1994考研数三真题及解析

1、1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）已知f (x) = -1,则 limX屮Xf (xo - 2x) - f(X。- X) 设方程exy + y2 = cosx确定y为x的函数,则岂=.dx00a100a2LL0 10设A =MMMM,其中 q H0,i =1,2,L , n,则 A-000Lan Aan00L0 一（5）设随机变量X的概率密度为f2x,0cxc1,f （X）=.0,其他，f11以Y表示对X的三次独立重复观察中事件X _丄 出现的次数，则P'Y二2二I2J、选择题（本题共5小题，每小题3分

2、,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)曲线y =2x2 川'X川1ex arctan的渐近线有(x+1)(x2)(A) 1 条(B) 2(C) 3(D) 4设常数，0,而级数V a2收敛，则级数（-1）nan|,n2（A） 发散 （B）条件收敛（C）绝对收敛（D） 收敛性与有关(C) r(D)r与*的关系由C而定 设A是m n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B = AC的秩为r1,则(B)(A) r * 设 0 cP(A) <1,0 cP(B) c1,P(A B) + P(AB)=1,则(A)事件A和B互

3、不相容(C)事件A和B互不独立(B)(D)事件A和B相互对立事件A和B相互独立(5)设Xi,X2,L ,Xn是来自正态总体N(怙)的简单随机样本，X是样本均值，记2 1 nS2(Xin -1 ij2 1 nS2(Xin 1 y-X)2,-j)2,2 1 nS； j (Xin i 二2 1 nS；(Xin y-X)2,)2,则服从自由度为n -1的t分布的随机变量是(A) t(B)S2n -1n -1(C) t(D)tdS4n(本题满分6分)计算二重积分 JJ(x + y)dxdy,其中 D = (x, y) x2 + y2 兰 x 十 y+1.D四、(本题满分5分)设函数y =y(x)满足条件

4、丄y4y 4y = 0,.y(0) =2,y(0) 4,求广义积分0 y(x)dx.五、(本题满分5分)2y 2X 、占2 f已知 f(x, y) =x arctan y arctan ,求xycxcy六、(本题满分5分)设函数 f (x)可导，且 f(0) =0,F(x)二。丫十(xn tn)dt,求 lim F(2x) x七、(本题满分8分)已知曲线y二a； x(a 0)与曲线y=l nx在点(心y0)处有公共切线，求:(1)常数a及切点(x0,y0)；(2)两曲线与X轴围成的平面图形绕X轴旋转所得旋转体的体积Vx.八、(本题满分6分)假设f (x)在a, ：)上连续，厂(x)在a, :内

5、存在且大于零，记F(x) J(x)-f(a)(x .a)，x a证明F (x)在a,亠j内单调增加.九、(本题满分11分)设线性方程组“"23% ax2 印 x3 二印，“23x1a2x2a2 % = a2,亠丄23Xia3X2a3% 二 a3,丄丄 23x1a4x2a4= a4.(i)证明：若a1,a2,a3,a4两两不相等，则此线性方程组无解;,其中 设印=a3 =k,a2 =a4 - -k(kO),且已知：2是该方程组的两个解-11111P -,严2_1J 一-1 _i写出此方程组的通解 十、(本题满分8分)0 0 1设A= x 1 y有三个线性无关的特征向量 ，求x和y应满足

6、的条件 1 0 0 一(本题满分8分)假设随机变量 X1,X2,X3,X4相互独立，且同分布PXj =0；=0.6,卩訣=1；=0.4(i =1,2,3,4)求行列式X = X1X3X2的概率分布X4十二、（本题满分8分）10或已知销假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布 N（=1）,内径小于大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损 售利润T（单位：元）与销售零件的内径 X有如下关系：-1, X <10,T =二20,1 X <12,-5, X 12.问平均内径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？1994年全国硕士研究生入学

