湖南科技大学数学教研室

1、第一节全排列及逆序数第一节全排列及逆序数第二节行列式的定义第二节行列式的定义第三节对换第三节对换第四节行列式的性质第四节行列式的性质第五节行列式的计算第五节行列式的计算第六节克莱姆法则第六节克莱姆法则第一章第一章 n 阶行列式阶行列式一、二阶与三阶行列式22221211212111bxaxabxaxa的线性方程组考虑含有两个未知量21,xx1.二阶行列式 为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：211112221122211122221121122211)()(ababxaaaaababxaaaa方程组有唯一解211222112111122211222111222211aaaaababxaa

2、aaababx时，当021122211aaaa 上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.为便于记忆，引进如下记号：2112221122211211aaaaaaaa 称其为二阶行列式.1 全排列及逆序数全排列及逆序数 定义定义 1 由由1，2，,n组成的一个有序数组称为组成的一个有序数组称为一个一个n 级全排列（简称级全排列（简称排列排列）。）。 定义定义2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的在一个排列中，如果两个数（称为数对）的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个数，那么称它们构成一个逆序逆序（反序反序）。

3、一个排列）。一个排列中逆序的总数称为这个排列的中逆序的总数称为这个排列的逆序数逆序数。 一个排列一个排列j1, j2,jn的逆序数，一般记为的逆序数，一般记为 (j1, j2,jn) 上一页上一页下一页下一页返回返回定义定义3 逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列，逆序数为，逆序数为奇数的排列称为奇数的排列称为奇排列奇排列。 排列排列12的逆序数为的逆序数为 0。 排列排列215479683的逆序数为的逆序数为 排列排列231的的 逆序数为逆序数为11。 2。 排列排列135(2n-1)(2n)(2n-2)42的逆序数是的逆序数是 n(n-1) 。返回返回上一页上一页下一页

4、下一页例例1计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性. (1) 42531，（，（2） 135（2n-1）246(2n). 解解（1） 对于所给排列，对于所给排列，4排在首位，逆序个数为排在首位，逆序个数为0；2的前面有一个比它大的数，逆序个数为的前面有一个比它大的数，逆序个数为1；5的前面有的前面有0个比它大的数，逆序个数为个比它大的数，逆序个数为0；3的前面有两个比它大的的前面有两个比它大的数，逆序个数为数，逆序个数为2；1的前面有四个比它大的数，逆序个的前面有四个比它大的数，逆序个数为数为4.把这些数加起来，即把这些数加起来，即 0+1+0+2

5、+4=7故排列故排列42531的逆序数为的逆序数为7，即，即(42531)=7，因而是奇排，因而是奇排列列.(2) 同理可得：同理可得： 135(2n-1)246(2n) =0+(n-1)+(n-2)+2+1= . (1)2n n 所给排列当所给排列当n=4k或或4k+1时为偶排列，当时为偶排列，当n=4k+2或或 4k+3时为奇排列时为奇排列.一、二阶与三阶行列式22221211212111bxaxabxaxa的线性方程组考虑含有两个未知量21,xx1.二阶行列式 为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：211112221122211122221121122211)()(ababxaaaa

6、ababxaaaa方程组有唯一解211222112111122211222111222211aaaaababxaaaaababx时，当021122211aaaa 上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.为便于记忆，引进如下记号：2112221122211211aaaaaaaa 称其为二阶行列式.2.三阶行列式322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 称为三阶行列式. 三元素乘积取“+”号； 三元素乘积取“-”号.主对角线法主对角线法.,称为它的元素（数jiaij1

7、,2,3)2 行列式的定义行列式的定义 在不同行、不同列中取在不同行、不同列中取n个数作乘积个数作乘积 ，并乘，并乘以符号以符号 （其中（其中j为列标排列为列标排列j1, j2,jn的逆序数），记的逆序数），记为为 ，这样的乘积有，这样的乘积有 项。项。nnjjjaaa2121j)1( nnjjjjaaa2121)1( !n返回返回上一页上一页下一页下一页定义定义4 n阶行列式阶行列式 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa nnnjjjjjjaaa211211 它们的和它们的和，称为，称为n阶行列式阶行列式。记记dnnnnnnnaaaaaaaaa212222111211ija

