000p100) =P(XEX1=3一p(Ww1.7dp+p24、填空题=3+ | p_1】1)设X - N(3,42)则E(x2)212)随机变量x N(20,22、若、若P(X苴a )=一则a=虹2一3)X ,Y服从相同分布N(H o2)则E aX + bY ga

23、X bY ? = (a2 b2如2+ P2)A 在 10000 次实验中发生的频率DX100144)设随机变量X N(2,b2)，且P(2 X 4)=0.3，则P(X 0)=0.25)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x) =1yjJI_x2-2xJe，则X的数学期望为X的方差为 0.5.5.设随机变量X服从正态分布 N (1 , 22),查表求：(1)pX2.2);(2)p( 1.6菱X 5.8);(3)px 3.5 i(4)p X _4.56 .一，2 2-1 解(1)pX 2.2)=中2221=中(0.6)= 0.7257; 2 )2 p-1.6三X 5.8 =，r-16-1、, 2

24、5-1.3=。2.4 -1项1.3 =0.8950;(3)p(X 3.5)=/3.5-1i-/-3.5-1=(1.25)-中(-2.25)I 2 J V 2 J=：，：，1.25 -1一2.25) =0.8822;(4)p(X芝4.56 )=1-p(|X M 4.56 )=1- *45611)-中-4.56-1-4.56-11L 2 J、2刀=1-疽1.78 -、-2.78 1= 2-、1.78 -：2.78=0.0402.6.设测量两地的距离时带有随机误差X，其概率密度为f ( x)xm2= e3200401 2:1) 测量误差的绝对值不超过 30 的概率；2) 连续独立测量 3 次，至少有

25、一次误差的绝对值不超过 30 的概率.解：1)由题设X N(20,402). 木30-20 !丕-30-20 I 2p(X 30)=中 - 卜 - | =中(0.25)-(-1.25)I 40 J i 40 J-0.25 -1为1.25 =0.4931;2)设丫表示连续独立测量 3 次，“误差的绝对值不超过 30”所发生的次数,15再求极大似然估计构造似然函数：L（p）=H p（1 p*i Vf02.设总体X的概率密度为f（x；e）=卜Qx*1，其中1是未知参数，X- , X是来自X、0其它1, ,n的矩估计量；（2）求 e 的极大似然估计。1 X ,口2* 厂1-d ln L p 1 n住x

26、i n) Jdpp1- pn1p -n . xixi =1解得 p 的极大似然估计值为则 YB (3, 0.4931),所求为pY _1 =1 - pY =0 =1-1 - 0.49313= 1 - 0.50693= 0.8698.概率论与数理统计作业13 （ 6.1 6.2 ）一、填空题1.若 X 是离散型随机变量，分布律是nPX =x =P（x;6） ,（0是待估计参数），则似然函数口P（Xi；8 ）,Xi日是连续型随机变量，概率密度是nf（x；e），则似然函数是口f（* ；e） 。i -12.若未知参数0的估计量是4A4e,若EB= e,称e是8的无偏估计量。设44012是未知参数6的两

27、个无偏估计量,若DS=。2,则称e较e2有效。223.对任意分布的总体，样本均值X是总体均值P的无偏估计量。样本方差S2是总体方差O2的无偏估 计量。4.设总体XP（九），其中九0是未知参数，X1,Xn是X的一个样本，则乳乳的矩估计量为 区，极大似然估计为X。二、计算题1.设总体服从几何分布：P（X =x数p的矩法估计量和极大似然估计。解先求矩法估计量：)=p(1一px1,x =1,2,3.如果取得样本观测值为x1,x2技,xn，求参1EX=一,令EX = X,Pp的矩估计量为?=XlnL p = nlnpXi- n In 1 - p的容量为 n 的简单随机样本，（1）求时解EX = xf（x

28、;u）dx= x 1 xd016令EX=X,即E=X,17？ 2X -1解得e的矩估计量为d=.1- X对于总体X的样本值x1, x2, xn,似然函数为当。5 0，取对数得ln L( ) = nln 1 In Xi,i J对 6 求导数，得dInLj)妇样本值 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3,求 0 的矩估计值和最大似然估计值。23一1一3一0一3-1一2一3解：EX =26(1 8) +2B2+3(1 28) =346, x =28，令EX =X，即3-4B = X =2,L I】p Xif=4。61 -/ 1 -2。4i -1InL )=In4十6InB十2ln(1 B )