7、统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)(1)【答案】In 3【解析】利用被积函数的奇偶性，当积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数时，积分为2-_2ydx22 x0;被积函数为偶函数时，可以化为二倍的半区间上的积分所以知2=In (2 x )=In 6 -1n 2 = In 3.2X2【解析】根据导数的定义，有 f(XoIixmo ()20【答案】1所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式，从而求得极限值.由于Iim f (xo _2x) _ f (Xo _x)X 0xf (Xo _2x) _ f (xo) _ f (Xo _x) f (xo)x= (-2)

8、Iim f(Xo-2x)-f(Xo) rm f(x-xf(xo) TqxT-2x-x=-2f(X。)f (X°)=1.x1所以 原式二Iim-二1T f(Xo2x) f(XoX) 1【答案】,yexy+si nxy _xeXy 2y【解析】将方程exy y2 = cosx看成关于x的恒等式，即y看作x的函数.方程两边对x求导，得xyxyye sinxe (y xy) 2yy - -sinx yxe +2y【相关知识点】两函数乘积的求导公式：lf(x) g(x) l - f (x) g(x) f(x) g (x).Illan【答案】aiIIIa2IIIIII【解析】由分块矩阵求逆的运算

9、性质；0 A0 B1a0 一,有公式a1a2an所以，本题对A分块后可得9【答案】 64【解析】已知随机变量1aia2IIIIIIAJ =a2IIIanV丄ananX的概率密度，所以概率P X乞-2 2xdx二-I 2J "04,求得二项分1布的概率参数后，故YB(3, ).由二项分布的概率计算公式，所求概率为pfY=2".；=C；-14丿14厂64【相关知识点】二项分布的概率计算公式:若 Y、B(n,p),则 pfY =k .；=C：pk(1-p)nJsk =0,1，川，n,二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】本题是关于求渐近线

10、的问题由于2x2 亠 x T 二lim ex arctanx(x 1)(x -2)4, n故y蔦为该曲线的一条水平渐近线1arcta n2x2x 1(X 1)(x-2)故x = 0为该曲线的一条垂直渐近线，所以该曲线的渐近线有两条. 故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有lim f (x) = a ,则y = a为水平渐近线;铅直渐近线：若有lim f (x)二：，则x = a为铅直渐近线；x_.af (x)斜渐近线：若有 a = lim ' ,b = lim f (x) -ax存在且不为：,则y = ax b为斜渐x近线.【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数因(1)n

11、|an|a2 十 111a2 十 1Jn2 + 扎 22 n2+丸 2 2n21 22(第一个不等式是由a_0,b_0,ab (a b )得到的.)2又、 a；收敛， 每 收敛,(此为p级数：' J当p 1时收敛；当p乞1时发散.)nTn=12nnn所以an2收敛，由比较判别法，得anm 22nn#()匹1收敛.故原级数绝对收敛，因此选(C).【答案】(C)【解析】由公式r(AB)乞min(r(A),r (B),若A可逆,则r(AB) Er(B) =r(EB) =rA_(AB)乞 r(AB).从而r( AB)二r(B),即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩，所以选(C).P(AB) P(

12、AB)P(B) 一1 -P(B)n(Xi -X) i吕L t(n -1).21.n(n -1)n' (Xi -X)2i =1仝 t(n-1).S2【答案】(D)【解析】事实上，当0 ： P(B) ：:1时，P(A|B) =P(A| B)是事件A与B独立的充分必要条件,证明如下：若 P(A|B)二 P(A|B),则P(AB) _P(B)P(AB)二 P(B)P(AB),P(AB)二 P(B) P(AB) P(AB)二 P(B)P(A),由独立的定义，即得A与B相互独立.若A与B相互独立，直接应用乘法公式可以证明 P(A| B)二P(A|B).P(A|B)=1-P(A|B) =P(A|B)

13、.由于事件B的发生与否不影响事件 A发生的概率，直观上可以判断 A和B相互独立. 所以本题选(D).【答案】(B)【解析】由于X1,X2|,Xn均服从正态分布N(,；2),根据抽样分布知识与t分布的应 用模式可知XN(0,1)， ，nn2' (Xi -X)G 22( n-1)，a因为t分布的典型模式是：设XL|N(O,1),YL 2( n),且X,Y相互独立，则随机变量T X 服从自由度为n的t分布，记作TUt(n). 、Y/n因此应选(B).三、(本题满分6分)(1 ( 1 ” 2 3 【解析】方法1:由x2 y2 - x y 1,配完全方得i xy.I 2丿L 2丿2令X-1二rc