8、为行列式第为行列式第i行第行第j列的元素列的元素 nnnjjjjjjaaa211211 称为称为n阶行列式的展开阶行列式的展开式或行列式的值。式或行列式的值。返回返回上一页上一页下一页下一页说明：说明： 1) 等式右边的每一项都是等式右边的每一项都是n个元素的乘积，个元素的乘积，这这n个元素均位于不同的行和不同的列。个元素均位于不同的行和不同的列。2)各项的正负号与列标排列有关，偶排列各项的正负号与列标排列有关，偶排列为正，奇排列为负。为正，奇排列为负。3)因为因为1,2,n的排列有的排列有n!个，故等式右边个，故等式右边共有共有n!项项。nnnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa

9、d211212122221112111返回返回上一页上一页下一页下一页例例2 计算计算4阶行列式阶行列式4443424133323122211100 00 0 0 aaaaaaaaaad 解：解： 根据定义，根据定义，d是是4！24项的代数和，但每一项的代数和，但每一项的乘积项的乘积 中只要有一个元素为中只要有一个元素为0，乘积，乘积就等于就等于0，所以只需展开式中不明显为，所以只需展开式中不明显为0 的项。的项。njjjjaaaa4321321行列式展开式中不为行列式展开式中不为0的项只可能是的项只可能是a11a22a33a44，而，而列标排列列标排列1234的逆序数为的逆序数为0，即此项符

10、号为正，因，即此项符号为正，因此行列式此行列式da11a22a33a44。 返回返回上一页上一页下一页下一页注：可扩充到注：可扩充到n阶的情形。阶的情形。例例：n阶行列式阶行列式dnnnaaa2211nnnaaa2211).2, 1() 1(nnaaa2211dn11,21nnnaaa11,21)1 ,2.1,() 1(nnnnnaaa11,212)1() 1(nnnnnaaa返回返回上一页上一页下一页下一页12, 11,212)1(12, 11 , 1112111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa例例3 证明证明 上面的行列式中，未写出的元素都是上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证

11、证: 因为行列式的值为因为行列式的值为 nnnjjjjjjaaa211211 而排列而排列j1j2jn只能是只能是n(n1)21的排列，的排列， 故逆序数故逆序数2112)2() 1(nnnnj返回返回上一页上一页下一页下一页所以行列式的值为所以行列式的值为 12, 11,21211nnnnnnaaaa 4132231441323123222114131211000000aaaaaaaaaaaaaad 返回返回上一页上一页下一页下一页主对角线以上的元素全为零（即主对角线以上的元素全为零（即ij时元素时元素aij0）的行列式称为的行列式称为上三角行列式上三角行列式，它等于主对角线上，它等于主对角

12、线上各元素的乘积。各元素的乘积。 行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为零（即零（即ij时元素时元素aij0）的行列式称为）的行列式称为对角行列式对角行列式，它等于对角线上元素的乘积。它等于对角线上元素的乘积。返回返回上一页上一页下一页下一页3 对对 换换 定义定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动，排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫这种对排列的变换叫对换对换，将相邻两数对，将相邻两数对 换，叫做换，叫做相邻对换相邻对换（邻换邻换）。）。 定理定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改一个排列中的任意两数对换，排列改

13、变变 奇偶性。奇偶性。 返回返回上一页上一页下一页下一页证证 先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形. 设排列为设排列为 ，对换，对换 与与 排列变排列变为为 ，显然，显然 这些数的逆序数经过对换并不改变，仅这些数的逆序数经过对换并不改变，仅 与与 两两数的逆序数改变：当数的逆序数改变：当 时，经对换后，时，经对换后， 是逆序，新排列的逆序数增加是逆序，新排列的逆序数增加1，当，当 时，时， 不是逆序，新排列的逆序数减少不是逆序，新排列的逆序数减少1，所以，所以排列排列 与排列与排列 的的逆序数相差逆序数相差1，奇偶性改变，奇偶性改变.1112iiiinpp pp ppip1ip1112iiii

