初中数学竞赛专项训练找规律题

1、观察一一归纳一猜想一一找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题 的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是:（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确，下面通过举例来说明这些问题基本技巧（一）标出序列号：例如，观察下列各式数：0, 3, 8, 15, 24,。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0, 3, 8, 15, 24,。序列号： 1,2,3, 4, 5,。2容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n -1（二）公因式法：每位数分成最

2、小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。2例如：1, 9, 25, 49, （81）, （121）,的第 n 项为（2n 1）,1, 2, 3, 4, 5.oooooo,从中可以看出 n=2时，正好是2X2-1的平方，n=3时，正好是2X3-1的平方，以 此类推。（三）增副A: 2、9、28、65. 增幅是7、19、37.,增幅的增幅是 12、18答案与3有关且是n的3次哥，即： n3+1B: 2、4、8、16.增幅是2、4、8 答案与2的乘方有关即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再

3、在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26,同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24,序列号：1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当 n=1时，得1*1-1得0,当n=2时，2*2-1得3, 3*3-1=8 , 2,2,以此类推，得到第 n个数为n 1。再看原数列是同时减 2得到的新数列，则在 n 1的基础上加2,得2到原数列第n项n 1（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并 恢复到原来。例：4, 16, 36, 64, ? , 144, 196,?（第一百个数）2 一同除以4后可得新数列：1、4、9、16，很

4、显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n ,原数列2是同除以 4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n ,则求出第一百个数为4*100 2 =40000（一）等差数列例题：2, 5, 8,（）。例题 5: 12 , 15, 18, （ ）, 24, 27。A.20 B.21 C.22 D.23（二）等比数列例题1：2 ，1，1/2 ， ( ) 。A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1例题2：2 ，8，32， 128，( )。( 三)平方数列1 、完全平方数列：正序：1 ， 4 ， 9， 16 ， 25逆序：100 ， 81， 64， 49， 362、一个数的平方是第二个数。

5、1)直接得出： 2， 4， 16， ( 256 )解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为 256 。2 ) 一个数的平方加减一个数等于第二个数：1 ， 2， 5 ， 26， (677) 前一个数的平方加1 等于第二个数，答案为 677 。3、隐含完全平方数列：1)通过加减一个常数归成完全平方数列： 0， 3， 8， 15， 24， ( 35 )前一个数加1 分别得到 1， 4， 9， 16， 25，分别为 1 ， 2， 3， 4， 5 的平方，答案352 ) 相隔加减，得到一个平方数列：例： 65， 35， 17， ( 3 ) ， 1A.15 B.13 C.9 D.3解析：不难感觉到隐含一个

6、平方数列。进一步思考发现规律是： 65 等于 8 的平方加 1， 35 等于 6 的平方减 1 ， 17 等于 4 的平方加 1，再观察时发现：奇位置数时都是加 1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是 2 的平方减 1 等于3，答案是D。* ( 四 )立方数列立方数列与平方数列类似。例题1： 1 ， 8， 27， 64， ( 125 )解析：数列中前四项为 1， 2， 3， 4 的立方，显然答案为 5 的立方，为125。例题2： 0， 7， 26， 63 ， ( 124 )解析：前四项分别为 1， 2， 3， 4 的立方减 1 ，答案为 5 的立方减 1，为 124。( 五 ) 、加法数列

7、数列中前两个数的和等于后面第三个数： n1+n2=n3例题 1： 1 ， 1， 2， 3， 5， ( 8 ) 。A8 B7 C9 D10解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律 3 +5=8 答案为A。例题 2： 4 ， 5， ( 9 ) ， 14 ， 23 ， 37A 6 B 7 C 8 D 9解析：与例一相同答案为 D例题 3： 22 ， 35， 56， 90， ( 145 ) 99 年考题A 162 B 156 C 148 D 145解析： 22 +35-1=56 ， 35+ 56-1=90， 56+ 90-1=145 ，答

8、案为 D( 六 ) 、减法数列前两个数的差等于后面第三个数： n1-n2=n3例题 1： 6 ， 3 ， 3， ( 0 )， 3 ， -3A 0 B 1 C 2 D 3解析： 6-3=3 ， 3-3=0 ， 3-0=3 ， 0-3=-3 答案是A。 ( 提醒您别忘了： “空缺项在中间， 从两边找规律”)( 七) 、乘法数列1 、前两个数的乘积等于第三个数例题1： 1 ， 2， 2， 4， 8， 32， ( 256 )前两个数的乘积等于第三个数，答案是256。例题2： 2， 12， 36， 80， ( ) (2007 年考题 )A.100 B.125 C.150 D.1752解析：2X1, 3X

