选修2-3期望方差练习题(含答案)

1、精品教育231 ?某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为3 和 5, 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立.(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率；(2) 若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100 万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望?阿解：记 E = 甲组研发新产品成功,F= 乙组研发新产品成功?2一 13一 2由题设知 P(E)= ,P(E )=,P(F)= ,P(F )=.3355且事件 E 与 F, E 与匸 , "E 与 F,E 与匸都相互独立 .(1)记 H

2、 = 至少有一种新产品研发成功，则 H = E F , 于是P( H)=P( E) P( F) =3X 5=忘12 2故所求的概率为P(H)= 1- P( H )= 1- 151315'(2)设企业可获利润为X(万元 ) ，贝 U X 的可能取值为 0,100,120,220.1 2 2P(X = 0)= P( E F ) = m，5153( = 100)=P(TF)=) |= 3P XE F224( = 120)=()=5= 15,P XP236P(X = 220) = P(EF )=尹 5= 故所求的 X 分布列为数学期望为=140.2?现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，

3、每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下 ?游戏规则为：若小球最终落入A 槽，得 10 张奖票；若落入B 槽，得 5 张奖票；若落入 C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3 次 .-可编辑 -精品教育(1) 求投球一次，小球落入 B 槽的概率 ;(2) 设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求 X 的分布列及数学期望.1解： ( 1) 由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为 2 1 2 +1 1 1(2) 落入 A 槽的概率为2 2= 4, 落入 B 槽的概率为2，落入C 槽的概率为X 的所有可能取值为0,5,10,1 1 11 21P( X=5) = +4X 2+2 x 2=

4、 32,X 的分布列为11 21p( x= 10) =4+4X 4+4X2464'12121105E(X) = 0+5+ 10 右 =花X0510P121216432643?在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手 (1 至 5 号)登台演唱 ,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 . 各位观众须彼此独立地在选票上选3 名歌手，其中观众甲是1 号歌手的歌迷 ,他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选2 名?观众乙和丙对5 位歌手的演唱没有偏1 1P( X=0)= 4 3= 64,-可编辑 -精品教育爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手 .(1) 求观众甲选中3

5、号歌手且观众乙未选中3 号歌手的概率；(2) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望.解： ( 1)设 A 表示事件“观众甲选中3 号歌手”， B 表示事件“观众乙选中3 号歌手”，C1 2P(B) =C2 3.则 P(A)=C=CT 5|?事件 A 与 B 相互独立 ,?观众甲选中3 号歌手且观众乙未选中3 号歌手的概率为P(A B )= P(A) ? R B )=P( A )1 - P(B)=3X 5= 15.C1 ?C3 4C3 ?C 5_153 号歌手”，则P(C) = C|= 5(2) 设 C 表示事件“观众丙选中1 2 2?X 可能的取值为0,1

6、,2,3, 且取这些值的概率分别为P (X= 0)= P( A B C )= -X 5X5 =475,P(X= 1)= P(ABC)+ P(ABC )+ P(ABC)22213212320=3X 5X 5+3X 5X 5+3X 5X 5=75'P(X =2)=P(ABC )+P(ABC)+P(ABC)23222313333=-X X +XX +X X =3553553557523318P(X = 3)= P(ABC )= 3 X 5X 5= 75,? X 的分布列为：X0123P420331875757575-可编辑 -精品教育4203318140 28?X 的数学期望 E( x) =

7、0X75+1怎+ 2耳+3 4 5 沆=祈=质4?一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中4 张卡片上的数字是1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是3?从盒中任取3 张卡片 .(1) 求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；(2) X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望. ( 注：若三个数a, b , c 满足 a< b<c, 则称 b 为这三个数的中位数. )解： ( 1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为C3+ C35P= CT = 84.(2) X 的所有可能值为 1,2,3,C2C1+ C417且 P(X= 1)=3=c1

8、c；c2+C3C6+ C3 43P( X=2)=C= 84，CC 1P( X=3)= "CT = 12，故 X 的分布列为X123P174314284121743147从而 E( X)= 1 2+2+3 违=云5?已知一个口袋中装有n 个红球 ( n l 且 n?N*)和 2 个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖.(1) 当 n= 3 时，设三次摸球中 ( 每次摸球后放回 ) 中奖的次数为 X，求 X 的分布列；(2) 记三次摸球中 ( 每次摸球后放回 ) 恰有两次中奖的概率为P, 当 n 取多少时， P 最大 ?3X23解： (1)

9、当 n= 3 时，每次摸出两个球，中奖的概率5'2 8 HX =0) = c3 5 3=褊2363 -2= ；P(X = 1)= Cs ?5 = 125 ；5-可编辑 -精品教育3254P(X = 2)= &2=55125 ；3 27P(X= 3)= &? 53=话X 的分布列为X01238365427P125125125125(2) 设每次摸球中奖的概率为p,则三次摸球 ( 每次摸球后放回 ) 恰有两次中奖的概率为P(X=2)= C3 - p2 ? (1 - p) = - 3p3 + 3p2,0v pv 1,2 2P'= 9p2 + 6p=- 3p(3p-2)

10、, 知在 0,3 上 P 为增函数，在3，1 上 P 为减函数，当p=3 时， P 取得最大值 .cn c12所以 p=3,即 n2 - 3n+ 2 = 0,解得 n= 1 或 n= 2.6.某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市 100 000 名男生的身高服从正态分布 N (168,16). 现从某学校高三年级男生中随机抽取50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 160 cm 和 184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6 组：第 1 组 160,164), 第 2组 164,168) , ，第 6 组 180,184 ,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.-可编

11、辑 -精品教育（ 1） 试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（ 2） 求这 50 名男生身高在 172 cm 以上（含 172 cm ）的人数；（3）在这 50 名男生身高在172 cm 以上洽 172 cm ）的人中任意抽取2 人，将该 2 人中身高排名 （从高到低 ）在全市前 130 名的人数记为X，求 X 的数学期望 .参考数据：若 X? N（仏亂贝 UP（厂 o< Xw 叶（）= 0.682 6,P（厂 2 < Xw 叶 2（） = 0.954 4,P（厂 3< X< 叶 3= 0.9974.5解： （1）由频率分布直方图，经过计算得该校高三年级男生平均身高为162 X +166 X100 +170常174X100 + 178 X 100 + 182 X 100 X 4 = 168.72,高于全市的平均值168.（2）由频率分布直方图知，后 3 组频率为 （0.02 + 0.02 + 0.01 ）X 4=0.2, 人数为 0.2 X 50=0,即这 50 名男生身高在172 cm 以上 （含 172 cm ）的人数为 10.（ 3） v P（168 - 3X 4<w 168 + 3X4= 0.997 4 ,1- 0.997 4? P(X> 18C) =0.001 3,0. 001 3 X 100000=