14、npp p p pp112iinpp ppip1ip1iipp1iip p1iipp1iipp1112iiiinpp pp pp1112iii inpp p ppp下证一般对换的情形下证一般对换的情形. 设排列为设排列为 ，对换，对换 与与 ,把把 往后连续作往后连续作 次相邻对换，排列变次相邻对换，排列变为为 ，再把，再把 往前连续作往前连续作 次相邻对换，排列变为次相邻对换，排列变为 从而实现了从而实现了 与与 的对换，它是经的对换，它是经 次次相邻对换而成，排列也就改变了相邻对换而成，排列也就改变了 次奇偶性，次奇偶性，所以两个排列的奇偶性相反所以两个排列的奇偶性相反.11112iiii

15、 m i mi mnpp ppp ppp ip1i mpipm11112iii m ii mi mnpp pp pppp 1imp1m 11112ii mii m i i mnpp ppp ppp ip1imp21m 21m 定理定理2 n阶行列式的一般项可以写成阶行列式的一般项可以写成 nnqpqpqptsaaa22211 其中其中s与与t分别是分别是n级排列级排列p1p2pn与与q1q2qn的逆序的逆序数。数。证明：证明： 将将 重排，使其行标成为自然顺序重排，使其行标成为自然顺序nnqpqpqpaaa2221 ,行标，列标同时作了一次对换，总行标，列标同时作了一次对换，总逆序数之和不改变

16、奇偶性。逆序数之和不改变奇偶性。2121nnqqqaaa).().(11) 1(1nnqqppts).().2, 1(1) 1(nqqn).(1) 1(nqqnnnnqpqpqqppaa.) 1(1111).().(nnqnqqqaa.) 1(111).(nppppppnnaaad21).,(21211结论：返回返回上一页上一页下一页下一页2.三阶行列式322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 称为三阶行列式. 三元素乘积取“+”号； 三元素乘积取“-”号.主对角线法主对角

17、线法.,称为它的元素（数jiaij1,2,3)4 行列式的性质行列式的性质 ,212222111211nnnnnnaaaaaaaaad nnnnnnaaaaaaaaad212221212111 记记行列式行列式d称为行列式称为行列式d的的转置行列式转置行列式。性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等 。证：证： 记记 ,212222111211nnnnnnbbbbbbbbbd 即即bijaji (i，j1，2，n) 返回返回上一页上一页下一页下一页按行列式定义按行列式定义 nnjjjnjjjjbbbd2121211 nnjjjnjjjjdaaa2121211性质性质2

18、互换行列式的两行（列），行列式反号。互换行列式的两行（列），行列式反号。 证证 nnnqnpnnqpnqpaaaaaaaaaaaad12222111111 交换第交换第p、q两两列，得行列式列，得行列式 nnnpnqnnpqnpqaaaaaaaaaaaad122221111111 返回返回上一页上一页下一页下一页对于对于d中任一项中任一项 niqipiiiinqpaaaaa21211 其中其中i为排列为排列 的逆序数的逆序数 nqpiiii1在在d1中必有对应一项中必有对应一项 nipiqiiiinpqaaaaa212111 其中其中i1为排列为排列 的逆序数的逆序数 npqiiii1与与 只

19、经过一次对换只经过一次对换nqpiiii1npqiiii1 相差一个符号相差一个符号与与111ii niqipiiinipiqiiinqpnpqaaaaaaaaaa21212121 返回返回上一页上一页下一页下一页2.三阶行列式322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 称为三阶行列式. 三元素乘积取“+”号； 三元素乘积取“-”号.主对角线法主对角线法.,称为它的元素（数jiaij1,2,3)所以对于所以对于d中任一项，中任一项，d1中必定有一项与它的符号中必定有一项与它的

20、符号相反而绝对值相等，又相反而绝对值相等，又d与与d1的项数相同。的项数相同。 1dd 推论推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，若行列式有两行（列）元素对应相等， 则行列式为零。则行列式为零。 交换行列式交换行列式i，j两行记作两行记作r（i，j），交换行列式），交换行列式i，j两列，记作两列，记作c（i，j）。）。证：由条件有证：由条件有 dd故可得故可得 d0返回返回上一页上一页下一页下一页性质性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数同一个数k，等于用数，等于用数k乘以此行列式。乘以此行列式。 )()(,)(kickirki记作乘以数列行

