23个求极值和值域专题一

1、23个求极值和值域专题(一)1、求函数 f(x)=x+yx2-3x+2 的值域.2、求函数f(x) = g27 + J13 - x+長的值域.3. 求函数f(x) = vr+如一3兀的值域.4.求函数/(» 号的值域.5.函数f(x) =2x2 +bx + c(其中b<0的值域是厶3,求实数®c.x2 +16、巳知：x,y,z 为正实数,Ax + y + zxyz,求函数 f(x,y,z) = 值.x2 +y2 + Z2xyz的最小7s 巳知：2X2 + 3xy+2y2 = 1 ,求：/(x, j) =x + j+xj 的最小值&设函数f(x) = -lx2+

2、在区间盯的最小值为2a,最大值为2b.求区间“ 2 29、巳知：x2 +y2 =25 f 求函数 f (x, j) = j8y-6x+50 + yj8y+6x+50 的最大值.10、求函数：/(X)= yjx2 +2x + J0 + jx2 +16x+68 的最小值.11、求函数：f(x) = - X-'X-的值域.x2 -4x + 4X X2 x2 X212、实数xl9x2,x3满足Xj + 2-+l=j和心+丄=3,求的最小值.232313、求函数：f(x9y) = (l-y)2 + (x+y-3)2 + (2x+y- 6)2 的最小值.14、巳知：Jx +1 + Jy-2 = 5

3、 ,求函数：f(x,y) = x + y 的最小值.15、点P(x,y)在椭圆¥_ + £_=/上,求f(x,y)=2x-y的最大值.4916、求函数：f(x) = y2+y/8-3x 的值域17-求函数：/(X)= / +1+ x2 + 2x + 2 的值域.218求函数：f (x) = J/ + sinx + yjl-sinx + <2 + sinx+ >J2 -sinx+ sinx+- sin x的最大值.19、设：曲(i = 1,2,3, "2003)为正实数,且满足 石? + 妬 +卜oo3 = 2003 , 试求：y = Jxi + X2

4、+ 4x2 + x3 + + lx 2002+ x2003 + yjX2003 + X1 的最小值.X2/Z220、巳知x.y.z为正实数,且满足+ 丁 + =2,1 + x2 1 + y2 1 + z2求：/(x,y,z) = +亠_的最大值.1 + XZ l + yz 1 + Z21、设a为锐角,求：/a=u+1 )(1 +1 )的最小值.sinacos a22.设a为锐角,求证：2衣sinatana23、巳知为正实数,求证:xy + 2yz x2 +y2 +z23个求极值和值域专题解析K求函数f(x) = x + >x2-3x+2的值域.解析：函数/X= x4- ylx2-3x+2

5、 =x + 7x-/x-2的定义域为：Y,/ U2,+«0.函数的导函数为：/'兀=/乙当X e(-8j时,即：函数/X在XWYO昇区间为单调递减函数,故：= l ；/(x)< lim /(x)= lim f(-x)XTYXT+OOlim (x2 + 3x + 2-TT+OO石- lim f+3x + 2)¥) w 4 +3X + 2 + J=lim3x + 2= |jm工卄 ylx2+3x + 2 + 4?>0故：函数在该区间的值域赳弓.当 x e2,+oo)时,x-_>0.那么 fx) =2即：函数/(X)在xe2,+8)区间为单调递增函数,故

6、：f(x) f=2； f (x) <, lim f (x) = lim (yjx2 + 3x + 2 +x) = +<>oX->+00X->+00故：函数在该区间的值域是2,+8).综上,函数的值域是/,斗)U2,+s).此题采用导数的正负来确定函数的增减,此法称为“单调性法.2、求函数fg=Jx + 27 + J13 -長 的值域.解析：函数/(兀)的定义域是：xeOJ刃.待定系数法用于柯西不等式来解此题.设：A,B,C>09那么柯西不等式为:(tP/ttf4-(+( apj)21+ 1+ 仏 f2( X)ABC即：f2(x)<l(A-B + C)x

7、+(27A + 13B) + 1+AABC令：A-B + C = O.即：B = A + C 由柯西不等式的等号成立条件.即函数取极值时条件得:A>x + 27 =Cy/x x + 27 C2由得:即:C2-A2即:27 A2X = C227A2代入得:(A + C) (13-c2a2即：(A + C )2 (13C 2-13 A2-27 A2 ) = 27A2C 2即：(A + C)2(13C2 -40A2) = 27A2C2,即：(A + C)2(13 - 40 ) = 27试解,由于27 = 3x3x3 t那么式刚好也長3项相乘,不妨试解采用各项都長3. 那么：A+C = 3,且

