(整理)平面向量空间向量知识点

1、平面向量、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度2、既有大小又有方向的量叫做向量.、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做 有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度2、向量AB的大小，也就是向量 AB的长度（或称模），记作A1 ;长度为零的向量叫做 零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）规定：零向量与任意向量平行.、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则 和平行四边形加法法则三角形加抚法则平行四边懸加法法则2、a +b wa 、向量减法运算

2、及其几何意义F-1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量2、三角形减法法则和平行四边形减法法则、向量数乘运算及其几何意义fc-B-1、规定：实数-与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘记作：'a，它的长度和方向规定如下:当/ > 0时， a的方向与a的方向相同；当.:,0时, a的方向与a的方向相反2、平面向量共线定理：向量a a = 0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b二、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e ,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任 一向量a，有且只有一对实数5,2，使a 心 一2e2 、平面向量的正交分解及坐标表示*

3、>*F1、 a = xi y j 二 x, y 、平面向量的坐标运算1、设a = Xi, yiX2, y2 ，则：*F a b = XiX2, %y2，f * a - b = X - X2 , yi _ y2 ， a / b ：= x1 y2 = x22、设 A Xi, yi , B X2, y2，则:AB a% -Xiy - 、平面向量共线的坐标表示i、设 A Xi, yi , B X2, y ,C X3, y，则线段AB中点坐标为 宁，¥， 厶ABC的重心坐标为（莘岀，上护3 ）.§.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义f-=p I r1、a b = a b

4、cos 日. I2、 a在b方向上的投影为：a cos日.-2- 23、a = a 4、5、 a _ b ：= a b = 0.§.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设a 二洛， ,b = X22 ，则： a b = x/2 y y2甘-x1彳 T > 4 a _ b= a b 二0= %x2 y1y2 =0 a / /b 二 a =，b 二約2x2 % = 0两向量的夹角公式2、设 A xn y! , B x2, y2，则:3、cos ab_ X! X2yi y22 + y； Jx 22+y 224、点的平移公式平移前的点为 P(x,y)(原坐标)，平移后的对应点为

5、P(x , y )(新坐标)，平移向量为_x = x hPP =(h,k)， 贝Vy = y+k.函数y = f(x)的图像按向量a=(h,k)平移后的图像的解析式为y-k=f(x-h).里.5.1、平面几何中的向量方法里.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线I的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线I的方向向量.平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面：.，则称这个向量垂直于平面 ：，记作n

6、 |，如果n _：,!那么向量n叫做平面：的法向量.平面的法向量的求法（待定系数法） 建立适当的坐标系.4 设平面:-的法向量为n =（x, y, z）.求出平面内两个不共线向量的坐标a = (ai, a2,比),n a = 0 根据法向量定义建立方程组小b = 0 解方程组，取其中一组解，即得平面:-的法向量（如图）1、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行呻4设直线Ii,l2的方向向量分别是 a、b ,则要证明li / I2, 即:两直线平行或重合：二两直线的方向向量共线。只需证明a / b ,即a = kb(k R).线面平行（法一）设直线I的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明I

7、/ ：,只需证明a _ u ,即 a u = 0 即:直线与平面平行 一直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方 向向量是共线向量即可面面平行若平面的法向量为u ,平面：的法向量为V ,要证/ :,只需证u / v ,即证u =，V 即:两平面平行或重合 -两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线J的方向向量分别是 a、b，则要证明hJ，只需证明a b，即a，b=0.即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直。线面垂直IIII（法一）设直线I的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明I _

8、:，只需证明a / u ,（法二）设直线I的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为m、n,若a m =0 血，则 l - :a n = 0即：直线与平面垂直 二?直线的方向向量与平面的法向量共线：二?直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面二的法向量为u，平面：的法向量为V，要证沱.卩，只需证u _ V，即证u心=0.即：两平面垂直 一 两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a, b为两异面直线，A，C与B，D分别是a, b上的任意两点，a, b所成的角为二AC BD贝y cos日=略 1AC BD定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成

9、的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角1 1 1求法：设直线丨的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为二，a与求直线和平面所成的角u的夹角为,则二为的余角或的补角 的余角.即有：sin 日=|cos®| =求二面角定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二 面角的面，二面角的平面角是指在二面角-I - 的棱上任取一点 O,分别在两个半平面内作射线AO _I,BO _丨，则AOB为二面角-丨- -的平面角.如图:IO-求法：设二面角:-1 -B的两个半平面的法

10、向量分别为m、n，再设m、n的夹角为,面角二I . I：的平面角为二，则二面角二为m、n的夹角或其补角鼎-：巴根据具体图形确定 二是锐角或是钝角:如果日是锐角，则COST = cosl =即）-arcco 如果日是钝角，则COST = - COS®| =-m n，即 v - arccos5、利用法向量求空间距离点Q到直线I距离*_离为若Q为直线I外的一点，P在直线I上，a为直线I的方向向量，b =PQ，则点Q到直线I距 h川aiib_（a b）2|a 1点A到平面:-的距离若点P为平面:-外一点，点M为平面内任一点,平面的法向量为n，贝U P到平面的距离就等于 MP在法向量n方向上的

11、投影的绝对值n MPn MPn MP直线a与平面:-之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面 的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。n MP两平行平面:-,-之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。n Mp|即 d = .n异面直线间的距离设向量n与两异面直线 a,b都垂直，M a,P，b,则两异面直线 a,b间的距离d就是MP<在向量n方向上投影的绝对值。6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直*P0

12、 丨。，0： |推理模式：PA ：二 A= a _ PAa 二：£,a _ 0A概括为：垂直于射影就垂直于斜线 .三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.P0 _ ： ,0 ：八推理模式：PaC= A = a_AOa _：i,a_AP概括为：垂直于斜线就垂直于射影 .7、三余弦定理设AC是平面内的任一条直线, 垂足为D.设AB与（AD）所成的角为AD是的一条斜线 AB在内的射影，且BD丄AD , 片,AD与AC所成的角为出,AB与AC所成的角1B为 V .贝U COS V - COS 齐 COS 二2 .8、 面积射影定理已知平面1内一个多边形的面积为 S S原，它在平面:-内的射影图形的面积为 S S射 , 平面与平面1所成