21、第性质性质4 行列式中若有两行元素对应成比例，行列式中若有两行元素对应成比例， 则此行列式为零。则此行列式为零。 返回返回上一页上一页下一页下一页性质性质5 若行列式的某行（列）的元素都是两个若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如数之和，例如 nnnnininiiiinnaaaaaaaaaaaaaaad2122112222111211 则行列式则行列式d等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和： nnnniniinnnnnniniinnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaad2121222211121121212222111211 返回返回上一页上一页下一页下一页性质性

22、质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 以数以数k乘以第乘以第i行上的元素加到第行上的元素加到第j行对应元素上记作行对应元素上记作rji（k），有），有jiaaakaakaakaaaaaaaakijraaaaaaaaaaaannnninjnijijiniinnnnnjnjjiniin212211211121121212111211)()()()(返回返回上一页上一页下一页下一页总结：总结：三种行列式变换三种行列式变换1 互换两行或两列互换两行或两列 1),(),

23、(ddjirjic2 第第i行或第行或第j列乘上非零数列乘上非零数k 1)()(1dkdkirkic3 行列式第行列式第i行或第行或第i列乘上列乘上数数k加到第加到第j行或第行或第j列对应列对应元素上元素上 1)()(ddkijrkijc返回返回上一页上一页下一页下一页例例 5 计算四阶行列式计算四阶行列式ababaabbbbd000000 解解ababaabbababaabbbbd2020000000000000 )4(22*00222bababbabb 返回返回上一页上一页下一页下一页例例：abbbbabbbbabbbbad.(1).(1).(1).(1).anbbbbanbabbanbb

24、abanbbba1.1.(1) 1.1.bbbabbanbbabbba返回返回上一页上一页下一页下一页100.000.0(1) 00.0000.abanbabab(1)(1) ()nanb ab例：例：354524566479131266879546563返回返回上一页上一页下一页下一页354524566479131266879511111)51 ( r1323201224137661324511111每一列减去第一列13232012241376600013000015-2r）（513232012240053400013000015-3r）（返回返回上一页上一页下一页下一页例：例：111a22

25、2cbcacbcbabacab按照性质，此行列式可表为按照性质，此行列式可表为 个个3阶行列式的和。阶行列式的和。100010001a222cbcacbcbabacabn21222cba分三类：若三列为数等于分三类：若三列为数等于 ,若两列为数则行列若两列为数则行列式为对角形行列式等于式为对角形行列式等于 ,若一列为数若一列为数则行列式字母列对应成比例等于则行列式字母列对应成比例等于 。01222cba返回返回上一页上一页下一页下一页例：例：dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba3610363234232cbabaacbabaacbabaadcba36302320

26、0baabaacbabaadcba30020004a返回返回上一页上一页下一页下一页5 行列式的计算行列式的计算 定义定义6 n阶行列式阶行列式 中，划去元素中，划去元素aij所在的行和列中的元素，余下的所在的行和列中的元素，余下的（n-1）2 元素按其原有的顺序构成一个元素按其原有的顺序构成一个n1阶行阶行列式叫做列式叫做元素元素aij的余子式的余子式，记为，记为mij 。返回返回上一页上一页下一页下一页111111jniijinnnjnnaaaaaaaaaaij与行列式中第与行列式中第i行、第行、第j列的元素无关。列的元素无关。 aij叫做叫做元素元素aij的代数余子式的代数余子式。 ij

27、jiijma ) 1(叫做叫做元素元素aij的余子式的余子式，记为，记为mij 。111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa引理引理 n阶行列式阶行列式d，如果其中第，如果其中第i行元素除行元素除aij外全部为零，外全部为零，那么这个行列式等于那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 daijaij证证 先证先证i1，j1的情形的情形 nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaad3232323211)1(3212232221

28、111000 nnnjjjnjjjjjjaaaa32323232)(111 返回返回上一页上一页下一页下一页 11111111111111323333222322111aamamaaaaaaaaaaannnnnn nnnjjjnjjjjjjaaaa32323232)(111 对一般情形，只要适当交换对一般情形，只要适当交换d的行与列的位置，的行与列的位置，即可得到结论。即可得到结论。 返回返回上一页上一页下一页下一页定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即 ), 2 , 1( ), 2 ,