8、13-40 = 3 .那么：A=1 , C = 2, B=327 A2 27代入得： = =9,即x = 9时函数取得极大值.C2-A222-1函数极大值为 f(x =9) = J9 + 27 +- 9 + 9 =6 + 2 + 3 = 11当x e 0, 9时,函数/(x)在本区间为单调递增函数.故：f(x)工f(0) = 历+伍+逼=3&+価即：函数/(X)在xe0,9区间的值域是3 43+413,11当xw9,/3时,函数/(X)在本区间为单调递减函数.故：f(x) f(J3) = y/13+27 + y/13-13+ 413 -阿 + 页=2 麻+即：函数/(*)在xe9,3区

9、间的值域是20+y13Jl综上,函数/(x)的值域是33+13,11,此题采用“待定系数法、“柯西不等式和“单调性法.3、求函数 f(x) = y75 + y/24-3x 的值域解析：函数/(x)的定义域是：x 5,8,待定系数法用于柯西不等式来解此题.设： A9B>0那么 柯 西 不 等 式 为：(护严戸+ ( BJZ4-/-3X1 +/ * ( x)A B即：f2(x)<i(A-3B)x + (-5A+24B)l_1 +JA B令：A 3B = 0,即：A = 3B 由柯西不等式的等号成立条件,即函数取极值时条件得：A>/r-5 =B>j24-3x2_2x -5 _

10、3B 2 x 5 + 8 x _3B 2 + A2即:A (x 5)=B (24-3 x),即:二,即：；8-x A28_xA2即：=8-x-彳'即宀一“32+屮即："3,+屮33B2+A23 A23 A227 B227923将式代入式得：z亦亦L-矿厂厂当X弓时,函数朋到达极大值.极大值为:4、函数的导函数为：厂(x)=_-'2>/x-524-3x当x 5,1±区间时,fx)<09函数/(x)单调递增.故: 4=0 +24-35 =3即：函数/(X)在本区间的值域是3,2如当x引竺,8区间时,fx)>09函数/(X)单调递减.故: 4f(

11、x)f(8) = y/85+03即：函数八兀)在本区间的值域畏?2综上,函数/(X)的值域是?2打此题采用“待定系数法、“柯西不等式和“单调性法.求函数f(x) =的值域.解析：函数/(X)的定义域長：xe(-oo5/)U(7,+oo).那么函数/(")为:=±= ± Jg(x)(当"V时取负号'当x> 1时取正号)于是函数的极值在：gx) = O即:2(兀一0(宀)一2%(/)2(X-1)4(x 2 + l)-x(x-l) = O(2)3即：(x2 + l)-x(x-l) = 0 f 即：x = -l在XE(-8,0区间,函数f(x)的极

12、值为:在区间的边界有:故函数/(X)在该区间的值域是(一O0,-在XE (厶+8)区间,函数f(x) =(X-1)2厂花,为单调递减函数.故有：/(x)lim/(x) = llm( + 1 )=+°° » V(x-/)X2 +1(X-1)2)(x-/)2)7f(x) lim f(x)= lim(xt+oox->+ao故：函数/(x)在该区间的值域長(厶+O0)综上,函数f(x)的值域是(_8,_£】U(/,+8)本題方法属“单调性法22 x2 + bx + c5、巳知函数f(x) =(其中b<0)的值域是2,3,求实数x2 +1解析：函数的定

13、义域为xeR.将函数变形为：y(x2 + l) = 2x2 + bx + c 9 即：(2y)x2 + bx + (c-y) = 0其判别式不等式为：企沪一 4(2 -y)(c -刃=(b2 - 8c) + 4(2 + c)y-4 y2 A 0即：(£)2一2c+ (2+c)yno 2而函数/(X)的值域畏厶3,即：(y-F)(3-y)nO,职_3 +幻一丿2工0 比照®两式得：c = 29 ()2-2c = -3,即()2 = /,因b <0,故.b = -22 2 故：实数b = 2, c = 2此法称为“判别式法.x 签 +X +z6.：x.y.z为正实数.且x

14、 + y + z>xyz,求函数f(x,y,z)=的最小xyz3a =a3 9 即：a = 那么:值.解析：首先设x = y = z=a 9代入x + y + z = xyz得:当xyz = 3时,由均值不等式Qn >即:x2 +y2 + z2 丫 x+A +C>1 得:222 (x+y+zr (xyz)x +y +Z AA33x2 + y2 + z (xyz r xyz那么：f(x,y,z) =n=3xyz 3xyz当Xjz < 33时,由均值不等式An>Gllt即：竺±宁三_?J&xyz)2 得:x2 +y2 + z233xyz )那么：八"沪匸土Lxyzxyz(x+y+z)2当XJZ > 33时,由均值不等式QAt即：x +y+zn222 (x+y+zr (xyz)代入条件x+y + zxyz , 得：x +y +z AAx2 + y2 + z2 (xyzr xyz 彳厂那么：f(x,y,z) =n=2_= yj33xyz 33xyz故：由、得,f(x,y,z) = - 的最小值是締.xyz此题先确定XJZ =均值,然后在XJZ >均值和XJZ <均值下求极值.此法称为“分别讨 论法 7s巳知：2* + 3巧+2护求：f(x,y)=x+y+xy的最小值.解析：由条件