29、+4In(1 2 )dlnL j 6286 -2S24*2 1 - n 1 -21 -1 f ,nL(u)刁I.Ii =1+1 f( X1X2Xn户,0,0 Xi1(i =1,2, ,n),令土ni -nn In XinnW： InXi3. X 的概率分布为肃2； J,.一,10(0 8 )是未知参数，利用总体2X 的如下解得 8 的矩估计值为 彳=】4对于给定的样本值，似然函数为n于是 0 的最大似然估计值为18dlnL -0,du19是来自总体X的简单随机样本，(1)求总体X的分布函数F(x)；(2)求 e 的最大似然估计量 e ；(3)用。做日的估计 量，讨论它是否具有无偏性。解：当x苴

30、8时，F (x )= 0;当x占H时，F (x )=f (t dt = J%dt十2edt = 1 - eTxF.(2)对于给定的样本值，似然函数为nnL-丘f心=*5=2%二2%5i =1i=1lnL - nln2 - 2三x n - 2n【-2、xinln2i =1i =1dlnL 2n 0, 故lnL(e)是6 的增函数，当e取得最大值时,lnL(e )最大。A而8122故 e 的最大似然估计值为7 - 133 =-125.设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为f(x,” =2e处侦，x口0, x厂,其中e 0是未知参数，x,，Xnx F(x)= LJ(t)dt=J.,0, x .(3)

31、先求 620因为E?= xf?xdx= 2nxenxT)dx1=6 + 丰丰0，2n所以彳作为e的估计量不具有无偏性概率论与数理统计作业 14 （ 6.3 7.1）填空题1、设总体XN（P,。2）, X1 , Xn是X的样本，则当 。2已知时，求P的置信区间所使用的统计量为X2,X -1Z- ; Z服从N （0,1）分布；当a未知时，求k的置信区间所使用的统计量z= - , Z服从nnt（n -1怜布2、设总体X N（%。2）X 1,Xn是来自X的一个样本，则当P已知时，求。之。之的置信区间所使用的统计量为1n2z=士土（Xi;z服从z2（n_i）分布.3、设由来自总体X N（卜,。2您量为

32、9 的简单随机样本，得样本均值 X=5,则未知参数k的置信度为 0.95 的置信区间是X_1 )X +阜ta(n 1 )，即(5 -0.77s,X + 0.77s)L Jn板Vn 11、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9 个,14.6, 14.7, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1, 设滚珠直径服从正态分布,求直径的均值对应于置信概率（1）已知标准差为 0.15毫米； （2）未知标准差X -解：（：（1）因。已知，取u . -N （0,1 ）n1 - ： =0.95,：=0.05,:uXn23概率密度为dF?xdx2ne刊危),x,0, x一;n-1 =九林2

33、9 =16,故 cr 的置信水平为 0.95 的置信区间为（1.354,2.289 ）2. 从一批灯泡中随机抽取 5 只作寿命试验，测得寿命（以小时计）为1050 11001120 1250 1280,设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均值的置信水平为0.95 的单侧置信下限.X -1解：因CT未知，取t -t(4 JSn1 - 0.95,： =0.05,P t t： n -1侦=1 P t t： n -1或=1 -0.95,又妇(一1 )=t0.05(4 )=213,由t (n 1 )解得 sM的置信水平为 0.95 的单侧置信下限为X 0（n1 ）= 1064.98.n4、设总体X N（

34、卜,。2）,已知。=b0，要使总体均值P对应于置信度为12的置信区间长度不大于 抽取多大容量的样本？/ 、 cy 。解：因 er =。0已知，二P的置信水平为1-a的置信区间为X 瞄瞄X十一u Jn IVn 2）. . . 2。0.由题息置信区间长度不大于L，即u_ M L,n2= 0.05,二 P 的置信水平为 0.95 的置信区间为Xmta(n1 ) Xn21 - 0.95, =0.05,C 的置信水平为 0.95 的置信区间为 又n1 S2-1 ,n 1 S2七_2 2n -123概率论与数理统计作业 15 （ 7.2 7.5 ）1.已知在正常生产情况下某种汽车零件的重量服从正态分布N（54,0.752）在某日生产的零件中抽取 10 件，测得重量（克）如下：54.0, 55.1, 53.8, 54.2, 52.1, 54.2, 55.0, 55.8, 55.1, 55.3.如果标准差不变，该日生产的零件的平均重量是否有显著差异（取 a =0.05）?解：按题意要检验的假设是H0: -=54； H1:. 口0.X -因。=0.75已知，故取u =-: N （0,1 计算