29、1( 22112211njaaaaaadniaaaaaadnjnjjjjjininiiii 或或证证nnnniniinaaaaaaaaad2121112110000000 返回返回上一页上一页下一页下一页nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000 .2211ininiiiiaaaaaa nnnninnaaaaaaa211121100 返回返回上一页上一页下一页下一页例例 计算行列式计算行列式 1320010500134002 d解解 由定理由定理3 知知 1 11 41003102101041501231023d 86)156(42 注：运用定

30、理注：运用定理3 3可适当减轻行列式的运算。可适当减轻行列式的运算。返回返回上一页上一页下一页下一页例例 计算行列式计算行列式 12960431002003807d解：解：由定理由定理3 3知知1209604031000200308022753d03072 14062141301442返回返回上一页上一页下一页下一页例例9 计算行列式计算行列式 (加边法加边法)yyxxd 1111111111111111解解 当当x0 或或y0时，显然时，显然d0，现假设，现假设x0，且且y00，由引理知，由引理知 yyxxyyxxd 0001000100010001111111111011110111101

31、11101111122000000000000000011111yxyyxx 返回返回上一页上一页下一页下一页推论推论 行列式一行行列式一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元的对应元素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零,即即 )(02211jiaaaaaajninjiji )(02211jiaaaaaanjnijiji 或或证证nnnjnjininjnjnjjjjaaaaaaaaaaaaaa 1111112211 返回返回上一页上一页下一页下一页当当i j,将式中将式中ajk换成换成aik(k=1,2,n),可得可得nnniniininjninjijiaa

32、aaaaaaaaaaaa1111112211 同理可证同理可证02211 njnijijiaaaaaa0返回返回上一页上一页下一页下一页代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质: ;, 0,1jijidaankjkik当当当当 ;, 0,1jijidaankkjki当当当当或或返回返回上一页上一页下一页下一页例例1111 计算计算n阶行列式阶行列式(递推公式法递推公式法) 12211 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1 axaaaaxxxxdnnnn 解解 由行列式由行列式dn可知可知 111axaxd 将将dn按第按第1列展开列展开 返回返回上一页上一页下一页下一页,100

33、.0000010001)1(1000.00100001112321 xxxaaxaaaaxxxxdnnnnnnnnnaxdd 1即即这个式子对任何这个式子对任何n(n 2) 都成立都成立,故有故有 .)(1221112211122121nnnnnnnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxadxaxadxaaxdxaxdd 返回返回上一页上一页下一页下一页例例 利用递推公式法计算利用递推公式法计算 解：解：按第一行展开按第一行展开nnnnndcdcbabad.0.00.0.11112nnnnnnnddcdcbabaad0000000111111112返回返回上一页上一页下一页下一页)1(

34、2)1(2nnnnnndcbdda000000) 1(1111111121nnnnnnncdcdcbabab)1(2)(nnnnndcbda)2(21111)(nnnnnnnnndcbdacbda)1(22)(nnnnnndcbdad222221111).()(.dcbdacbdacbdannnnnnnnniiiiicbda1)(返回返回上一页上一页下一页下一页例例10 10 证明范德蒙行列式证明范德蒙行列式112112222121.1.11nnnnnnnxxxxxxxxxdnnijjixx1)(当当n n2 2时时21211xxd 12xx 成立 )(1nnijjixx证明：证明：用数学归纳

35、法。用数学归纳法。假设对假设对n n1 1阶成立，现证对阶成立，现证对n n阶也成立。阶也成立。返回返回上一页上一页下一页下一页1212221122112.)(0.)(0.01.11xxxxxxxxxxxxxxxxdnnnnnnnn2232232112.1.11).(nnnnnnxxxxxxxxxx112).(xxxxnnnijjixx2)(故结论成立。故结论成立。返回返回上一页上一页下一页下一页例例 利用范德蒙行列式求解利用范德蒙行列式求解1252515641614279131111d解：解：1252551641641279311111d1256427125169154311111) 13)