14、osy-1二r si nr,引入极坐标系(rj),则区域为2 2=J(r,T) 0 兰8 兰2兀，0 兰 r <(x y)dxdy 二 ° dr °2 (1 rcosr r sin r) rdrDdr(cos： sin n)dr00方法2：由x2 ySi： x y 1,配完全方得一、 11引入坐标轴平移变换：u=x ,v = y,则在新的直角坐标系中区域22D变为圆域D1而x y =u v 1,则有dxdy = dudv，代入即得I i(x y)dxdy 二 (u v 1)dudv 二 ududv 亠 11 vdudv 亠 11 dudv .DD1D1D1D1由于区域

15、D1关于v轴对称，被积函数u是奇函数，从而.ududv =0.D1同理可得iivdudv=0,又D1JJdudv = D1D1!(x y)dxdy =D四、(本题满分5分)【解析】先解出 y(x),此方程为常系数二阶线性齐次方程，用特征方程法求解.方程y ' 4y ' 4y =0的特征方程为 2 -二0 ,解得 '2 -2.故原方程的通解为 y =(G C2x)e'X.由初始条件 y(0) =2, y(0) = -4 得 G =2,C2 =0,因此，微分方程的特解为y =2ex.再求积分即得y(x)df2xdx=lim exdf2x= lim _e'x&

16、#187; =1.【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程y ： py： qy =0 :首先写出方程y=py'qy=0的特征方程：亠pr亠q = 0,在复数域内解出两个特征根ri,r2 ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y = C1erXl C2e'2X;(2) 两个相等的实数根 斤=r2,则通解为y二G C2x erXl;(3) 对共轭复根 ri,2=a±iP,则通解为 y (G cos0x + C2 sin3x).其中Ci,C2为常数 五、(本题满分5分)Ff【解析】由复合函数求导法 ，首先求,由题设可得CXfy2xarcta

17、 n :xx2x22y2y x y =2xarcta n 22x x2 + y2再对y求偏导数即得3yy2 = 2x arctan y .x yx2x:xy-1 二2x2x2-1x yx2【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u 二(x, y),v=(x, y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z = f (u, v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z = f ( (x, y)(x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在,且有之广:：u 立:Jru f2：v ；.x ； u ； x : V : X : X : x:z :z ju ；:z ：v=+jnjn.y ；u

18、 ；y；v :-y'u 'vf1 f2jy；：y六、(本题满分5分)【解析】运用换元法,令Xn -tu,则X 11 xn1F(x) = 0tnJLf(xn tn)dt= J。f (u)du=F'(x) = xnf(xn).由于lim匚2学为“-”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达 x 0 x0法则，可得F(x)2nF (x)2n x2nJn A n、X f(x )2n2nxf(xn)nxf(xn)- f(0)xn -01由导数的定义，有 原式二f (0).2n【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：丨(t)若 F(t)二'f (x)dx,

19、 ： (t) , -(t)均一阶可导，则at)F工"f丨fl：- (t)L七、(本题满分8分)【解析】利用(怡,y0)在两条曲线上及两曲线在 (x(), y0)处切线斜率相等列出三个方程 ，由此, b 2可求出a,X0,y°,然后利用旋转体体积公式二.f (x)dx求出Vx.a(1)过曲线上已知点(心丫。)的切线方程为y-y° =k(x-X0),其中，当y (x)存在时，k 二 y (x。).y "= .由 y = In JX 知 y"=丄 2.x2x由于两曲线在(X0, y°)处有公共切线a,可见2jx°12x01,得 X