9、4 , 4X9, 5X16自然下一项应该为 6X25= 150选C,此题还可以变形为：1 2,(n 1)222223,34,45.，以此类推，得出n2、两数相乘的积呈现规律：等差，等比，平方等数列。例题 2： 3/2 ， 2/3 ， 3/4 ， 1/3 ， 3/8 ( A ) (99 年海关考题 )A 1/6 B 2/9 C 4/3 D 4/9解析：3/2 X 2/3=1 2/3 X3/4=1/2 3/4 X 1/3=1/4 1/3 X3/8=1/8 3/8 X?=1/16 答案是 A。( 八 ) 、除法数列与乘法数列相类似，一般也分为如下两种形式：1 、两数相除等于第三数。2、两数相除的商呈

10、现规律：顺序，等差，等比，平方等。( 九) 、质数数列由质数从小到大的排列： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19( 十) 、循环数列几个数按一定的次序循环出现的数列。例： 3， 4 ， 5， 3， 4 ， 5， 3， 4 ， 5， 3， 4以上数列只是一些常用的基本数列，考题中的数列是在以上数列基础之上构造而成的，下面我们主要分析以下近几年考题中经常出现的几种数列形式。1 、二级数列这里所谓的二级数列是指数列中前后两个数的和、差、积或商构成一个我们熟悉的某种数列形式。例 1 ： 2 6 12 20 30 ( 42 )A.38B.42 C.48 D.56解析：后一个数与前个数的

11、差分别为： 4 ， 6， 8， 10 这显然是一个等差数列，因而要选的答案与30 的差应该是12，所以答案应该是B。例 2 ： 20 22 25 30 37 ( )A.39 B.45 C.48 D.51解析：后一个数与前一个数的差分别为：2， 3 ， 5 ， 7 这是一个质数数列，因而要选的答案与37 的差应该是 11，所以答案应该是C。例 3： 2 5 11 20 32 ( 47 )A.43 B.45 C.47 D.49解析：后一个数与前一个数的差分别为： 3， 6， 9， 12 这显然是一个等差数列，因而要选的答案与32 的差应该是15，所以答案应该是C。例 4 ： 4 5 7 1l 19

12、 ( 35 )A.27 B.31 C.35 D.41解析：后一个数与前一个数的差分别为： 1 ， 2， 4， 8 这是一个等比数列，因而要选的答案与 19 的差应该是16，所以答案应该是C。例 5： 3 4 7 16 ( 43 )A.23 B.27 C.39 D.43解析：后一个数与前一个数的差分别为： 1 ， 3， 9 这显然也是一个等比数列，因而要选的答案与16 的差应该是27，所以答案应该是D。例 6： 32 27 23 20 18 ( 17 )A.14 B.15 C.16 D.17解析：后一个数与前一个数的差分别为：-5与18的差应该是-1 ,所以答案应该是 D=-4, -3, -2这

13、显然是一个等差数列，因而要选的答案例 7: 1, 4 , 8 , 13 , 16 , 20 , ( 25)A.20 B.25 C.27 D.28解析：后一个数与前一个数的差分别为：3,4,3, 4这是一个循环数列，因而要选的答案与20的差应该是5,所以答案应该是B。例 8: 1, 3 , 7 , 15 , 31 , ( 63 ) A.61 B.62 C.63D.64解析：后一个数与前一个数的差分别为：31的差应该是32,所以答案应该是 Q 例 9: (69 ) , 36, 19, 10, 5, 2 A.77 B.69 C.54 D.48解析：前一个数与后一个数的差分别为： 后面的数应该是 17

14、*2-1=33 ,因而33+36=69例 10: 1, 2, 6, 15, 31, ( 56) A.53 B.56 C.62 D.87解析：后一个数与前一个数的差分别为：2,3,5,答案应该是1, 4, 916这显然是一个等比数列，因而要17这个数列中前一个数的2倍减B。选的答案与1得后一个数,16这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案与31的差应该是25,所以答案应该是 例 11: 1, 3, 18, 216, (5184 ) A.1023B.1892 C.243 D.5184B。解析：后一个数与前一个数的比值分别为:3, 612这显然是一个等比数列，因而要选的答案与216的比值应该是 2

15、4,所以答案应该是 D: 216*24=5184。例 12: -2 1 7 16 ( 28 ) 43A.25B.28 C.3l D.35解析：后一个数与前一个数的差值分别为：3, 6差值应该是12,所以答案应该是 Bo例 13: 1 3 6 10 15 ()A.20B.21C.30D.25解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即： 应该是B。9这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16的1+3=4=22, 6+10=16=42,则 15+? =36=62 呢,答案,(228)是一个等比数列，则 48后面的数应为-96 , 132-96=36 ,再看例 14: 102, 96, 108, 8

