例说圆锥曲线中证明(求)直线过定点的问题

1、对圆锥曲线中证明（求）直线过定点的问题探讨时间：2021.03.04创作：欧阳地漆绍杰在圆锥曲线中直线与圆锥曲线相结合的问 题是较为复杂的问题，其中有一类问题是证明 （求）直线过一定点，对于这一类问题如何去 思考呢？它们的共同的解题思路是怎样的呢？ 下面让我们一起来探讨一下。既然直线过一定点，说明此直线的斜率是 不定的，这使我们联想到过定点的直线系方 程，过一定点Pg*。）的直线系方程可以写成 的y-y（）=k（X-x（） 9那么我们先可写出直线的 方程，再根据方程判断直线过哪一个定点。下 面通过具体例子来说明。例1：已知抛物线）'=2刃（卩0）上有两动点及一个定点M（心）"

2、，F为抛物线的焦点，且丨AF | ,| MF | ,| BF |成等差数列。（1）求证线段M的垂直平分线经过一定点 0（无 + ,0）；（2）若 | MF | =4,| O0 | =6（。为坐标原点），求此抛物线的方程。分析：(1 )设心小),叫2，儿)，/ | AFI ,丨MF | ,| BF |成等差数列，结合定义ppPXi 4F X-)H = 2(H ) Xy + X-)= X.得1 22 2 I ° 2-°,由此可设弦 AB 的中点坐标为此上)。2心=召”+儿 b , 弦A3的中垂线方程为：y-b = - (x-x=> y = - (x-x)-p)PP,故弦A

3、B的中垂线过定点("+%0)。(2)略。r_£=i例2：在双曲线12 13 的一支上有不同的 三点 AC%)，B(炉,6), C(x2,y2)与焦点 F(0,5)的距 离成等差数列。(1)求必+力的值。(2)证 明线段AC的垂直平分线经过一定点，并求该 定点的坐标。分析：(1) V | AF I , BF 9 I CF |成等差数列，则结合定义得ey -a + ey2 - a = 2(6e-a) => y + y2 = 12（2）由此，可设弦AC的中点坐标为（6）由 斤 彳疋 丘 _必一儿_123+勺）_ 12% _2% 迈_石一1乜_石一0«_冇一13（”

4、+儿）一而_帀弦AC的中垂线方程为：25故弦AB的中垂线过定点©R。例3:过抛物线/上的定点QU）作两条互相垂直的弦C、CE,求证直线AB过定点。分析： 设 人（召,”）,3（%2，兀），贝q=2f 2 =2皿丙丄面n页亦=0=>3_1）（心_1） + （牙_1）（儿_1）= 0=>3 -1）（® 1） + （彳-l）（x；-l） = O=>（x,-l）（x2 -1） + （召-l）（x2 - 1）（旺 + l）（x2 + 1）= =>（X）- l）（x2 一 1）3 + X, + 2） = 0因为点A、 与点C不重合，所以（x,-l）（x2-l）

5、= 0 古攵鬲 +W + 2 = 07?. Vi VS>1 ->?2= V 二> % =一二=召 +兀西一厂,直线AB的方程为:y_x = （西+兀2）（兀_坷）所以直线A3过定点（72）。评析：直线方程虽然被我们“強行”写了出 来，但由此方程我们根本看不出直线过哪一定 点，为此我们要利用题中所给的其它条件对此“强行”写出的直线方程进行变形，才可以达 到我们的目的。例4: A"是抛物线）2严（0）上的两点，满足04丄OB （。为坐标原点）,求证：（1）A"两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线汕经过一定点。分析：（1 ）设,则>7 = 2

6、“X, y22 = 2/?x2=>（>',y2）2 = 4/rx,x2又由更丄 OB>OAOB = 0>xx2+yiy2=0=4几 yiy2=-4p-/>2 一）22= 2/?（x,-x2）=> Kab =-p -（2）加一吃 “ +力直 线 AB 的 方 程 为2/?2p 2pxxy _ 牙=（牙一召）=> y =X + 开>i +力儿+ y2 y, +力= 王“心2內+儿王（_2p）X +儿X+'2 X+力,故直线过定点(2?0)。评析：和上题一样我们要利用题中所给的其它 条件对此“强行”写出的直线方程进行变形， 才可以达到我

7、们的目的。例5:设抛物线b=2"(p>0)的焦点为F, 经过点F的直线交抛物线于两点，点C在 抛物线的准线上，且BC / x轴，证明直线AC 经过原点。分析：设心"(“2),则C(2，>，2),直 mu尤一鬲 v +£线AC的方程为'* 2.(y- y. )(x. +) = 0要证直线AC经过原点，只需证*'* 2评析：此处不是由方程直接看出直线经过原 点，而是转化为证常数项为0,这样就避免了 直接证带来的困难。x2 y2例6:已知椭圆CV+F = ,(>>0)的离心率为2且在x轴上的顶点分别为儿(-2,0)心2,0)。(1

8、)求椭圆C的方程；(2)若直线/ (/ 为大于2的一个定值)与x轴交于点T, P为I 上的异于丁的任意一点，直线显4分别与椭 圆C交于两点心，证明直线经过一个定 点。分析："计孕"2.”血=】故椭圆c的方程为亍' =1(2)设”(心比)"3，)，2),直线AM的斜率为人,则直线A"的方程为y#("2)fy = (x + 2)2i+ ¥ =消去y得(4好+1)%2 +16斤x+ 16斥-4 = 0判严好+2别式A = 16>0,解得“ 4斤+1铭(_8叶+2 曲硏所以点M的坐标为妳+ 1 硏T,同理可设直线AM的斜率为忍，则直线AM 的方程为尸心匕-2),所以点N的坐标为 严;-2 -4心4疋+4疋+1由于直线与直线舛M的交点P（，儿）在直 线/上，又儿=皿+ 2），儿=£（/-2）所以热（+ 2）=人（_2）亠斗学=_?«+妬221 = 21221 由两点式得直线的方程为尤-兀吃-召，令=0得y, - y2_4将代入得"7,故直线伽经过定点4（,0）/O评析：此题的计算量相当大，在解题思路上它 和前几题的解法既有相同