20、02 .a,有 y0 =仁In于是1 12a, xo2 二 e ,ea从而切点为(e2,1).1将Xo2分别代入两曲线方程a(2)将曲线表成y是x的函数，V是两个旋转体的体积之差，套用旋转体体积公式，可得 旋转体体积为2 2 2e 1 2卢/ 2 H H e 2Vxx) dx ： ! (In x x) dx e - In xdxx o ei24 1e2xln24 IL2xe2-2 6 In xdxe21 2JT【相关知识点】由连续曲线y = f (x)、直线x = a,x二b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋b 2转一周所得的旋转体体积为：Vf 2(x)dx.La八、(本题满分6分)【解析】方法1

21、：l ”、 f (x)(x a) - f (x)-f(a)1 rr . x/、F (x)2_2 f (x)(x-a)-f (x) f (a)(x-a )x-a令(x)二 f (x)(xa)f (x)f(a)(x a),由(x) = f (x)(x_a) f (x)-f (x) = (x-a) f (x)0( xa),知(x)在a,= 上单调上升，于F是(x)(a) =0 故F0.(xa)所以F (x)在a,亠内单调增加方法 2: F (x)二f(xj(x)-f(a).-X a(x)(x -a)f (x) - f(a)丨=1 r .x-a 2x -a _由拉格朗日中值定理知f(x) f(a) =

22、 f(),(a x). x - a于是有1 KF (x)f (x)-f ( ) x-a由f (x) 0知f (x)在a,：上单调增,从而f (x) f (),故F (x) 0 .于是F(x)在a, ：内单调增加.【相关知识点】1.分式求导数公式：- - u v ；uv2丿v22.拉格朗日中值定理：如果函数f (x)满足在闭区间a,b上连续；在开区间a,b内可导,那么在 a,b内至少有一点 (a < ' :：: b),使等式f (b) 一 f (a)二f ( J(b _a)成立.九、(本题满分11分)【解析】(1)因为增广矩阵 A的行列式是范德蒙行列式，印，a2,a3,a4两两不相

23、等,则有A = (a2 a) a3 ai)( a4 - a1)( a3 a2 )(a4 a2 )(a4 a3)工 0 ,故 r(A) =4.而系数矩阵A的秩r(A) =3,所以方程组无解(2)当ai = a3 = k,a2 =印-k(k = 0)时，方程组同解于|x1 kx2 k2x3 二 k3,23Xr -kx2 k x3 = _k .1k“因为=2k0,知 r(A) = r(A) =2.1-k由n-r(A)=3-2=1,知导出组Ax = 0的基础解系含有 1个解向量，即解空间的维数 为1.由解的结构和解的性质r-n一-2片+心=1+ k 0J 一I .2于是方程组的通解为其中k为任意常数【

24、相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m n矩阵，线性方程组 Ax二b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A二Ab的秩，即r(A)=r(A).(或者说，b可由A的列向量1,2,川，线表出，亦 等同于：“:川，与?1/'2JH/ n,b是等价向量组)设A是m n矩阵，线性方程组Ax=b,则(1)有唯一解r(A) = r (A) = n.(2)有无穷多解r(A) = r(A) ： n.(3)无解r(A) r(A).b不能由A的列向量1，2，l|，n线表出2. 解的结构：若冷、2是对应齐次线性方程组 Ax =0的基础解系，知Ax = b的通解形 式为K 1 k2 2，

25、其中1, 2是Ax = 0的基础解系是Ax二b的一个特解.3. 解的性质：如果 1, 2是Ax = 0的两个解，则其线性组合 ki 1 k2 2仍是Ax = 0的 解；如果是Ax =b的一个解，是Ax=0的一个解，则； 仍是Ax=b的解十、（本题满分8分）【解析】由A的特征方程，按照第二列展开，有&0丸 E A = x丸一1-102=' -1)21) =0,得到A的特征值为 2 =1，-3 - -1.由题设有三个线性无关的特征向量，因此=1必有两个线性无关的特征向量从而r（E -A） =1.这样才能保证方程组（E -A）X =0解空间的维数是2， 即有两个线性无关的解向量.由初等行变换，将E - A第一行