16、4, 132, ( 36 ) 解析：后项减前项分别得-6 , 12,-24, 48, -96 后面应是 96X2=192, 192+36=228。二、设计类1111 1【例1】在数学活动中，小明为了求 2 2/22的值(结果用n表示)，设计如图 a所示的图形。1111 1(1)请你利用这个几何图形求 2 2*2£ 的值为(2)请你利用图b,再设计一个能求11111+ + - -| H H + 2 2， 21 2*2*的值的几何图形。二、动态类【例3】右图是一回形图，其回形通道的宽与 OB的长士匀为1,回形线与射线 OA交于点A, X,备， 若从。点到A1点的回形线为第1圈(长为7),

17、从Ai点到忿点的回形线为第2圈，依此类推。则 第10圈的长为。例祖【例4】已知甲运动方式为：先竖直向上运动1个单位长度后，再水平向右运动2个单位长度；乙运动方式为：先竖直向下运动 2个单位长度后，再水平向左运动3个单位长度。在平面直角坐标系内，现有一动点P第1次从原点。出发按甲方式运动到点Pi,第2次从点Pi出发按乙方式运动到点 B,第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3,第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,。依此运动规律，则经过第11次运动后，动点 P所在位置Pii的坐标是 。解析：【例3】我们从简单的情形出发，从中发现规律，第 1圈的长为1+1+2+2+1,第2圈的长为 2+3+4

18、+4+2,第三圈的长为 3+5+6+6+3,第四圈的长为 4+7+8+8+4 ,归纳得到第 10圈的长为 10+19+20+20+10 = 79。【例4】(3, 4)四、计算类【例10】观察下列等式：则第n个等式I3lxQ + 2) 健 + 2沉2=2乂(2+2蒙 +2x3 = 3x042)可以表示为。解析：【例10：.一：【例11】观察下列各式：(工70*1)=/T , (1)"斗"1)三工根据前面的规律，得:(其中n为正整数)0 1)5*+ k+i)=解析：【例11】，【例12】观察下列等式：观察下列等式：4 1=3, 9-4=5, 16-9=7, 25-16=9, 3

19、6-25=11 ,这些等式反映了自然数间的某种规律，设n （n>1）表示了自然数，用关于 n的等式表示这个规律为。 1-j解析：【例12-畀=劫+1 （n>1, n表示了自然数）五、图形类【例13】在平面直角坐标系中， 横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点。 观察图中每一个正方形 （实 线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点共 有 个。解析：【例13】第一个正方形的整点数为2X4-4=4,第二个正方形的 正点数有3X44= 8,第三个正方形的整点数为 4X44=12个，故第10个正方形的整点数为 11X4-4 = 40,【例14】“ ”代表甲种

20、植物，“ ”代表乙种植物，为美化环境，采用如图所示方案种植。按此株。规律，第六个图案中应种植乙种植物【例14】第一个图案中以乙中植物有2X2= 4个，第二个图案中以乙中植物有3X3= 9个，第三个图案中以乙中植物有 4X4= 16个，故第六个图案中以乙中植物有7X7= 49个.一、数字排列规律题1、观察下列各算式：1+3=4=2 21+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42按此规律(1)试猜想：1+3+5+7+-+2005+2007 的值？(2)推广：1+3+5+7+9+ ( 2n-1)+ (2n+1)的和是多少 ？2、下面数列后两位应该填上什么数字呢？2 3 5 8 12 17 3、

21、请填出下面横线上的数字。1 1 2 3 5 8 214、有一串数，它的排列规律是 1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、聪明的你猜猜第100个数是什么？5、有一串数字3 6 10 15 21 第6个是什么数？6、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、，那么第2005个数是().A. 1B. 2C. 3 D. 47、100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1,0,那么这100个数中“ 0"的个数为 个.二、几何图形变化规律题1、观察下列球的排列规律 (其中是实心球，。是空心球 ):OOeeOOOOOeOOeeOOOOOeOOeeOOOOOe从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个.2、观察下列图形排列规律(其中是三角形，口是正方形，。是圆)，口。口,若第一个图形是正方形，则第 2008个图形是 (填图形名称) 三、数、式计算规律题1、已知下列等式： 1 3=12; 1 3+ 23= 32; 1 3+ 23+ 33= 62; 1 3+ 23+ 33+ 43= 102 ;由此规律知，第个等式是2、观察下面的几个算式：1+2+1=4 ,1+2+3+2+1=9 ,1+2+3+4+3+2+1=16