36、(14)(34)(15)(35)(45(48返回返回上一页上一页下一页下一页习习 题题1 1 设排列设排列 的逆序数为的逆序数为k k，问，问 的逆的逆序数为多少？序数为多少？ nnxxxx121.121. xxxxnn解：解：,m11逆序数为设x1m1n则其顺序数为,m22逆序数为x2m2n则其顺序数为,mnn逆序数为xnmnn则其顺序数为）（）（）（n21mnn.m2nm1n）（n21.0.2n1nmmmknn2) 1(返回返回上一页上一页下一页下一页的系数以及常数项。与中求34111123111212)(xxxxxxxxf2 2444332211)1234(21xaaaa）（344332

37、112)2134(1xaaaa）（得到。即令常数项)0(, 0:fx 解解：返回返回上一页上一页下一页下一页3 3313233343512345555331)325422)2221146523aaaaaa已知求解：解：)(5333231aaa0)(33534 aa)(2333231aaa03534 aa0)20) 1相当于求解方程组返回返回上一页上一页下一页下一页4 4求此行列式的值。）还多，素如果比（阶行列式中等于零的元在一个n2nnnnnn)(22解：解：不等于的元素个数不等于的元素个数所以行列式的值为零。所以行列式的值为零。5 5 计算行列式计算行列式nnnnnnnnnnxxxxxxxx

38、xxxxd.1.1121222212222121返回返回上一页上一页下一页下一页解：解：首先考虑首先考虑n n1 1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxg1221112112222121.1.1.11)(的系数为右端看，但从上式的系数为从上式左端看，多项式112,) 1()(nnxddxgnjiijnxxxxx121)(.）（njiijnnxxxxxxxx111)().()(返回返回上一页上一页下一页下一页二者应相等，故二者应相等，故njiijnxxxxxd121)(.）（xxxxxxxaaaaadnn.0000.000.00.000.0.)

39、11210例例 用化三角形的方法求下面行列式用化三角形的方法求下面行列式xxxaaaanniiniinii.000.0.000.00.210niinax0返回返回上一页上一页下一页下一页nnnnnnnbababababababababad.2122212121111.000.0.1000.010.2110nniiiaaabaaniiibaa10例例 用行列式分解的方法求行列式用行列式分解的方法求行列式1.00.0.100.01.)221210nnbbbaaaad 返回返回上一页上一页下一页下一页解：解：此行列式可表为此行列式可表为 个个n n阶行列式之和阶行列式之和n2022n故同或成比例，个

40、行列式的必有两列相时，这当dnn时当1n221221112babababad)(1221bbaa时当2n111bad练习练习xaxaxaxaxaxaxaxaxadnnnnnnn.212222111211返回返回上一页上一页下一页下一页例例 用递推关系法求行列式用递推关系法求行列式720.000572.000057.000.000.720000.572000.057nd解：解：由引理将行列式降阶展开由引理将行列式降阶展开1275 2nnnddd 12 75 20nnnddd 即返回返回上一页上一页下一页下一页02*552 21nnnddd）（）（211252 nnnndddd）（211525 n

41、nnndddd）（12225.ddn）（12252.ddn397252 2d而71d45252 1212ddddnnnnndddd2552 11n故32511nnnd返回返回上一页上一页下一页下一页练习练习21.00012.000.00.21000.12100.012nd返回返回上一页上一页下一页下一页6 克莱姆法则克莱姆法则 克莱姆法则克莱姆法则如果线性方程组如果线性方程组 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111.,的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零,即即 01111 nnnnaaaad那么那么,方程组有唯一解方程组有唯一

42、解 ,2211ddxddxddxnn 其中其中dj(j=1,2,n)是把系数行列式是把系数行列式d中的第中的第j列元素用列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式阶行列式. 返回返回上一页上一页下一页下一页nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaad1,1,121,221,22111, 111, 111 证明证明 (1) 方程组简写为方程组简写为nibxainjjij,.,2 , 1,1 把方程组的唯一解代入第把方程组的唯一解代入第i个方程个方程,左端为左端为 njjijnjiijdaddda11.1 nssjsnjnjjjababababd